4. Обзор и сравнительный анализ численных методов для реше­ния задач аэрогазодинамики

Многомерность и сильная нелинейность рассматриваемых явлений таковы, что численные подходы представляют практически единственную возможность для их достаточно полного теоретического исследования.

Существует ряд универсальных численных методик, которые приме­няются для решения нелинейных дифференциальных уравнений газодина­мики. Проанализируем применимость существующих численных методов к решению рассматриваемых задач.

Существует много универсальных численных методик, которые применяются для решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Отметим некоторые из них [3,4,7].

Метод конечных разностей

Этот численный подход более всего развит в данное время и широко используется для решения как линейных, так и нелинейных уравнений гиперболического, эллиптического и параболического типов. Область ин­тегрирования здесь разбивается на счетные ячейки с помощью некоторой, как правило, прямоугольной фиксированной сетки. Производные функции по всем направлениям заменяются конечными разностями с помощью тех или иных соотношений (приемы построения разностных уравнений весьма разнообразны), причем чаще всего используются так называемые неявные разностные схемы. Тогда на каждом шаге приходится решать систему ли­нейных алгебраических уравнений, содержащих иногда несколько сот не­известных. Литература по этому направлению очень обширна. Много внимания при этом уделяется исследованию свойств разностных уравне­ний (точность аппроксимации, условия устойчивости, диссипативные эф­фекты схем и т.п.). В последнее время все большее применение находят и подходы, связанные с использованием дифференциальных приближений, когда на уровне дифференциально-разностных представлений схемы уда­ется оценить ее свойства (в том числе и для нелинейных уравнений).

Метод интегральных соотношений

В этом методе, представляющем собой обобщение известного чис­ленного метода прямых, область интегрирования разбивается на полосы с помощью кривых линий, форма которых определяется видом границ этой области. Система уравнений в частных производных, записанная в дивер­гентной форме, интегрируется поперек этих полос, а затем подынтеграль­ные функции представляются определенными интерполяционными выра­жениями (консервативно-дифференциальные схемы). Полученная в ре­зультате аппроксимирующая система обыкновенных дифференциальных уравнений интегрируется численно. Основная трудность здесь состоит в решении краевой задачи для системы высокого порядка. Метод интеграль­ных соотношений, как и метод конечных разностей, применим к уравнени­ям различных типов.

Метод характеристик

Данный подход применяется только для решения уравнений гипер­болического типа. Решение здесь рассчитывается с помощью характери­стической сетки, которая выстраивается в процессе счета. Могут, однако, использоваться и такие схемы метода характеристик, в которых расчет ве­дется по слоям, ограниченным фиксированными линиями. Большое вни­мание в последнее время уделялось разработке характеристических подхо­дов и для решения пространственных задач.

Метод характеристик позволяет точно определить место возник­новения вторичных ударных волн внутри поля течения как результат пере­сечения характеристик одного семейства. Однако если таких ударных волн появляется много, то встречаются трудности при расчете. Кроме того, в процессе вычислений может наблюдаться значительная деформация рас­четной сетки. В этой связи методом характеристик целесообразно рассчи­тывать такие гиперболические задачи, в которых число разрывов невелико (например, установившиеся сверхзвуковые задачи газовой динамики), или использовать комбинации сеточных и характеристических методик.

Метод частиц в ячейках

Метод Харлоу частиц в ячейках сочетает в себе в определенных чер­тах преимущества лагранжева и эйлерова подходов. Область решения здесь разбивается неподвижной фиксированной в пространстве (эйлеро­вой) расчетной сеткой; однако сплошная среда трактуется дискретной мо­делью — рассматривается совокупность частиц фиксированной массы (ла- гранжева сетка частиц), которые движутся через эйлерову сетку ячеек. Ча­стицы служат для определения параметров самой жидкости (массы, энер­гии, скорости), в то время как эйлерова сетка используется для определе­ния параметров поля (давления, плотности, температуры),

Метод частиц в ячейках позволяет исследовать сложные явления в динамике многокомпонентных сред, частицы хорошо «следят» за свобод­ными поверхностями и линиями раздела сред, взаимодействием разрывов и т. п. Однако дискретный метод частиц обладает и рядом недостатков.

Главный из них, лежащий в самой природе метода, состоит в том, что из-за дискретного представления сплошной среды конечным числом частиц в ячейке параметры течений также определяются дискретным образом — как только частица пересечет границу эйлеровой ячейки, то масса, им­пульс, энергия частицы вычитаются из соответствующих величин прежней ячейки и прибавляются к новым значениям.

Такие скачки, весьма характерные для расчетов по методу Харлоу, приводят к большим нефизическим флуктуациям рассчитываемых величин (особенно плотности), в решениях появляются автоколебания и т. п. Кроме того, сами численные схемы этого метода обладают, вообще говоря, недо­статочной вычислительной устойчивостью (особенно в областях застоя, при небольшом числе частиц в ячейке и др.), поэтому приходится вводить в схемы явные диссипативные члены с искусственной вязкостью, исполь­зовать неявные схемы первого шага, рассматривать частицы различных форм и т. д. Затруднительно также получение информации для сильно раз­реженных областей, откуда практически уходят все частицы и т. п. Значи­тельно же увеличить число частиц не позволяют технические возможности современных вычислительных машин. По существу, метод Харлоу, благо­даря введению дополнительного параметра (числа частиц в данной ячей­ке), увеличивает в программном смысле на единицу размерность задачи.

Метод крупных частиц

Для расчета течений в сложных задачах аэрогазодинамики есте­ственно использовать нестационарные схемы сквозного счета, где вычис­ления проводятся без предварительного выделения особенностей, поверх­ностей разрыва и т. п.

Для газодинамических течений оказалось целесообразным отойти от дискретной модели частиц и исходить из концепции непрерывности, рас­сматривая вместо частиц поток массы через границы эйлеровых ячеек. Плотность газа здесь будет уже находиться не путем деления суммарной массы всех частиц в ячейке на ее объем, а из закона сохранения массы, за­писанного в разностной форме для данной ячейки (крупной частицы). При этом естественно сохранить сильные стороны метода Харлоу — эйлерово- лагранжев подход и сам процесс организации вычислений.

Таким образом, вместо совокупности частиц в ячейках здесь рас­сматривается масса всей ячейки в целом — крупная частица — и на основе конечно-разностных представлений законов сохранения изучаются неста­ционарные (и непрерывные) потоки этих крупных частиц через эйлерову сетку. По существу, при таком подходе используются законы сохранения, записанные в форме уравнений баланса для ячейки конечных размеров (как это обычно делается в процессе вывода газодинамических уравнений, но без дальнейшего предельного перехода от ячейки к точке). Применяя рациональные формы аппроксимаций для различных видов течений, уда­ется резко сократить требования к объему памяти и быстродействию ис­пользуемых ЭВМ.

Метод крупных частиц является в некотором смысле проме­жуточным между методом дискретных частиц в ячейках и обычными ко­нечно-разностными подходами, так как организация вычислений здесь проводится аналогично подходу Харлоу, но в то же время на всех этапах сохраняется структура конечно-разностных схем. В методах указанного типа используется расщепление исходной системы уравнений по физиче­ским процессам. На каждом из этапов расчета временного цикла рассмат­риваются в зависимости от характера исследуемого решения различные виды аппроксимаций (явные или неявные схемы, ориентированные схемы с учетом направления потока, центральные разности, метод интегральных соотношений и т. д.).

Метод конечных элементов

В нелинейной механике сплошных сред большую популярность полу­чил метод конечных элементов. Область его применения простирается от анализа напряжений до анализа движения жидкости, анализа течения сжи­маемого газа, анализа колебания систем. Этот метод может быть применен при решении любых дифференциальных уравнений. Необходимо подчерк­нуть, что более общие обоснования позволяют исключить необходимость вариационной формулировки физической задачи. Основная идея этого ме­тода состоит в том, что любую непрерывную величину, такую как темпе­ратура, давление и перемещение можно аппроксимировать дискретной мо­делью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей. Кусочно-непрерывные функции определяются с помощью значений непрерывной величины в ко­нечном числе точек рассматриваемой области. Исходные уравнения и ди­намические краевые условия удовлетворяются здесь лишь в некотором осредненном смысле для выбранного типичного конечного объема ("эле­мента") среды. При этом также происходит завязывание всех узлов расчет­ной области в единую систему уравнений, следствием чего являются не­оправданно высокие требования к объему используемой памяти ЭВМ.

Метод дискретных вихрей

В последнее время, особенно для задач, направленных на расчет от­рывных течений, получил распространение метод дискретных вихрей. В данном методе непрерывные вихревые слои, моделирующие несущие по­верхности и их следы, заменяются системой дискретных вихрей - прямо­линейными или кольцевыми (в зависимости от формы несущих поверхно­стей). Временной процесс представляется в виде последовательности рас­четных слоев, причем граничные условия задачи выполняются в конечном числе контрольных точек на несущих поверхностях. Однако данный метод не достиг еще уровня, когда возможно его практическое использование для решения инженерных задач гетерогенной механики течения с рециркуля­ционными зонами, которые имеют место рассматриваемых объектах.

Методы статистического моделирования

Быстрое развитие вычислительной техники стимулировало разработку численных методов статистического моделирования (методы Монте- Карло) широкого класса задач механики. Этот класс задач условно можно разделить на два вида:

• задачи со стохастической природой, когда метод Монте-Карло ис­пользуется для прямого моделирования естественно-вероятностной моде­ли. При этом точная динамика заменяется стохастическим процессом;

• детерминированные задачи, определяемые вполне определенными уравнениями. Здесь искусственно строится вероятностный процесс, кото­рый численно моделируется методом Монте-Карло на ЭВМ, что позволяет получить формальное решение в виде статистических оценок.

В механике сплошных сред метод статистического моделирования нашел широкое применение в основном при исследовании течений разре­женных газов, а в последнее время и при изучении нестационарных турбу­лентных процессов, имеющих стохастическую природу. Как обычно в данном методе среда заменяется конечномерной системой частиц фикси­рованной массы, для которой с помощью методов Монте-Карло произво­дится численное моделирование вероятностного процесса. В указанных работах показана принципиальная возможность построения при реализа­ции таких численных алгоритмов. Однако, такой подход выдвигает очень высокие требования к ресурсам памяти ЭВМ.

Численные методы в механике сплошных сред используют дискрет­ное представление среды, эйлеровы или лагранжевы ячейки, крупные ча­стицы, конечные элементы, дискретные вихри и т.д. Если в классических подходах на дифференциальном уровне устанавливается связь для точеч­ных объемов, то приемы вычислительной математики по существу исполь­зуют приближенное представление уравнений баланса для дискретных ма­лых (но конечных) объемов.

В настоящее время при численном решении уравнений Навье-Стокса большинство исследователей отдает предпочтение конечно-разностным методам, использующим как явные, так и неявные схемы. Для решения многомерных задач применяются схемы переменных направлений, схемы постоянного направления, схемы расщепления. Приемы построения раз­ностных уравнений весьма разнообразны. При использовании экстраполи­рующей схемы счета получают явные, а при использовании интерполиру­ющей схемы счета получаются неявные схемы расчета. Для явных схем должны удовлетворяться условия устойчивости решения, для неявных схем этого ограничения нет. Однако применение неявных схем требует решения системы алгебраических уравнений, для упрощения решения ко­торых используются специальные методы, метод прогонки или смешан­ный метод.

Если оценивать эффективность методов по затратам ресурсов ЭВМ, которые требуются для получения решения с заданной точностью, то в ка­честве одного из путей повышения эффективности может рассматриваться применение разностных схем повышенного порядка аппроксимации. Такие схемы обеспечивают заданную точность в областях непрерывного измене­ния функций при меньшем числе узлов разностной сетки, однако, число арифметических операций на расчет одного узла и затраты памяти ЭВМ при этом увеличиваются. Если порядок аппроксимации схемы повышается за счет расширения шаблона, то могут возникать дополнительные затруд­нения, связанные с реализацией граничных условий и усложнением струк­туры матрицы коэффициентов разностной системы.

Из проведенного обзора можно сделать вывод о том, что для реше­ния задач о движении вязких разноскоростных потоков в каналах сложной формы, характерных для исследуемых конструкций, метод крупных частиц является одним из наиболее эффективных. Использование этого метода позволяет рассмотреть класс многомерных задач с помощью единого чис­ленного подхода. По структуре построения вычислительного процесса он является аналогией эксперимента, что облегчает его внедрение в инженер­ную практику.