6.Формула полной вер-ти. Формул Бейеса.

Соб А1...Аm-попарно несовмес и единственно-возм(их сум достоверн. Эт соб буд наз гипотез) (1) Р(А)=Р(А1)Р(А|A1)+…+P(Am)P(A|Am) – условн вер-ти гипотез. Сумма(!) достоверн соб

А1+А2+...+Am=(домножим на А) получим

А(А1+А2+...+Am)=А; АА1+...+ААm= А=А- произведен любх соб. Р(А)=Р(АА1+...+ААm)= (т к соб попарн не совмест, то вер-ть Сум= Сум вер-ей)=Р(АА1)+...+Р(ААm)=Р(А)P(A|A1)+

+ P(A2)P(A|A2)+…++P(Am)P(A|Am)/ А1...Аm-m соб,кот несовм и единств

возм, т.е. гипотезы. (*)

Р(А1)+...+Р(Аm)-априорные

Вер-ти гипотез, P(A1|A)…P(Am|A)-апостериор вер-ти гипотез. Возьмем нек гипотез Aj: (1) P(AAj)=P(A|Aj)*P(Aj), (2) Р(AAj)=P(Aj|A)*P(A)

По форм полн вер-ти: (3) Р(А)=ΣР(Аi)*P(A|Ai) из (2): P(Aj|A)=( Р(AAj))/( P(A))=числитель по (1)/знамен по (3)= то же что и в (*)

7.Дискретная случ велич.табл распред. Индикатор события. Дискретн сл вел- множ-во значен сл велич состоит из изолированных точек. Примеры:бросание монеты, кубика, _n в n-испытан, на ст. обслуживан(заявки). Сл вел назыв непрерывн, есл множ-во ее знач заполняе некотор ее промеж.-дискр сл.вел, х1,х2...хn-конечное число значений. Табл распред сост из 2х строк:1ая-записаны все возможные знач, 2ая -вер-ти, с кот-ми эти значен принима-ся. 1)р_i≥0-вер-ти всегда положит;2)сумма вер-й всегда=1

Индикатор соб-(простейший пример дискретн случ величины) -случ велич, принимающ 2 значения:1-если успех(событ осуществил) 0 – не успех( если событие не осущ)

8. ф-ия распред, плотность распред сл велич

Для всяк сл вел им место выраж (<х). Вер-ть тог, что сл вел <чем х: F(x)=P(<x)Св-ва: 1) F(+~)=limF(x)=1;F(-~)=limF(x)=0 2)P( Є[x1;x2] )=F(x1)-F(x2) 3)BAP(B)≤P(A)F(x1)≤F(x2)

x1≤x2 F(x1)≤F(x2)-ф-я неубыв 4)F(x-0)=F(x)-непрерывность только слева. Ф-я плотн распр:

f (x)(ф.плотности)=F’(x)(ф.распред.) Св-ва: 1)f(x)0-положит ф-ия. 2) 3)

4)P(a≤≤b)=P(b)-P(a)=

Ф .плотаспред иф.распред.позвол найти вер-ть попадания сл.вел.в люб промеж. 5)P(=a)≤

P(a≤≤b), где P(a≤≤b)= →0 при вa+0 т.е. вер-ть того, что непрер сл вел. Приним люб конкретн значен= 0. Дискрет.сл вел не имеют ф-ю плотн.

9 .Мат.Ожид.- сумма произведений, где х1..хn-случ. значения, а р1..рn-вероят ности, с котор эти знач.принимаются. М= р1х1+…pmxn= xipi М=

Где f(x)-ф-я плотн сл вел

Вероятностный Смысл МО. -среднее знач. Случ вел. Если - это рез-т измерен люб велич (физ-й или эк-ой), то мат ож – истинное значен измерен СВ-ВА:1) МС=С(т.е.МО пост велич =пост знач МС=С*1=С) 2) М(С)=С*М (СВ умнож.на число С) 3) М (1+ 2)= М1+ М2

1 0.Дисперсия СВ  назыв мат ож квадрата отклонен сл вел от ее средн знач.D= М(-М)², где (-М)-отклонен.сл вел от ее сред значен. Дисперсия - мера отклон сл вел от ее сред знач СВ-ВА:1)D≥0; 2)D(С)= С²D д-во; D(С)= М(С- М(С))²=M(С²(-М)²)= С²D. 3) D= М²-( М)² до-во: D= M(-М)²=M(²-2 М+ +(M)²)= M²-2M*M+ (M)²= M²-(M)². 4)Сл вел назыв независим, если F(x1,x2)= F1(x1)*F2(x2)-ф-ия сл распред вектора или P(1<x1; 2<x2)=P(1<x1)*P(2<x2) =>f(x1,x2) =f1(x1)* *f2(x2)-ф-ия плотн распред сл-вел. 4)D(1+2)=D1+D2-если 1 и 2 незаис сл вел Сред. квадра тич. отклонен:

-среднее квадратичное отклонение(или мера рассеивания сл вел) размерность  такая же как и у сл вел.

11.Сх.Бернулли-последовательность независ испыт, в кажд. из которых событие А осущ. с пост, независ от номера испытан вер-тью Говорят если соб А осущ--успех,не осущ-неусп. Р(А)=р-вер-ть успеха Р(А)=q вер-ть неудачи. -число успеха в испыт. Вер-ть того, что успех будет m-раз, вычисл.по формуле: Р_n(=m)= =C^m_n*p^m(1-p)^n-m. Тогда Р(m₁≤≤m₂)= C^m_n=p^m(1-p)^n-m. Биноминал.сл вел-дискрет. СВ, множ знач котор -это целые числа (от о до n), а вер-ти с кот они приним: р_i=Cⁱ_npⁱq^n-I где q=1-р.

Примеры:_n-число успеха Индикатор успеха-сл вел ,принимающ. 2 значен (успех 1 /неуспех 0).Пусть_n=i1...in-инд.усп Мат.Ож. M_iA=0*q+1*p=p. Дисп. D_iA= M_iA²–( M_iA)²=p-p²=p(1-p)=pq