2. Математическая модель двухфазных потоков

Для теоретического решения такой сложной задачи, как исследование течения многофазных потоков в конструкциях двигателей, возникает необходимость решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных или интегральных уравнений, выражающих законы сохранения. Уравнения, описывающие протекающие здесь процессы, представляют собой весьма сложную систему дифференциальных уравне­ний в частных производных. Причем область изменения исходных функ­ций настолько широка, что обычные методы аналитического исследования здесь в общем случае не могут быть использованы для получения полного решения задачи. В связи с этим численный эксперимент приобретает в данной области механики важное значение в комплексе с традиционным физическим экспериментом. При этом важный принцип использования по­лучаемых математических результатов в данном направлении состоит также в анализе физики явления и проясняет качественную картину, с по­мощью которой проверяется и уточняется постановка задачи.

Двухфазное рабочее тело отличается от однофазного ("чистого газа") наличием в газовом потоке достаточно мелких твердых или жидких частиц различных форм и размеров, обменивающихся с газом кинетической энер­гией. Механизм движения двухфазных сред состоит в увлечении конден­сированных частиц аэродинамическими силами со стороны газового пото­ка. При движении 2-х фазного потока наблюдается неравномерность со­става, связанная как с его исходным составом, так и с перераспределением частиц в связи с различием скоростей. В общем случае при течении двух­фазного рабочего вещества наблюдается разность скоростей газа и частиц.

Поведение частицы, находящейся в движущейся среде внутри зоны сепарации, определяется следующими силами:

• аэродинамические силы, воздействующие на поверхность частицы К-фазы со стороны газового потока (сила аэродинамического сопротивле­ния, сила вязкого трения, сила Архимеда, сила присоединенной массы), проявляющихся лишь при наличии разности скоростей между газом и ча­стицами;

• массовые силы, действующие на частицу: (сила тяжести и центро­бежная сила, обусловленная вращением потока);

• силы, действующие между отдельными твердыми частицами (силы от взаимных столкновений; силы трения; силы сцепления).

При выводе уравнений, описывающих движение двухфазного рабоче­го вещества в рассматриваемых объектах, примем следующие допущения.

Объемная доля К-фазы в рассматриваемых процессах невелика, в свя­зи с чем соударениями частиц пренебрегаем.

Гидродинамические силы, действующие на движущуюся частицу, учитываются посредством коэффициента аэродинамического сопротивле­ния С5, который учитывает ее размеры и форму. В том случае, когда ча­стицы имеют различные размеры и формы, их необходимо разбить на фракции, в каждую из которых входят частицы с одинаковыми параметра­ми. Подобное предположение можно считать достаточно обоснованным.

Для математического описания движения двухфазных дисперсных смесей будем применять методы механики сплошной среды, как это дела­лось в работах Х. А. Рахматулина и его последователей. Ограничимся рас­смотрением ситуаций, для которых выполняются предположения о мало­сти диспергированных частиц и расстояний между ними по сравнению с характерными линейными масштабами течений (вне поверхностей разрыва параметров).

Главные допущения. При математическом моделировании всех рассматриваемых процессов и движений гетерогенных смесей всегда бу­дут полагаться справедливыми два главных допущения.

1. Размеры включений или неоднородностей в смеси (диаметры дис­персных частиц, капель, пузырьков в газовзвесях, аэрозолях, эмульсиях и суспензиях, диаметры волокон и зерен в композиционных и поликристал- лических материалах, диаметры пор в пористых средах и грунтах, толщи­ны пленок в газожидкостных смесях) во много раз больше молекулярно­кинетических (расстояний между молекулами, размеров кристаллической решетки, средних длин свободного пробега молекул). Таким образом, ука­занные неоднородности содержат большое количество молекул (см. рис. 1). Но тем не менее имеет место следующее.

2. Размеры указанных неоднородностей во много раз меньше расстояний, на которых осредненные или макроскопические параметры смеси или фаз меняются существенно (вне некоторых отдельных зон, ко­торые будут рассматриваться как поверхности разрыва). Таким образом, размеры неоднородностей много меньше длин рассматриваемых в смесях волн, длин и диаметров каналов, в которых течет многофазная смесь, раз­меров испытываемых гетерогенных образцов и т. д.

Первое допущение позволяет использовать классические представ­ления и уравнения механики сплошных однофазных сред (уравнения иде­альной и вязкой жидкостей, уравнения упругого и упругопластического тела и т. д.) для описания процессов в масштабах самих неоднородностей, т. е. процессов внутри или около отдельных включений или неоднородно­стей (для смеси в целом это — микропроцессы). При этом для описания физических свойств фаз (вязкости, теплопроводности, упругости и т. д.) можно использовать уравнения и параметры, полученные из опытов с со­ответствующими веществами в однофазном состоянии.

Второе допущение позволяет описывать макроскопические процессы в гетерогенной смеси (распространение в них волн, течение смесей в кана­лах, обтекание смесями тел, деформацию пористого тела, поликристалли- ческого или композитного образца) методами механики сплошной среды с помощью осредненных или макроскопических параметров.

Описание методами механики сплошной среды различного рода сме­сей как гомогенных, так и гетерогенных связано с введением понятия мно­госкоростного континуума и определением взаимопроникающего движе­ния составляющих. Многоскоростной континуум представляет собой со­вокупность N континуумов, каждый из которых относится к своей состав­ляющей (фазе или компоненте) смеси и заполняет один и тот же объем, за­нятый смесью. Для каждого из этих составляющих континуумов в каждой точке определяется обычным образом плотность (приведен­ная) pi (масса i-й составляющей в единице объема среды), скорость Vi (1 = 1, 2, ..., N), а затем и другие параметры, относящиеся к своему континууму и своей составляющей смеси. Таким образом, в каждой точке объема, заня­того смесью, будет определено N плотностей, N скоростей и т. д.

Используем общие допущения механики многофазных сред: каждую из фаз будем считать идеальной, вязкость и теплопроводность фаз будем учитывать лишь в процессах межфазного трения и теплообмена; будем предполагать, что столкновения, дробление и коагуляция частиц дисперс­ной фазы отсутствует. Долю объема смеси, занятую i-й фазой, будем ха­рактеризовать величиной еe объемного содержания a_i, (i=1, 2). Каждой

точке смеси поставим в соответствие приведенные плотности фаз pi, ха­рактеризующие их массы в единице объема смеси, и истинные плотности фаз p_iⁿ, характеризующие плотности составляющих их веществ

n n

Р\ ~ М\Р\ , Pi ~ ^IPl ■

Объемное содержание дисперсной фазы частиц будет определяться объемом индивидуальной частицы © и числом частиц и единице объема смеси n (числовой плотностью) а₂ = ©*n.

Анализ перечисленных сил с точки зрения их роли в процессе воз­душной сепарации показывает, что доминирующими являются силы аэро­динамического сопротивления и массовые силы. Влияние инерции присо­единенной массы и Архимедовых сил мало для рассматриваемых задач. При невысоких концентрациях К-фазы интенсивность силового взаимо­действия частицы с окружающим газом практически не зависит от присут­ствия соседних частиц в ближайшей окрестности. Пренебрежимо мало и непосредственное взаимодействие частиц друг с другом.

С учетом указанных особенностей сформулируем математическую модель процессов газодинамики двухфазных потоков.

Систему дифференциальных уравнений для описания неустановив- шихся пространственных течений газовзвесей запишем в следующем виде:

^dPl + VPjWj = 0, — + Vp₂ W₂ = 0,

d

(1)

t ^{1 1} dt ^{2 2}

З десь W_i, I_i, E_i скорость, удельная внутренняя и удельная полная энергии i-й фазы, р -- давление смеси, f — суммарная сила, действующая на отдельную частицу со стороны газа. Через V и d_i/dt обозначены симво­лические операторы:

dx dy dz

Для замыкания системы дифференциальных уравнений (1) необхо­димо конкретизировать законы взаимодействия фаз и задать их уравнения состояния

P = P⁽Pl^,TX A = ^{1 (}P1, ^Ti X Pi = cornt, l2=h(T2). (2)

Здесь T_i (i=1, 2) — температура i-й фазы смеси.

При выборе физический модели будем проводить рассуждения, сле­дуя работам Р. И. Нигматулина. Для конкретизации законов взаимодей­ствия фаз диспергированные частицы взвеси для простоты будем считать сферами диаметра 5. Кроме того, будем предполагать, что интенсивности теплового и силового взаимодействия частицы с окружающим газом не за­висят от присутствия соседних частиц в ее ближайшей окрестности. Тогда для задания интенсивности теплообмена можно использовать обычные со­отношения:

g = nS ²Р(Т_Х - T ) = SA.Nu(T - T ), Nu = Nu(Re, Pr,M),

Re = p“|W - W2|S/_ft, Pr = c^J Ax, M = |W - W₂\lC, ⁽³⁾

Здесь в — коэффициент теплоотдачи, Nu и Рг — числа Нуссельта и Прандтля, Rе и М — числа Рейнольдса и Маха относительного обтекания частицы. Через Х₁и ц₁ обозначены теплопроводность и динамическая вяз­кость газа, с_р1 — теплоемкость газа при постоянном давлении, С₁ — ло­кальная скорость звука в газе.

Результирующую силу взаимодействия между фазами f определим с учетом нестационарных эффектов при обтекании частицы газом в относи­тельном

движении. Для этого приближенно представим ее в виде суммы:

f⁼f^+fA+fm, (4)

где f_p — сила вязкого трения, f_A-сила Архимеда и f_m — сила присо­единенной массы:

fp=1/8*n5²p1^UC₅|W1 - W2\(W1 - W 2), C₅= C_s(Re,M),

1^ u-W_{x r} 1^ _U(-W_x -W₂.

^fA= 2 ^0puiT ■ ^fm = 2 ®^{pu (}~W - -W2¹ <⁵⁾

Здесь С5 — коэффициент сопротивления частицы.

Расчеты показывают, что режимы сверхзвукового обтекания частиц газом в относительном движении реализуются лишь в локальных областях течения, например, в окрестности фронтов сильных, ударных волн. Учет влияния числа Маха М на параметр Nu и коэффициент сопротивления С5 в этих областях практически не сказывается на интегральных результатах расчета. В связи с этим для расчета Nu и С5 могут быть рекомендованы обычные дозвуковые зависимости.

Заметим, что в силу существенного различия размеров дисперсных частиц и обтекаемого тела число Рейнольдса внешнего обтекания на много порядков больше числа Рейнольдса для взаимодействия частиц с газом. Поэтому для достаточно большого класса задач вязкость и теплопровод­ность можно учитывать только при взаимодействии фаз, считая в газоди­намическом смысле газ невязким и нетеплопроводным.

Если учитывается зависимость силы межфазового взаимодействия (4), (5) от ускорений фаз, то уравнения импульсов системы (1) целесооб­разно разрешить относительно производных dW₁/dt, dW₂/dt. Выполнение этой процедуры применительно к газовзвесям достаточно малых давлений

и j и 1

^{P1 1 p}:> «¹ и концентраций дисперсной фазы а2<<1 и пренебрежении чле-

и / и

нами порядка Q(a2, ^{P1 P2} ) дает [294]:

P ^{-W = -(1 -} |^a2⁾Vp ^- xn^f^

-t 2

Р2 ^ = -³«2^VP + ХП/_Ц,

dt 2 * (6)

_Z = (1 - 3/2«-p /2 p\ ).

Уравнения движения (6) для дальнейшего использования удобно за­писать в квазидивергентном виде

JJ а ■ nd^s=JJJ div ud^v ₍₁₅₎ 11

p=p0+pg*0 - z) (10) 18

JJ ^pn^dS 29

J§=-!Р ),А 36

^u2^Ap7^r2r+^{с (12)} 73

Ж^—’{⁽Ч-%)^П) 94

h’i)^r,V^c4^rk-^c‘j' 94

F(y₊₎=£,_n№,₊) _{+ 9}(g-l)(g) 100

+ ^{A(M.)"j-1/2 - A(M.)”,+„2 +A(M.)"-_1J„,₂ - A(M.):+./_2j }- 220

Здесь p_iW_i(W_i,l) — поток вектора импульса i-й фазы через поверх­ность, перпендикулярную единичному вектору l,( _Wi, l) — скалярное про­изведение векторов Wi и l.

Следует подчеркнуть, что коэффициенты недивергентности при Vp в уравнениях (6), (7) имеют значения 1,5а₂ и (1— 1,5 а₂), в отличие от ставших традиционными значений а₂ и (1 — а₂). Это связано с тем, что в общей силе межфазового взаимодействия f учтена не только сила Архиме­да f_A, но и сила присоединенной массы f_m, имеющая тот же порядок мало­сти (см. (5)), что и f_A. Учет f_A является, таким образам, существенным с методической точки зрения.

В целом эффеккты недивергентности в (6), (7) имеют порядок вели­чина объемного газосодержания а₂. Во многих практически важных ситуа­циях внешнего аэродинамического обтекания тел запыленными газами значения объемной концентрации взвешенной фазы невелики а₂<~1% (хо­тя массовые содержании частиц в смеси в силу малости давлений могут даже «превышать массовые содержания газа), поэтому членами порядка а₂ в уравнениях движения фаз далее будем пренебрегать. Соответственно

ограничимся случаем давлений, когда Р₁ / Р₂ <<1.

Запишем данную систему в другой форме:

• уравнение неразрывности

JJ а ■ nd^s=JJJ div ud^v ₍₁₅₎ 11

p=p0+pg*0 - z) (10) 18

JJ ^pn^dS 29

J§=-!Р ),А 36

^u2^Ap7^r2r+^{с (12)} 73

Ж^—’{⁽Ч-%)^П) 94

h’i)^r,V^c4^rk-^c‘j' 94

F(y₊₎=£,_n№,₊) _{+ 9}(g-l)(g) 100

+ ^{A(M.)"j-1/2 - A(M.)”,+„2 +A(M.)"-_1J„,₂ - A(M.):+./_2j }- 220

где V_O - объем области; t - время, E — U + W²/2 - удельная полная энергия смеси, U — c_vT - удельная внутренняя энергия, c_v - удельная теплоемкость;

R — газовая постоянная, W - вектор скорости газового потока в данной точке; P и Т - местные термодинамическое давление и температура; x_m - пространственные координаты; р - плотность газа; а - тензор напряжений вязкости; F - вектор плотности внешних массовых сил (центробежных,

вызванных вращением потока гетерогенной смеси внутри устройства), F_f - вектор приведенных сил межфазового взаимодействия:

—*■

1

Ff — -С₈рлб ²|W-W_K|*(W-W_K); (12)

О

C_s = C_x • C_cf - коэффициент аэродинамического сопротивления частицы сложной формы, C_cf - коэффициент аэродинамического сопротивления ча­стицы идеальной сферической формы

lg^(Re) ’

Cx - коэффициент, учитывающий отклонение формы частицы от идеаль­ной сферической, e_f — F_f • | W- W_K | - интенсивность обмена удельной полной энергией межфазового взаимодействия (включающая теплообмен, работу межфазовых сил),

Соответствующие уравнения для К-фазы:

• уравнение неразрывности

^apk + ^div⁽Pk^Wk^{) —} 0, Vx_m ^{e v}o^,t > 0; (13)

at

• уравнение количества движения

dW - -

Pk-W^{L —} Pk^F+^Ff > ^{V X}m ^{e v}o^,t > ⁰; (14)

dt

• уравнение энергии

dE

Pk^ — PkF• Wk + ef, VXm e Vo, t>0, (15)

dt

где доли объема, занимаемые газовой и К-фазой, характеризуются величи­нами их объемного содержания (a_g и a_k), и в соответствии с этим вводится понятие приведенной плотности фаз: P=a_gP_g0, P_k=a_kP_k0.

В рассматриваемых процессах изменение температуры потока и кон­денсированных частиц незначительно, в связи с чем, будем пренебрегать обменом внутренней энергии при межфазовом взаимодействии, и исклю­чим уравнение энергии для к-фазы.

Для замыкания системы необходимо определить модель турбулент­ности и краевые условия задачи.

C_rf

<

> •

24 4

— + —0 <

Re < 700 Re Re⁰³³

4 3

' 700 < Re < 2000