1. Математическая модель гетерогенных течений

Математическая модель движения гетерогенных потоков имеет сле­дующий вид.

Уравнения для газовой фазы:

• уравнение неразрывности:

для смеси в целом:

• + div (pV) = 0;

-t

для компонентов смеси:

-С - ^N

p-С-+p^Vg^radc_k = ^-div(mDk), L^ck =⁵; ^Vxm^{e W}o^,t >⁰;

d

уравнение количества движения: dV_

dt k

t k=i

p— = - gradP + Div J-L Div( m_DkV_Dk) - F_f, V x_m eW_O, t > 0;

• уравнение энергии:

dE

p — = - div (PV) + div(jV) + div q_T - P_fV_f - e_f + dt

+ L ^{[- div (P}k^VDk ⁾ + ^{div (j} k^V Dk )]^-L ^{div (}P^Ck^Ek^V Dk X ^{V x}m ^^WO , ^t > ⁰;

кк

где W_O - объем области; t - время; E = U + V² / 2 - удельная полная энер­гия смеси; U = c_vT - удельная внутренняя энергия; V - вектор скорости потока в данной точке (среднемассовая скорость); P и Т - местные термо­динамическое давление и температура; xm - пространственные координа­ты; p - плотность среды; ^ - вектор плотности теплового потока; k=1,2,3...N - индекс компонента смеси; N - число компонентов смеси; c_k - массовые концентрации k-х компонентов, определяющие состав среды; j

• тензор напряжений вязкости; V_Dk = V - V- вектор скорости диффузии компонента k (вектор скорости компонента относительно потока, индекс j относится к конденсированной фазе; F_f - вектор удельной величины при­

• веденных сил межфазового взаимодействия; ef - удельная величина энер­гии межфазового взаимодействия; nf - количество частиц в единице объе­ма; c_v - удельная теплоемкость

N

^CV = X ^Ci^CVi , i=i

q_v - удельное выделение теплоты, отнесенное к единице массы; m_Dk - диффузионный поток массы k-ого компонента (вектор потока диффузии)

^mDk = P^Ck^VDk = ~P^DCk g^{rad C}k ^;

D_c - коэффициент концентрационной диффузии, для многокомпонентной

Л

с

1

m

'_k

m

21

меси [кг/(с-м )], определяется по формуле Уилки

D

,=! ^m,^Dkj

J*k

_a =

D_kJ - коэффициенты бинарной диффузии [м /с]; m, m_k - молярные массы смеси и k-ого компонента [кг/моль];

• уравнение состояния:

N

P = pT X cR

k 1

N

где X = Rm - газовая постоянная смеси.

k=i

Уравнения для конденсированной фазы:

• уравнение неразрывности

dp -

—^f + div(p_fV_f ) = 0, Vx_m e W_O, t > 0; dt

• уравнение количества движения

dV_f -

P^f~^Vf = ^{F1, V x}m ^{W t} >⁰;

где доли объема, занимаемые газовой и к-фазой, характеризуются величинами их объемного содержания (a_g и a_f), и в соответствии с этим вводится понятие приведенной плотности фаз: p=a_gp_go, Pf=afPfo , U_k- внутренняя энергия частиц к-фазы.

При построении разностной схемы будем и учитывать лишь силу вязкого трения ф, которая является доминирующей. Эта сила определяет­ся по рассмотреннй ранее формуле для сферической формы , где коэффи­циент сопротивления частицы С5 находится по эмпирической зависимости

24

4

если 0 < Re < 700,

+ ■

0.33

Сд =

Re Re 4.3(lgRe)

<

-2

если 700 < Re < 2000.

Числа Нуссельта Nu, Прандтля Рг и Рейнольдса Re связаны между собой следующим образом:

Nu=2,0+0,6*Re^1/2Pr^1/2

Разностная схема для расчета течений гетерогенных сред является развитием разностный схемы для расчета движения однофазного газа.

На эйлеровом этапе использовались традиционные формулы

~ n ~ n ^ui,j^{- u}l,J

п п п

Pi-1, J «I, J

P,

i +^1,J

2Ax

n

At

P

^{1 ,}J

n

Pu -1 <J

P

i, J+1

j

(1)

n

At

2Ay

P

^i, j

E". -E

n

n

a

Pi.j+1°r,j+1

Pi, j-1°r, j-1 J

^pl+1,j^ui+1,j ^pl-1,j^ui-1,j

2Ax

^l, j

^l, j

+

<

n

At

2Ay

^1, j

На этих уравнений определяются значения параметров на промежу­точном слое: u", , E”_y.. Все величины здесь относятся к газовой фазе.

На лагранжевом этапе вычисляется перенос массы каждой фазы че­рез границы ячеек, а также перенос импульса и энергии. Потоки величин газовой фазы рассчитываются по формулами первого порядка точности, например,

A(M м) n+_ll2J =

u + u

n n ^u (1)i+1,j + ^u (1)i ,j

^P(1)i ,jV(1)i,j

^Ay^{At, е}сли ₊₁,j + ~ⁿ)i,j > ^0,

2

(2)

<

~ n I ~ n

^u (1)i+1, j + ^u(1)i, j _a ~ n ~ n r\

— AyAt,

если u₍.₊₁ . + u₍. . < 0,

nn

^P(1)i+1JV(1)i+1,j где ф1=(1,и,и,Е).

2

Потоки параметров твердой фазы определяются как по аналогичным приведенным выше схемам первого порядка точности, так и по схемам второго порядка точности, например,

п

^A((M2^~2 ⁾

i+1/2,J ^-

(Р^Ъ + ^{Pl(Pl)"^M'^J - ^ "^i-‘-^J Ui,. + ^U2)J^U^)AyAf,

JJ а ■ nd^s=JJJ div ud^v ₍₁₅₎ 11

p=p0+pg*0 - z) (10) 18

JJ ^pn^dS 29

J§=-!Р ),А 36

^u2^Ap7^r2r+^{с (12)} 73

Ж^—’{⁽Ч-%)^П) 94

h’i)^r,V^c4^rk-^c‘j' 94

F(y₊₎=£,_n№,₊) _{+ 9}(g-l)(g) 100

+ ^{A(M.)"j-1/2 - A(M.)”,+„2 +A(M.)"-_1J„,₂ - A(M.):+./_2j }- 220

в остальных случаях A(M₂<^u₂)"_+1/2,, =0.

На заключительном этапе на основании законов сохранения нахо­дятся значения параметров обеих фаз на новом временном слое: p”+¹, EW+¹, UW+¹, vW⁺¹ (w - 1,2). При этом учитывается межфазное взаимодей­ствие f и поток тепла между фазами q. Разностные формулы заключитель­ного этапа имеют вид:

+1

^p(1)*,j ^-

+ ^{A(M.)"j-1/2 - A(M.)”,+„2 +A(M.)"-_1J„,₂ - A(M.):+./_2j }-

• p;;„,, + [ZA(M.)/(AxAy)],

U^;” )ij - (p1 ij / p^u E ij + [ z A(MU1)] /(AxAy)pp+_)u ) - Atf_x / p\%._t,

JJ а ■ nd^s=JJJ div ud^v ₍₁₅₎ 11

p=p0+pg*0 - z) (10) 18

JJ ^pn^dS 29

J§=-!Р ),А 36

^u2^Ap7^r2r+^{с (12)} 73

Ж^—’{⁽Ч-%)^П) 94

h’i)^r,V^c4^rk-^c‘j' 94

F(y₊₎=£,_n№,₊) _{+ 9}(g-l)(g) 100

+ ^{A(M.)"j-1/2 - A(M.)”,+„2 +A(M.)"-_1J„,₂ - A(M.):+./_2j }- 220