0.5

го

О

Уо,5и

Рис. 2. Профиль безразмерной избыточной скорости в основном участке осесимметричной воздушной струи, распространяющейся в спутном потоке воздуха

15 2,0

Согласно опытам Ваинпггейна, Остерле и Форсталя, а также Ферт- мана профили безразмерных избыточных скоростей в плоских спутных и затопленных струях описываются той же универсальной зависимостью, что и в осесимметричных струях.

				Alt да0 пн		, 4		д
				HR
				ЦО S А	А г	о т-д т=оугз т-0,43 а т=0,$4		По опытам -д.А.Жесттй и др.
				/0,4 ftP
—*			1			НО опытом Альопрт- сот и др. \ 1 О

-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 О 0,2 0,4 0,6 0,8 Mslim.

**Мъ

Рже. 3. Профиль безразмерной избыточной скорости в пограничном слое двух плоских спутных струй воздуха (начальный участок)

Исследованные в работах Б. А. Жесткова, В. В. Глазкова и М. Д. Гу­севой поля скорости в зоне смешения двух плоскопараллельных турбу-

лентных струй одного направления при различных соотношениях скоро­стей (m = 0; 0,23; 0,43; 0,64) представлены на рис. 3 в следующих безраз­мерных координатах:

Здесь Au = u - и_н - избыточная скорость в струе; Auo = uo - и_н -

начальная разность скоростей струях; Ау_05и = у - у_05и - поперечное расстоя­ние от места измерения до точки, в которой Au = 0,5Au_m0; Ay_b = y₀,_9u - y₀,_1u - расстояние между точками, в которых избыточные значения скорости рав­ны соответственно Au₁ = 0,9Au₀ и Au₂ = 0,1 Au₀.

На тот же рисунок нанесена кривая скорости в пограничном слое начального участка затопленной плоской струи, полученная в опытах Аль­бертсона и др. И в этом случае профиль скорости является универсальным, но несколько отличается от такового для основного участка.

Для описания универсальных профилен скорости подобраны при­ближенные аналитические зависимости. Для описания профилей скорости в основном участке струи любой формы будем пользоваться функцией f(y/b), которую теоретически получил впервые Шлихтинг:

(1)

Здесь ^= у/b — расстояние от точки со скоростью и до оси струи, выра­женное в долях от полутолщины (или радиуса) данного сечения струи b. Профили скорости, рассчитанные по формуле (1), хорошо согласуются с экспериментальными профилями скорости.

В начальном участке струи (u_m = u₀) иногда используется универ­сальная кривая скорости

где безразмерная ордината отсчитывается от наружной границы струи (рис. 4):

(3)

Кривая (2) вследствие изменения начала отсчета отличается от кри­вой (1). Координаты точек у₀,^ , уо,^ , уо,^ , которыми пользуются для срав­нения теоретической кривой с опытными данными, находят из (2) с помощью определения (3).

Рис. 4. Схема пограничного слоя затопленной струи

В поперечных сечениях основного участка справедлива следующая зависимость избыточной температуры от избыточной скорости:

f

T - T

A^PlT

U - u„

V

(4)

T - T

м н

^U м ^{- U} н у

Здесь знак приблизительного равенства предполагает постоянство теплоемкости (с_р = const), Рг_т - «турбулентное» число Прандтля, пропор­циональное отношению тепла, выделяющегося вследствие турбулентного трения, к теплу, отводимому путем турбулентного перемешивания.

Проведенные опыты показывают, что для осесимметричных струй можно принять Рг_т = 0,7 ... 0,8, а для плоских струй Рг_т = 0,5.

Сопоставление профиля температуры (8) в основном участке с опытными данными демонстрируется па рис. 5.

Рис. 5. Профиль избыточной температуры в основном участке плоской струи (Рг = 0,5)

Изменение параметров по длине струи

При равномерных полях скорости и температуры в начальном сече­нии струи семейство экспериментальных данных, описывающих измене­ние относительной избыточной скорости по безразмерной длине струи х = х/ Ь₀ показаны на рис.6,7 (величина bo - радиус или полуширина струи в начальном сечении, показана на рис. 1).

bUm

.1 ■о Л
+мО А А + р 4	О		+ т - * У77=* д т- <* TTJ =	0 0,114 П Ptt
	&			и, СИ 0,305
		V	V	Vе		О

Ли₀

0,75

0,5

0,25

О 20 4В 50 80 100 120 л

Р

Аа₀

0,8

0,8

0,2

ис. 6. Избыточная осевая скорость в дозвуковой неизометрической (0 = Т₀/Т_н = 1,85) осесимметричной струе газа, распространяющейся в спутном потоке (m=var); опытные данные О. В. Яковлевского и В. К. Пе- ченкина

р2—с	Р» о					! о 777=8 Д 7П =0,081 + 777=8,204
		? Д f	h
		С	<	>		* ш	-и,ош
				!		i ,	L...
						1	1	1	f

ЛЦ,

т

О 20 40 80 80 100 120 140 180 180 Ш

Рис. 7. Избыточная осевая скорость в сверхзвуковой (М₀ = 3) неизо­метрической (0 = Т₀/Т_н = 2) осесимметричной струе газа, распространяю­щейся в спутном потоке (m=var); опытные данные Б. А. Жесткова и др. Для сверхзвуковых струй под 0 = Т₀/Т_н понимается отношение температур торможения в начальном сечении струи и в окружающей среде.

Приближенные формулы, описывающие изменение относительной избыточной скорости по безразмерной длине струи х = х / b ₀, имеют вид:

• для плоской струи

Б

для осесимметричнои струи

олее точные расчеты течения газа в затопленной струе моделирует­ся в рамках решения уравнений Навье-Стокса численными методами.

ЛЕКЦИЯ 9

РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА ДЛЯ РАСЧЕТА ТЕЧЕНИЙ С УЧЕТОМ ВЯЗКОСТИ И ТУРБУЛЕНТНОСТИ ПОТОКА

План лекции

1. Метод крупных частиц для вязких потоков на непрямоугольной

сетке

1. Метод крупных частиц для вязких потоков на непрямоуголь­ной сетке

Система уравнений газодинамического процесса в общем виде:

• уравнение неразрывности

^Р + рdiv W = 0, Vx_m e Vo, t > 0; (1)

• уравнение количества движения

р ^dW =рр - gradp + DivQ, Vx e V_Q, t > 0; (2)

dt

• уравнение энергии

dF

p — = pF- W-div(PW) + div(QW) - divc[_x, Vx_m e V₀, t > 0; (3) dt

• уравнение состояния:

P = P(p,T); (4)

W²

где V_O - объем области; t - время, E = U + —^~ - удельная полная энергия,

U=c_vT - удельная внутренняя энергия, W - вектор скорости потока в данной точке; P и Т - местные термодинамическое давление и температура; x_m - пространственные координаты; р - плотность среды; q_T = -A grad(T) - вектор плотности теплового потока; A - коэффициент теплопроводности, c_v - удельная теплоемкость; q - тензор напряжений, вызванных силами вязкости

• /о л

2

Q = 2ц S - ц-ц' divW s, (5)

v 3

aw aWj

—^l+—^J v ^axj ^ax! у

где S =

2

- тензор скоростей деформаций, Wi - проекции вектора

скорости на оси координат Xi; в - единичный тензор, ц - коэффициент внутреннего трения (динамический коэффициент молекулярной вязкости)

движущейся среды, ц' - коэффициент объемной вязкости (в дальнейшем пренебрегаем).

Для расчета рассматриваемых течений может использоваться числен­ный метод, использующий схемы расщепления метода крупных частиц, но реализованный на неравномерной сетке метода конечных элементов. Необходимость введения нерегулярной сетки объясняется рядом особен­ностей исследуемых объектов и построения вычислительного эксперимен­та для инженерной практики. При использовании численных методов для моделирования таких течений возникают проблемы задания криволиней­ных границ каналов со сложными формами проточных полостей, неравно­мерной дискретизации области потока, сопряжения газодинамической за­дачи с задачами теплопроводности и механики деформирования.

При рассмотрении особенностей данного метода введем понятие ко­нечной частицы, отражающее использование в своей основе указанных ме­тодов. Внутри конечной частицы параметры потока аппроксимируются ал­гебраическими функциями с использованием известных соотношений ме­тода конечных элементов. Применение произвольной формы конечных ча­стиц, позволяет избежать введения фиктивных и дробных ячеек на грани­цах области течения и осуществлять произвольную дискретизацию про­странства.

Выбор расчетной схемы области конструкции наряду с выбором вида объекта геометрической идеализации и моделей физической идеализации протекающих в ее элементах процессов, включает в себя выбор формы фрагмента дискретизации. В зависимости от степени сложности процесса и геометрии области конструкции, фрагмент дискретизации может пред­ставлять собой элемент различной формы, например, треугольной с тремя или шестью узлами, четырехугольной и др. Использование сложных форм частиц неизбежно приводит к увеличению числа арифметических действий для вычисления параметров, но с другой стороны позволяет снизить необ­ходимое количество элементов дискретизации. Определение оптимального сочетания количества элементов и их сложности с целью снижения по­требных вычислительных ресурсов является предметом исследования мно­гочисленных работ.

Для удобства построения численной модели можно использовать ги­бридные элементы, состоящие из нескольких тетраэдров в трехмерных за­дачах или треугольников - в двумерных задачах. Преимущество такой процедуры заключается не только в том, что уменьшается количество ис­ходных данных (т.к. число самих элементов сокращается), но так же и в том, что комбинирование тетраэдров (треугольников) представляет значи­тельное преимущество при нахождении средних величин рассчитываемых параметров. В трехмерных задачах в качестве гибридного элемента ис­пользовался восьмигранник, составленный из тетраэдров (рис. 1a), в дву­мерных - четырехугольный элемент разделенный на треугольники (рис. 1b). Для повышения точности расчетов дискретизация гибридных элемен­

тов осуществляется дважды альтернативными способами с последующим осреднением получаемых характеристик. Например, четырехугольный элемент в двумерных задачах дважды разбивается на треугольники по обе­им диагоналям. Определяя характеристики элемента осреднением пара­метров элементов, образованных в результате первого и второго разделе­ния, получим улучшенные характеристики, которые не будут идентичны характеристикам соответствующей разбивки элемента на треугольники.

Рис. 1. Схема дискретизации гибридных конечных частиц в трехмерных (а) и двумерных (б) задачах

m

Р

m

б)

k

m

k

ис.2. Способ разбивки четырехугольного элемента на треугольные.

Схема расщепления рассмотренной системы уравнений при использо­вании конечной частицы треугольной формы представлена ниже.

С конечной частицей связана глобальная система координат (г, z). Уз­лы треугольного элемента i, j, m, обозначены в направлении по часовой стрелке. Линейная функция аппроксимации параметров потока в данном элементе имеет вид

5 = ад + N2^2 + N3^3 , (6)

где 5 - значения параметра течения (давления, температуры, состав­ляющих скорости) в узловых точках частицы, N_i- коэффициенты формы:

Ni =^~ [(Zj - Z_k)(r - r_k)- (rj - r_k)(z - Z_k)], ^{или N}i = [ Zjk ⁽Г ^- Гк^{) -} j ⁽z ^- Zk⁾]/^(2St⁾; 2St

S_t = (r₂₁-z₃₂ - r₃₂-z₂₁)/2 - площадь треугольника; zj, rj - координаты узло­вых точек, индексы i, j, k = 1, 2, 3 получаются циклической перестановкой индексов в последовательности i, j, m.

Г радиенты параметров потока определяются зависимостями

1

1

dz 2S ^{( Г}23^1 ^Г31^2 ^Г12^>3⁾, ^ ^(Z23^>1 ^ ^z31^>2 ^ ^Z12^3⁾. (7)

dr 2S

При использовании введенных соотношений конечно-разно стные уравнения Эйлерова этапа расщепления для треугольной частицы примут

вид:

n

Fr (Z23P1" + Z31?₂” + Z12P3" )+^^ +

^2St ^rtm

ⁿ )+ —(_{- r} т^п - _r т^п - _r т^п)

г3/ ^ V ^r23 ^ 1 ^r31 ^t 2 ^r12^T3 )

At

Vm — Vm +

Р

(8)

n

1 / \ rⁿ

F (_{- r} Pⁿ _{- r} Pⁿ _{- r} Pⁿ)+ — +

^Fr v ^r23^P1 ^r31^P2 ^r12^P3 ^

At

Um — Um +

2S_t

Р

tm

(9)

^ ^{( r}23^z1 ^r31^z:2 ^r12^z3 ⁾^ ^(z23^T1 ^ ^Z31^T2 ^ ^Z12^T3 ⁾

2S_t

_Eⁿ _{— E}ⁿ ₊ At

Em — Em \ '

2S_t

пт I-^ (- ^"U" -^u; -r^U")-

2S_t

Р

m

Pⁿ Vⁿ

tm tm

-^ (Z23P"V” + Z31P₂"V2' + Z^'V” )-

+

2S_t

tm

+ ^- [- ^(a nUn + т”К)-r^a n₂U2 + t ”V₂ⁿ)- Г12 (а ^U" + т"^')]+ + т¹- M^U" + a "V” )+ Z31 (t "U2 + a n₂V₂")+ z_n (t"U; + 0^)]+

(10)

2S.

^{_ [a}"m ^Vtm ^+Tnm^U;"m ^]+(^12 ⁺ ^23 ⁺ ^31⁾[

+ ■

+

tm

+ At (FZ1U1 + FZ2U2 + FZ3U3 + F_rtV1 + Fr2 V2 + Fr3 V3), где индексы n - номер шага по времени, m - номер конечной частицы; t - центр тяжести треугольника, rj = ri - rj , Zij = Zi - Zij , a, t - напряжения в элементе m, вызванные вязкостью, qij - тепловой поток через сторону ij.

Параметры в узловых точках сетки определяются по найденным на предыдущем шаге значениям соответствующих величин в центрах частиц путем аппроксимации поля этих величин в области течения.

На лагранжевом этапе расщепления при вычислении эффектов пере-

носа массы через стороны треугольных ячеек используется разностная формула первого порядка точности:

n

n

AM, = At-p“ ■ r

Г- Uijs + Z_;i Vi

(11)

± ijs

где AMij - приток массы через стороны треугольника; p+ - значение плотности в данной или соседней ячейке, в зависимости от направления перетекания массы; r_ij_s, Uij_s, V_ij_s - значения соответствующего параметра в середине стороны ij.

Значения плотности, скорости и энергии частиц к концу шага инте­грирования по времени вычисляются по соотношениям метода крупных частиц в соответствии с законами сохранения массы, импульса, полной энергии:

3

I^AM_iI

3

£ f ijs AM,

n +1

^pm

n +1

p"+¹=p" + i=>

mm

i=1

+

m

_pⁿ⁺¹_W

mm

n+1 p m

W„

(12)

где W - объем частицы; f - параметр потока f = { U, V, E }. Представленные конечно-разностные уравнения всех этапов расщепления характеризуются строгим выполнением законов сохранения массы, им­пульса и энергии.

Двумерная задача в прямоугольной системе координат

уравнения течения газа имеют вид:

- уравнения неразрывности ^dp

^Эи Эу^Л

+

Эх Эу

0

(1)

+ p

dt

^ J у

уравнения количества движения

ЭХ

du _ ЭР

p — = pF_X +

dt Эх

Эа

^хУ

+

Эх Эу

ЭХ Эа

^хУ ^у

Эх Эу

(2)

dv _ ЭР

^p ¥ = ^pFy "Эу +

уравнение энергии dE

ЭРи 5Pv +

+ (^а х^и + ^Х xy^v) +

p^- = ⁽P^Fx^u + p^^v) - dt

Эх Эу

Эх

(3)

Эх Эх Эу Эу ’

Эг

уравнение состояния: Р = Р (p, Т);

где u, v - составляющие скорости по осям x и у соответственно; F_x, F_y - компоненты массовой силы; соотношения для напряжений вязкости без учета объемной вязкости имеют вид, компоненты имеют вид:

г

Эи

Эх

dV

5y

dV

5y

Эи

Эх

2

2

(5)

^y

V

2

G,, = Ц 3

Эи ЭV

+

Эу Эх

Схема расщепления рассмотренной системы уравнений при использо­вании конечной частицы треугольной формы представлена ниже.

С конечной частицей связана глобальная декартова система координат (х, y) . Узлы треугольного элемента i, j, m, обозначены в направлении по часовой стрелке. Линейная функция аппроксимации параметров потока в данном элементе имеет вид

7 = N^1 + N2^2 + N3^3 , (6)

где 5i - значения параметра течения (давления, температуры, состав­

ляющих скорости) в узловых точках частицы, N_i- коэффициенты формы:

^Ni = 2^^{[(Xj - x}k⁾⁽y^- уk^)-(yj^- y_k^{)(x- x}OL

или Ni = [ x_jk (y - y_k) - y_jk (x - x_k)]/(2St);

S_t = (y₂₁-x₃₂ - y₃₂-x₂₁)/2 - площадь треугольника; xj, yj - координаты уз­ловых точек, индексы i, j, k = 1, 2, 3 получаются циклической перестанов­кой индексов в последовательности i, j, m.

Г радиенты параметров потока определяются зависимостями

Ц = Т¹ (-У23⁵ 1 - Уз 1 ⁷2 - У 1 2^3 ) > ^ = -¹ (^Х23⁷ 1 + ^x3 1 ⁷2 + ^x 1 2^3 )• (7)

Эх 2S_t oy 2S_t

При использовании введенных соотношений конечно-разностные уравнения Эйлерова этапа расщепления для треугольной частицы примут вид:

A

Fx -^-(- y23P1² - y31^2 - y12P" ) +

t

¹ ^ ^{_ l_}''23^P1 ^y31^P2 ^y12^P3

Um = Um +

Р

^y

(9)

^3 ⁾⁺^^(x23^²

23^x1 ^y31^x2 ^y12^x3 ⁾^ ^(x23^1 ^ ^x31^2 ^ ^x12^3

t ^2St

2

2

At

2

^Р m

Vm = Vm +

Fy -T^(x2₃P,² + x₃₁P" + x,2P" ) +

2S_t

+

2S

2^ ^(x23^CTy1 + ^x31^CTy2 + ^x12^CTy3 ⁾^ _oc ^{( y}23^1 ^y31^2 ^y12^3 ⁾

~^{n n} At I 1 / \

Em = Em + — f —-(- У2зР1^ПиП - y31P2ⁿU2 - y^U )- P m I ^2St

- ^ (x₂3P,"V;' + X3,P₂"V2' + х₁₂Рз"У3')+

+ [- У2з(^ n.un + x;'V,ⁿ)- Уз,(а X2U2 + x nvi>)- У₁₂ (а Хзип +xnV3')]+

+ [^х2з(^т1'и|' +ay,V,ⁿ)+ Хз,(т nu; + a y.V^)+ x,2 (x3U + a ^)]+

+ ^(q12 + ^q23 + ^q31)}+ ^At(Fx1^U1 + ^Fx2^U2 + ^Fx3^U3 + ^Fy1^V1 + ^Fy2^V2 + ^Fy3^V3X

(10)

где индексы n - номер шага по времени, m - номер конечной частицы; t - центр тяжести треугольника, y_ij = y_i - yj , x_ij = x_i - x^ , a, x - напряжения в элементе m, вызванные вязкостью, qij - тепловой поток через сторону ij.

Параметры в узловых точках сетки определяются по найденным на предыдущем шаге значениям соответствующих величин в центрах частиц путем аппроксимации поля этих величин в области течения.

На лагранжевом этапе расщепления при вычислении эффектов пере­носа массы через стороны треугольных ячеек используется разностная формула первого порядка точности:

f

AM = At ■ pn ■

~ n ~ n ^

y

(11)

ij Uijs + Xji Vijs V J

где AMy - приток массы через стороны треугольника; p+ - значение плотности в данной или соседней ячейке, в зависимости от направления перетекания массы; Uj_s, Vij_s - значения соответствующего параметра в се­редине стороны ij.

Значения плотности, скорости и энергии частиц к концу шага инте­грирования по времени вычисляются по соотношениям метода крупных частиц в соответствии с законами сохранения массы, импульса, полной энергии:

JJ а ■ nd^s=JJJ div ud^v ₍₁₅₎ 11

p=p0+pg*0 - z) (10) 18

JJ ^pn^dS 29

J§=-!Р ),А 36

^u2^Ap7^r2r+^{с (12)} 73

Ж^—’{⁽Ч-%)^П) 94

h’i)^r,V^c4^rk-^c‘j' 94

F(y₊₎=£,_n№,₊) _{+ 9}(g-l)(g) 100

+ ^{A(M.)"j-1/2 - A(M.)”,+„2 +A(M.)"-_1J„,₂ - A(M.):+./_2j }- 220

(12)

где S - площадь частицы; f - параметр потока f = { U, V, E }.

Представленные конечно-разностные уравнения всех этапов расщеп­ления характеризуются строгим выполнением законов сохранения массы, импульса и энергии.

Двумерная задача в цилиндрической системе координат

В связи с тем, что значительное число газодинамических процессов в конструкциях РС могут быть представлены в осесимметричной постанов­ке, представим схему расщепления двумерной системы уравнений Навье- Стокса в цилиндрической системе координат при использовании конечной частицы треугольной формы, являющийся составной частью гибридного фрагмента (рис.2.1Ь).

В проекциях на оси цилиндрической системы уравнения течения газа в осесимметричной постановке имеют вид:

- уравнения неразрывности

dp f du 1 drv ^ _

^p'~ = 0 (1)

+ p

■ + ■ dz r dr

dt

V^{dz r} У

- уравнения количества движения

da 1 d

+¹ -(Tr)

r dr ^rz

du _ dP

p— = pF_z +

dt dz

dv _ dP

p— = pF_r +

dt ^r dr

dz

(2)

dX

1 d / \

— +—(ra )

dz r dr ^rz

- уравнение энергии dE

f dPu 1 drPv

d

+ ^r^(a z^U + ^Xrz^V) +

dz

у

(3)

1 d _u ЧТ 1 d dT d , dT

+ IrlT u + G_rv)l + rX— + —X—

rz r

r dr r dr dr dz dz

- уравнение состояния:

P = P(p, T); (4)

где u, v - составляющие скорости по осям z и г соответственно; F_r, F_z - компоненты массовой силы; соотношения для напряжений вязкости без учета объемной вязкости имеют вид, компоненты имеют вид:

^2 dV _ V _ dU^Л

2 dU -1 .d(rV)

dz r dr

2

a _z = — д ^z 3

dr

Ш dV

dr dz

dz

V_dU_ dV r dz dr

2

= тД

^X rz = Д

ЛЕКЦИЯ 10 ГЕТЕРОГЕННЫЕ ТЕЧЕНИЯ

План лекции