7. Аддитивная мера информации. Мера Хартли.

На схеме массива десятизначных дискретных чисел (n = l = h = 10) в каждый данный момент реализуется только один какой-либо знак из h воз­можных. На геометрической модели реализация знака принимает форму вы­ставления в первый ряд нужного знака из глубины гнезда, в котором в опре­деленном порядке хранятся все нужные знаки.

При глубине h и длине l количество чисел, которое можно представить с помощью числовой гряды, выразится формулой Q=h^l т. е. емкость гряды экспоненциально зависит от длины числа l . Вследствие показательного зако­на зависимости Q от l число Q не является удобной мерой для оценки ин­формационной емкости. В связи с этим Хартли предложил ввести аддитив­ную двоичную логарифмическую меру, позволяющую вычислить количество информации в двоичных единицах - «битах», т. е. I = log₂ Q = l log₂h, где I - количество информации по Хартли, бит. Если количество разрядов (длина l числа) равно 1 (h = 2), то l log₂ 2 = 1 бит. Это и есть единица измерения ин­формации в принятой системе. Она соответствует одному элементарному со­бытию, которое может произойти или не произойти. Помимо бит применя­ются ниты (натуральный логарифм) и диты (десятичный логарифм).

При наличии нескольких источников информации общее количество информации суммируется: I(Q₁, Q₂,…Q_n)= I(Q₁)+ I(Q₂)+ …+I(Q_n).

8. Системы счисления. Ряды Фибоначчи.

В ряду Фибоначчи каждый последующий элемент есть сумма двух предыдущих: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 и т.д. Отношение двух соседних элементов ряда при возрастании их номера до бесконечности имеет предел: .

Выражение определяет значение «золотой» пропорции τ≈1,618.

Цекендорф предложил систему счисления на основе чисел Фибоначчи:

N=a_nF_n + a_n-1F_n-1 + …+ a_iF_i +…+ a₁F₁, где a_iє{0, 1}- двоичная цифра i-разряда, F_n-числа Фибоначчи:

Бергманом предложена новая система τ-счисления:

A = a_nτⁿ + a_n-1τ^n-1 +…+ a_iτⁱ +…+ a₁τ¹ = , iє{0, ±1, ±2…}, где . Основным элементом при построении чисел берется вещественное число τ, которое одновременно является корнем алгебраического уравнения х²-х-1=0 и обладает следующим свойством:

τⁿ = τ^n-1 + τ^n-2, n=0, ±1, ±2… С помощью таких определений, частный случай которых – система счисления Бергмана, можно представить все другие числа, включая натуральные, дробные и иррациональные.

Различные кодовые последовательности одного и того же числа могут получаться с помощью специальных операций «сверт­ки» (011—>100) и «развертки» (100—>011). В этих операциях две рядом распо­ложенные единицы заменяются нулями и наоборот.

Существенным свойством системы счисления, особенно с позиций «информационной эпохи», является степень ее пригодности для конструиро­вания вычислительных машин. При этом кроме простоты осуществления арифметических операций важно учитывать то, что называется «экономич­ностью» системы. Под этим понимается тот запас чисел, которые можно за­писать в данной системе с помощью определенного количества знаков. В общем случае, если взять п знаков, а за основание принять число х, то получится п/х разрядов, и количество чисел, которое при этом можно записать, будет равно . Если рассмотреть это выражение как функцию пере­менной х, то можно найти то значение х, при котором данная функция дос­тигает максимума. Несложно показать, что оно равно е - иррациональному числу, представляющему собой основание так называемых натуральных ло­гарифмов и играющему важную роль в других разделах математики и об­ширных прикладных областях. Ближайшее к е целое число есть 3. Оно и служит основанием наиболее экономичной системы счисления.