2. Методы дискретизации уравнений газовой динамики по про­странству и времени, разностные схемы

Подход к изучению движения текучих сред заключается в переходе от реальных текучих сред к их идеализированному представлению и соот­ветствующему математическому описанию.

За последние время в связи с полетами летательных аппаратов в ши­роком диапазоне скоростей и высот практика выдвинула для исследования целый ряд задач, требующих разработки принципиально новых подходов и методов для их решения.

Сюда относится, например, изучение трансзвуковых режимов обте­кания, определения вязких потоков газа, течений при наличии излучения, ионизации, исследования явлений, происходящих при срыве потока, в след за телом. При этом часто необходимо рассматривать аппараты сложных форм различные траектории полетов. В возмущенной области могут по­явиться вторичные скачки уплотнения, местные сверхзвуковые зоны, по­добласти «обратного» течения. Аэродинамические и прочностные харак­теристики, а также вопросы устойчивости, управления движением изучены явно недостаточно.

В настоящее время, как известно, широко разрабатываются числен­ные схемы решения нестационарных уравнений газовой динамики, кото­рые успешно используются и для получения стационарных характеристик течений. Такие подходы оказались практически возможными лишь при со­здании ЭВМ сравнительно большой мощности, так как введение дополни­тельной переменной (времени) значительно увеличивает объем работы. Надо также иметь в виду» что в некоторых случаях применение "классиче­ских" стационарных методов, хорошо разработанных ранее, встретило определенные трудности при решении ряда важных задач газовой динами­ки (например, при исследовании закритических трансзвуковых потоков, расчете срывных зон и полей течений для аппаратов сложной формы и др.). В частности, большой практический интерес представляет расчет об­текания сильно затупленных "длинных" теле изломом образующей конту­ра, так как существующие подходы не позволяют по единым алгоритмам проводить вычисления с требуемой точностью в широком диапазоне изме­нения параметров.

Вопрос о выборе системы координат, расчетной сетки является очень важным при построении численных схем.

В нестационарных задачах широко используются подходы Лагранжа и Эйлера. В первом случае, когда координатная сетка связана с движущи­мися частицами, лучше определяется структура потока, но метод доста­точно точен лишь при небольших относительных перемещениях жидкости. Второй подход, когда расчетная сетка фиксировано в пространстве, целе­сообразно использовать для течений с большими деформациями.

Наиболее общей математической моделью течения газа в рассматри­ваемых случаях является система уравнений Навье-Стокса. Данные урав­нения применяются для исследования как ламинарных, так и турбулент­ных течений. Однако, из-за большого различия масштабов турбулентности непосредственное их использование для моделирования турбулентных те­чений в задачах газодинамики РК требует неприемлемых затрат ресурсов ЭВМ. В настоящее время расчеты в большинстве случаев проводятся с ис­пользованием уравнений Рейнольдса, описывающих изменение осреднен- ных значений газодинамических функций. Эти уравнения замыкаются с помощью полуэмпирических теорий турбулентности. Принимая некоторые допущения, уравнения Рейнольдса можно записать в таком же виде, как и уравнения Навье-Стокса, и использовать для решения обеих систем одни и те же численные методы. Областью применения такого решения в рас­сматриваемых задачах является детальное исследование структуры вязкого взаимодействия, отрыва потока, областей рециркуляции, термомеханиче­ского взаимодействия газового потока и обтекаемых поверхностей кон­структивных элементов.

Сравнение численных методов затрудняется отсутствием достаточно простых и универсальных критериев эффективности. Например, предла­гаются следующие критерии: скорость сходимости при заданной точности, применимость для возможно более широкого круга задач, простота реали­зации. Очевидно, что эти требования в известной степени противоречивы и не обеспечивают однозначной количественной оценки численных алго­ритмов. Рассматривая применимость известных численных методов для решения поставленных задач, необходимо ориентироваться на возмож­ность их реализации в процессе проектирования РК, создания прикладных программ специального математического обеспечения.

В настоящее время при численном решении уравнений Навье-Стокса большинство исследователей отдает предпочтение конечно-разностным методам, использующим как явные, так и неявные схемы. Для решения многомерных задач применяются схемы переменных направлений, схемы постоянного направления, схемы расщепления. Приемы построения раз­ностных уравнений весьма разнообразны. При использовании экстраполи­рующей схемы счета получают явные, а при использовании интерполиру­ющей схемы счета получаются неявные схемы расчета. Для явных схем должны удовлетворяться условия устойчивости решения, для неявных схем этого ограничения нет. Однако применение неявных схем требует решения системы алгебраических уравнений, для упрощения решения ко­торых используются специальные методы, метод прогонки или смешан­ный метод. Литература по данному направлению весьма обширна. Много внимания при этом уделяется исследованию свойств разностных уравне­ний (точности аппроксимации, условиям устойчивости, диссипативным эффектам схем и т.д.).

Для решения уравнений Навье-Стокса предложены неявные безите- рационные схемы, основанные на расщеплении по координатам. Уравне­ния Навье-Стокса записываются в консервативной форме для приращений искомых функций. Получаемые на каждом дробном шаге системы линей­ных разностных уравнений имеют блочно-трехдиагональные матрицы ко­эффициентов и решаются векторной прогонкой. В методах применяется дополнительное расщепление по физическим процессам. При этом число дробных шагов увеличивается, но на каждом из них разностные уравнения решаются скалярными прогонками, либо методом бегущего счета. Это уменьшает число арифметических операций, необходимое для расчета каждого временного слоя, по сравнению с методами, в которых использу­ются векторные прогонки. Однако применение векторных прогонок имеет определенные преимущества. Оно уменьшает число шагов, необходимое для установления в стационарных задачах, повышает устойчивость метода и расширяет диапазон его применимости. Совместное решение всех урав­нений с помощью векторных прогонок имеет смысл при сравнительно не­большом числе искомых функций. В других случаях, например, в расчетах течений неравновесных многокомпонентных смесей это приводит к резко­му увеличению времени счета из-за необходимости выполнения операций с матрицами большой размерности. В таких случаях может оказаться целе­сообразным применять векторные прогонки для решения отдельных групп уравнений.

Если оценивать эффективность методов по затратам ресурсов ЭВМ, которые требуются для получения решения с заданной точностью, то в ка­честве одного из путей повышения эффективности может рассматриваться применение разностных схем повышенного порядка аппроксимации. Такие схемы обеспечивают заданную точность в областях непрерывного измене­ния функций при меньшем числе узлов разностной сетки, однако, число арифметических операций на расчет одного узла и затраты памяти ЭВМ при этом увеличиваются. Если порядок аппроксимации схемы повышается за счет расширения шаблона, то могут возникать дополнительные затруд­нения, связанные с реализацией граничных условий и усложнением струк­туры матрицы коэффициентов разностной системы.

В настоящее время для интегрирования уравнений Навье-Стокса ши­роко применяются методы, в которых аппроксимация конвективных чле­нов осуществляется в соответствии с локальными характеристическими свойствами уравнений Эйлера. Получаемые при этом системы разностных уравнений решаются с помощью итерационных процедур, включающих применение прогонки. Примеры использования таких методов для расчета стационарных двумерных течений вязкого газа демонстрируют высокую разрешающую способность и ускорение сходимости, вполне компенсиру­ющее увеличение объема вычислений на каждом временном шаге. В слу­чае трехмерных течений сходимость к стационарному решению суще­ственно замедляется.