Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тульский государственный университет»

>0 А

^Ъатехя*^

«■

Машиностроительный факультет Кафедра «РАКЕТНОЕ ВООРУЖЕНИЕ»

В.А. Дунаев профессор

ГИДРОАЭРОДИНАМИКА ОБ

Конспект лекций

Направление подготовки: 161700 Баллистика и гидроаэродинамика Специализация: Физическое и вычислительное моделирование теплоаэродинамических, теплогидравлических процессов и

конструкции ЛА Степень выпускника: магистр

Форма обучения очная

Тула 2012 г.

СОДЕРЖАНИЕ

JJ а ■ nd^s=JJJ div ud^v ₍₁₅₎ 11

p=p0+pg*0 - z) (10) 18

JJ ^pn^dS 29

J§=-!Р ),А 36

^u2^Ap7^r2r+^{с (12)} 73

Ж^—’{⁽Ч-%)^П) 94

h’i)^r,V^c4^rk-^c‘j' 94

F(y₊₎=£,_n№,₊) _{+ 9}(g-l)(g) 100

+ ^{A(M.)"j-1/2 - A(M.)”,+„2 +A(M.)"-_1J„,₂ - A(M.):+./_2j }- 220

С

218

ПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ

Многие машины и аппараты, созданные к настоящему времени, ха­рактеризуются перемещением газа или жидкости внутри их или переме­щением самого аппарата в среде газа или жидкости. Проектирование лета­тельных аппаратов и их двигателей невозможно без знания массообмен­ных процессов, протекающих внутри и вне их. Кроме того, современному инженеру необходимо знание таких проблем механики жидкости и газа, как динамические и термодинамические процессы в высокоскоростных потоках, ламинарный и турбулентный перенос импульса, движение реаль­ных газов.

Целью изучения дисциплины «Гидроаэродинамика ОБ» является изучение явлений, протекающих в сжимаемой и несжимаемой сплошной среде, закономерностей, которым эти явления подчиняются и законов вза­имодействия между воздушной средой и движущимся в ней твердым те­лом.

Дисциплина является теоретической основой авиационной и ракет­но-космической техники. Баллистическое проектирование летательных ап­паратов и их двигателей невозможно без знания протекающих газодина­мических процессов.

ЛЕКЦИЯ №1

ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В МЖГ

План лекции

1. Основные соотношения векторного анализа и теории поля, ис­пользуемые в МЖГ

2. Интегральные соотношения теории поля.

3. Массовые и поверхностные силы. Тензор напряжений и тензор деформаций

1. Основные соотношения векторного анализа и теории поля, используемые в МЖГ

Изучение гидрогазодинамики, понимание сущности рассматривае­мых физических явлений и процессов тесно связано с усвоением достаточ­но развитого математического аппарата, которым эта наука оперирует. Принципиально гидрогазодинамика может излагаться как на базе вектор­ного, так и координатного методов. Вопрос о том, какому из них отдать предпочтение, с давних пор служил источником дискуссий. Так, например, известный физик Уильям Томсон (лорд Кельвин) считал, что «векторы сберегают мел и расходуют мозг». Противником использования аппарата векторного анализа являлся и академик А.Н.Крылов, приводивший доста­точно веские аргументы против его применения. Тем не менее векторное построение курса находит широчайшее применение. Одной из причин это­го является общая тенденция к сокращению времени, отводимого на изу­чение дисциплины. В настоящем пособии не отдается решающее предпо­чтение ни одному из этих методов, они используются по мере необходи­мости с учетом конкретной ситуации и стремления наиболее простым и доступным способом донести до изучающего содержание вопроса.

Ниже приводятся некоторые необходимые для понимания дальней­шего сведения из векторного анализа и теории поля, в основном известные студентам из курса математики. Разумеется, что в рамках пособия они не могут претендовать на достаточную глубину и широту и носят рецептур­ный характер. Желающим основательно углубить свои знания в этой обла­сти можно рекомендовать книгу: Кальницкий Л.А., Добротин Д.А., Же- вержеев В.Ф. Специальный курс высшей математики для втузов. М.:Высшая школа, 1976. - 389с.

Одной из важнейших особенностей механики жидкости является то, что в основу ее положена так называемая модель сплошной среды. Как из­вестно, для описания среды, состоящей из большого числа молекул в срав­нительно малом объеме (жидкости и газы) в физике широко используются два пути: феноменологический и статистический (иногда их называют корпускулярной и континуальной моделями). Феноменологический путь изучения основывается на простейших допущениях. Оставляя в стороне вопрос о строении вещества, он наделяет его такими свойствами, которые наилучшим образом устанавливают соответствие между наблюдаемыми явлениями и их описанием.

При таком подходе жидкости (газы) рассматриваются как непрерыв­ная среда, способная делиться до бесконечности. Другими словами, жид­кость (газ) представляется состоящими из достаточно малых частиц непре­рывным образом заполняющих пространство. Эта среда обладает свой­ством инерции и наделена различными физическими свойствами. В соот­ветствии с такой моделью все параметры жидкости (плотность, вязкость и др.) изменяются непрерывно от точки к точке, что позволяет при анализе движения среды применять математический аппарат дифференциального и интегрального исчислений, хорошо разработанный для непрерывных функций.

Понятие о частицах жидкости, которым широко оперирует гидрога­зодинамика, неразрывно связано с понятием о физически бесконечно ма­лом объеме. Это объем, размеры которого пренебрежимо малы по сравне­нию с характерными размерами объекта, но он содержит в себе настолько много молекул, что его средние характеристики (например, плотность) становятся устойчивыми по отношению к изменению объема. Поэтому, например, фраза «объем стягивается в точку» означает, что он стремится не к нулю, а к физически бесконечно малому объему. Следует твердо усвоить, что все законы механики жидкости справедливы до тех пор, пока справедлива модель сплошной среды. Количественно это можно оценить по величине числа Кнудсена, представляющего отношение длины свобод­ного пробега молекул l к характерному размеру течения L, т.е.

Kn = -

^L (1)

Принято считать, что законы механики жидкости справедливы, если Kn<0,01.

Векторы и операции над ними.

Полем какой-либо величины называется пространство, в каждой точке которого эта величина вполне определена. Если эта величина скаляр, т.е. характеризуется одним числом, то поле называют скалярным (поле плотности, поле температуры).

Векторным называется поле, которое характеризуется в каждой точ­ке пространства величиной и направлением. К этому следует лишь доба-

вить, что непременным условием, связанным с векторными величинами, является то, что они должны складываться по правилу параллелограмма. Поэтому, например, поток автомашин, движущихся по улице и характери­зующийся как величиной, так и направлением не является вектором.

Единичные векторы (орты) в декартовой системе координат будем

обозначать ^ex^

, ^e_z. Тогда вектор ^u может быть представлен как

^u = ^е x^ux + ^eyUy + e z^uz

y

(2)

где U_x, U_y, U_z - проекции (компоненты) вектора на соответствую­щие оси координат.

Скалярное произведение двух векторов дает скалярную величину

cos a

u • v =

u

v

(3)

где a - угол между векторами.

Ясно, что скалярное произведение обращается в нуль, если векторы

u и v взаимно перпендикулярны.

Векторное произведение двух векторов.

В противоположность скалярному произведению, здесь первое слово указывает на то, что результат действия есть вектор. Векторное произведе­ние может быть записано в виде определителя третьего порядка

x

y

z

u x v

u.

u.

u

(4)

v.

v.

v

Раскрывая определитель по общим правилам, получаем:

^uz^vy ⁾

^uz^vx ⁾+ ^ez ^(ux^vy

⁾ (5)

^ey ^(ux^vz

u x v = e (u v

x \ у z

^uy^vx

Операции первого порядка (дифференциальные характеристики по­ля).

В теории поля рассматриваются три так называемые операции пер­вого порядка. Эти операции позволяют, выполнив определенные матема­тические действия, превратить:

• скалярную величину в векторную;

• векторную величину в скалярную;

• векторную - в другую векторную;

Эти операции соответственно называются - градиент, дивергенция и ротор (вихрь). Рассмотрим каждую из них.

Градиент какой-то скалярной функции 9(x,y,z) есть вектор, образу­ющийся в результате выполнения следующих действий:

J е Эф е

grad ф = е— + е₅

dx

Эф е Эф

+ e

(6)

z

Э y

dz

Физически градиент есть вектор, в направлении которого функция в данной точке поля изменяется с максимальной скоростью.

Дивергенцией вектора и называется выражение вида

_v dy dz J ^ dz dx J ^ dx dy j

Если rot и = 0 , то поле называют безвихревым.

Каждая из трех операций имеет гидродинамическую интерпретацию, которая приводится в соответствующих разделах курса.

Операции второго порядка.

Операции grad ф, divu, rotu, переводящие скаляр в вектор, век­тор в скаляр и вектор в вектор порождают пять операций второго порядка:

• превращение скалярной величины в векторную

grad (div и );

• превращение векторной величины в скалярную

div (grad ф);

div(rot и );

• превращение одной векторной величины в другую

rot (grad ф);

rot(rot и ).

В теории поля показывается, что два из этих пяти соотношений тож­дественно равны нулю: div(rot и ) = 0 и rot (grad ф) = 0. Операция div (grad ф) носит название оператора Лапласа для скалярного поля и имеет вид

/ ч д²ф д²ф д²ф

^dlv(g^rad ф) = + ^г + V2 (⁹)

dx d y dz

dx dy dz

Следовательно, любое векторное поле дает некоторое скалярное по­ле, а именно поле своей дивергенции (расходимости). Если div и = 0, то поле называют соленоидальным.

Вихрь поля (ротор) - это вектор, образующийся при выполнении операции

Г л, Л f Л

div U = —- + —^y +

^duz ^duy

rotU = e

du^ du_y du,

- (7)

x z

+ ^ey

+e

(8)

П

Интегральные соотношения теории поля. Поток векторного поля.

усть dS (рис. 1.1) - элемент поверхности, а П - единичный вектор, направленный по внешней нормали. Потоком векторного поля (например

U ) называют поверхностный интеграл вида

Я ^U •^ndS (10)

S

Если рассматривается векторное поле ротора ( ^{rot u} ), то поток этого поля представляется как

Ц (rot u )ndS

S

Циркуляция вектора поля.

Пусть рассматривается векторное поле какой-то величины U . Цир­куляцией вектора U вдоль контура L называют криволинейный интеграл вида

Г = { ^u • & (12)

L

Иногда этот интеграл интерпретируется как «работа» векторного по­ля вдоль контура L. Если циркуляция векторного поля вдоль замкнутого пути (контура) равна нулю, то поле называют потенциальным.

Формула Стокса.

Эта формула позволяет преобразовать криволинейный интеграл вдоль замкнутой пространственной кривой в поверхностный интеграл по поверхности, натянутой на эту кривую, т.е.

^u • dl =JJ(rotu)• ndS

LS

т.е. циркуляция вектора поля вдоль контура равна потоку вихря че­рез поверхность, ограниченную этим контуром.

Формула Гаусса-Остроградского.

Это соотношение, часто называемое преобразованием Гаусса- Остроградского, связывает поверхностный интеграл по замкнутой поверх­ности с тройным интегралом по области, ограниченной этой поверхностью

JJ а ■ nd^s=JJJ div ud^v ₍₁₅₎

s v

Формула показывает, что поток векторного поля через замкнутую поверхность равен тройному интегралу от дивергенции поля по объему, ограниченному этой поверхностью.

В механике жидкости широко используется формула, являющаяся следствием формулы Гаусса-Остроградского для скалярного поля

JJp^ndS = JJJ grad cpdV (16)

S V

где p - какая-то скалярная функция.

Тензор напряжения.

Для уяснения дальнейшего необходимо подробней рассмотреть век­тор Р_п .

В движущейся среде мысленно выделим частицу в форме жидкого тетраэдра. Пусть п - внешняя нормаль к четвертой (наклонной) грани тет­раэдра , а площадь этой грани dS (см. рис.4).

Площади других граней - соответственно dS_x, dS_y, dS_z, т.к. их

можно рассматривать как проекции грани ABC на координатные оси. Сле­довательно, dS_x = dS cos(n, x) = n_xdS, где n_x обозначает направляющий косинус. Аналогично, d^ = n_ydS, dS_z = n_zdS. Обозначим объем тет­раэдра dV, тогда действующая на него массовая сила pFdV, а массовая сила инерции padV, где а вектор ускорения жидкого тетраэдра. По­верхностная сила, действующая на наклонную грань - p_ndS. Для трех других граней можем записать:

• ^px^dSx =-^pxⁿx^dS

• ^pz^dSz =^-pzⁿz^dS

^{- P}y^dSy =^-Pyⁿy^dS

Знаки минус, т.к. векторы p_x, ^py и ^p_z направлены в стороны,

противоположные координатным осям.

Запишем уравнение движения тетраэдра, которое в соответствии с общими законами механики должно иметь вид:

Масса • ускорение = (результирующая массовых сил) +

+ (результирующая поверхностных сил).

Имеем:

—►

padV = pFdV + p_ndS - p_xn_xdS - p_yn_ydS - p_zn_zdS

Слагаемые padV и pFdV есть величины третьего порядка мало­сти, а остальные - второго, поэтому ими можно пренебречь, что дает

^pn = ⁿx^px + ⁿy^py + ⁿz^pz (17)

n	kPzz
/
	Pzy Pxy		Pxx
/x		/	x

Рис. 3

Из этого равенства следует, что напряжение ^pn при произвольной

ориентации нормали ⁿ может быть определено, если известны напряже­ния в той же точке для площадок, внешние нормали которых параллельны осям Ox, Oy и Oz.

^py и p_z на координатные оси x, y, z обо-

Pxx	Pxy	P
yx P	yy P	P
Pzx	zy P	P

xz

yz

zz

П

Проекции векторов ^p_x значаются:

ервый подстрочный индекс указывает ось, перпендикулярную ори­ентации площадки, второй - ось, на которую спроектировано напряжение.

Для уяснения ориентации рассмотрим параллелепипед, выделенный в движущейся жидкости и показанный на рис. 2.5.

Из рисунка, в частности, видно, что напряжения с одинаковыми ин­дексами являются нормальными, а с разными - касательными. В проекциях на декартовы оси координат выражение (2.9) может быть записано как

Pnx = ⁿxPxx ^{+ n}yPyx ^{+ n}zPzx

Pny = nxPxy + nyPyy + nzPzy (18)

Pnz = ⁿxPxz + ⁿyPyz + ⁿzPzz

Совокупность этих девяти составляющих компонентов напряжения образует тензор напряжения. В матричной форме он записывается в сле­дующем виде:

	Pxx	Pyx	Pzx
п =	Pxy	Pyy	Pzy
	Pxz	Pyz	Pzz

В тензорном анализе доказывается, что тензор напряжений является симметричным. Это означает, что величины, расположенные симметрично главной диагонали, равны (Py_x = P_xy; P_xz = P_zx; P_zy = P^). Следова­тельно, для определения тензора напряжений достаточно знать не девять, а шесть скалярных величин.

Следует учесть одно обстоятельство. Векторы напряжений ^px , ^p y ,

^p_z в соотношении (17), носящем имя Коши, и приложенные к координат­ным площадкам, не имеют объективного физического смысла, т.к. зависят от выбора системы координат. Поэтому такие величины причисляются к так называемым «квазивекторам», хотя к ним и можно применять все опе­рации, применимые к физическим векторам.

К понятию тензора можно подойти и другим путем, который, воз­можно, покажется более простым. Поэтому целесообразно хотя бы кратко остановиться на нем. Для наглядности тензор можно представить как ка­кой-то оператор, с помощью которого можно преобразовывать векторы в векторы. Упрощая и сводя математический аппарат к механическому, опе­ратор можно представить как какую-то «машину», которая по определен­ным правилам перерабатывает вводимые в нее векторы. Зная принцип ра-

боты этой «машины», можем знать и вектор, который появляется на выхо­де. Можно записать

—► —► а = A • B

где a - входной вектор;

B - выходной вектор;

A - оператор, который и называют тензором.

Существенное ограничение заключается в том, что оператор должен быть линейным. Определить тензор - это значит задать правила, по кото­рым работает оператор.

И в заключение еще несколько замечаний. Выше уже отмечалось, что одно из фундаментальных свойств жидкости - ее вязкость - не прояв­ляется, если она находится в состоянии равновесия, т.е. в этом случае каса­тельные компоненты тензора равны нулю и действуют лишь нормальные Pxx > Pyy > Pzz> ориентированные по внешним нормалям (см. рис. 3). При

этом ясно, что они являются растягивающими напряжениями. Как показы­вает опыт, в отличие от твердого тела, которое может воспринимать как растягивающие (положительные нормальные напряжения), так и сжимаю­щие (отрицательные нормальные напряжения) напряжения без разрыва сплошности, жидкое тело способно воспринимать лишь сжимающие уси­лия. Можно показать, что при отсутствии касательных напряжений p_xx = Pyy = p_zz, из чего следует, что нормальные напряжения в данной

точке не зависят от ориентации площадки. Величины, численно равные нормальным напряжениям, но взятые с противоположным знаком, в гид­ромеханике называют давлениями, либо более полно - гидростатическими давлениями. Гидростатическое давление обозначают буквой р, т.е.

^p = ~ ^pxx = ~ ^pyy = ~ ^pzz

Таким образом, гидростатическое давление, являясь скалярной вели­чиной (как компонента тензора) не зависит от ориентации площадки, на которую оно действует.

Теоретическое изучение движения жидкости связано с так называе­мой моделью идеальной жидкости. В этой модели жидкость рассматрива­ется как абсолютно несжимаемая среда, неспособная сопротивляться раз­рывающим усилиям и обладающая абсолютной подвижностью, т.е. ли­шенная вязкости. Последнее исключает возникновение в ней касательных напряжений.

ЛЕКЦИЯ №2 ГИДРОСТАТИКА

План лекции

1. Г идростатика

2. Уравнение равновесия жидкости. Основное уравнение гидроста­тики в дифференциальной форме

3. Равновесие однородной несжимаемой жидкости в поле сил тяже­сти. Закон Паскаля

4. Гидростатический закон распределения давления

Гидростатика занимается изучением жидкости, находящейся в со­стоянии относительного покоя. Под относительным покоем понимают со­стояние, при котором отсутствуют перемещения частиц относительно друг друга.

В основу гидростатики положены две теоремы: равенство нулю сум­мы всех сил, приложенных к рассматриваемому элементу жидкости и, как следствие, равенство нулю суммы моментов этих сил относительно какой- то оси. Однако, несмотря на простоту принципов, гидростатика приводит к важным результатам и выводам.

Уравнение равновесия жидкости.

В покоящейся жидкости касательные напряжения не проявляются и все производные по времени равны нулю: U_x = Uy = U_z = 0. Нормаль­ные напряжения заменяем давлением, что дает

X — ¹ ЭР = 0;

р Эх

JJ а ■ nd^s=JJJ div ud^v ₍₁₅₎ 11

p=p0+pg*0 - z) (10) 18

JJ ^pn^dS 29

J§=-!Р ),А 36

^u2^Ap7^r2r+^{с (12)} 73

Ж^—’{⁽Ч-%)^П) 94

h’i)^r,V^c4^rk-^c‘j' 94

F(y₊₎=£,_n№,₊) _{+ 9}(g-l)(g) 100

+ ^{A(M.)"j-1/2 - A(M.)”,+„2 +A(M.)"-_1J„,₂ - A(M.):+./_2j }- 220

Уравнения (1) носят название системы дифференциальных уравне­ний Эйлера для гидростатики. Эта система уравнений показывает, что су­ществует непосредственная связь между величиной гидростатического давления в точке и ее координатами. Эта связь может быть раскрыта, если проинтегрировать (1).

На жидкое тело могут действовать силы, имеющие различную физи­ческую природу. Поэтому правомерна такая постановка вопроса: всегда ли под действием приложенных сил жидкость может находиться в состоянии равновесия? Для ответа на этот вопрос необходимо выполнить некоторые преобразования системы дифференциальных уравнений (1).

Основное уравнение гидростатики в дифференциальной форме.

Умножим каждое из уравнений, входящих в (3.1) на dx, dy и dz соот­ветственно и просуммируем их, что даст

(Xdx + Ydy + Zdz) - — f ^dp dx + — dy + — dz\ — 0 (3)

^{v ;} p\dx d y dz )

Выражение, стоящее в скобках во втором члене уравнения, есть не что иное, как полный дифференциал давления - dp, поэтому можем запи­сать

dp — p(Xdx + Ydy + Zdz) (4)

Это уравнение называют основным уравнением гидростатики в диф­ференциальной форме. В левой части его - полный дифференциал, поэтому и правая часть также должна быть полным дифференциалом. Следователь­но, силы и плотность должны быть такими функциями x, y и z, чтобы они обращали правую часть (4) в полный дифференциал. Если этого не проис­ходит, то равновесие жидкости невозможно. Другими словами, если жид­кость находится в состоянии равновесия, то правая часть (4) является пол­ным дифференциалом какой-то функции Ф.

Считая плотность постоянной (р — const), можем записать

Xdx + Ydy + Zdz — dФ (5)

Из теоретической механики известно, что скалярное произведение силы на элементарное перемещение частицы называют элементарной ра­ботой, т.е.

f_xdx + f_ydy + f_zdz (6)

Силы, работа которых не зависит от пути движения, а только от начального и конечного положений, называют потенциальными. При этом для того, чтобы работа силы не зависела от пути движения, необходимо и достаточно, чтобы выражение для элементарной работы, т.е. (6), было полным дифференциалом некоторой скалярной функции P, называемой силовой. Взятая с противоположным знаком, она называется потенциалом. Таким образом, рассмотренную выше функцию можно назвать силовой функцией, а (4) представить как

dp — рdФ (7)

Из чего следует, что несжимаемая жидкость может находиться в равновесии только под действием сил, имеющих потенциал.

Эквипотенциальные поверхности и поверхности равного давления.

Поверхности, в каждой точке которых Ф = const, называют экви­потенциальными. Частным случаем эквипотенциальной поверхности явля­ется поверхность равного давления, т.е. поверхность, в каждой точке кото­рой p = const. В этом случае dp = 0 и (3.4) принимает вид

p(Xdx + Ydy + Zdz) = 0

Но плотность p Ф 0, и, следовательно,

Xdx + Ydy + Zdz = 0 (8)

Уравнение (8) называют уравнением поверхности равного давления. Если из массовых сил на жидкость действует только сила тяжести, то X = Y = 0; Z = -g (знак минус, т.к. сила тяжести ориентирована в сто­рону, противоположную оси z); - gdz = 0 и Z = const, т.е. в покоящейся жидкости любая горизонтальная плоскость есть поверхность равного дав­ления.

Равновесие однородной несжимаемой жидкости в поле сил тяжести. Закон Паскаля. Г идростатический закон распределения давления.

Проинтегрируем основное уравнение гидростатики (4) в предполо­жении, что p = const (жидкость несжимаема) и считая, что из массовых сил действует только сила тяжести. Как показано выше, в этом случае X = Y = 0, Z = — д, т.е. dp = -pgdz, и после интегрирования

Рис. 1

p = -pgz + C (9)

где C - произвольная постоянная. Для ее нахождения используем следующее граничное условие (см. рис. 1): при z = z0 p = p0. Из (9) сле­дует, что

с = p 0+pgz₀

И после подстановки

p=p0+pg*0 - z) (10)

Как видно из рис. 1, разность (z₀ - z) - глубина погружения рас­сматриваемой частицы, которую будем обозначать буквой h, т.е.

p = Po+pgh (ii)

Полученное уравнение выражает известный из курса физики закон Паскаля: давление, приложенное к свободной поверхности, передается во все точки без изменения.

Поскольку любое правильное физическое уравнение должно быть размерностно однородным, то ясно, что член pgh должен выражаться в

единицах давления, т.е. в паскалях (Па - Н/м²). Эту величину называют из­быточным давлением. Она может быть как положительной, так и отрица­тельной. Такая трактовка приводит нас к понятию абсолютного давления, которое в соответствии с (11) может быть представлено как сумма баро­метрического (атмосферного) давления и избыточного, т.е.

Рабс. ~ Рбар. — Ризб. ⁽¹²⁾

Отрицательное избыточное давление называют вакуумом.

Вернемся вновь к уравнению (3.10). После деления обеих его частей на рд получаем

рд рд

В таком виде все его члены выражаются в единицах длины и носят название напоров. Величина z характеризует положение жидкой частицы над произвольно выбираемой горизонтальной плоскостью отсчета, т.е. z -

P

пьезометрический напор. Сумму этих ве­

(13)

рд

Po

личин Z + называют гидростатическим напором. Чтобы уяснить физи- ^рд

ческий смысл этих величин, рассмотрим простую схему, показанную на рис. 2.

P

Представим герметично закрытый сосуд, заполненный жидкостью, находящейся под давлением. Выберем в этом сосуде две произвольно рас­положенные точки A и B и, опять-таки произвольно, горизонтальную плос­кость O-O, которую назовем плоскостью отсчета.

P

z +

Z_n +

это геометрический напор;

Координаты частиц, расположенных в точках A и B будут Z_A и Z_B. В соответствии со сказанным выше, величины Z_A и Z_B выражают геометри­ческий напор. Введем теперь через крышку сосуда в точки A и B сообщен­ные с атмосферой стеклянные трубки. Эти трубки называют пьезометрами. Поскольку по условию жидкость находится под давлением, то она начнет подниматься по пьезометрам. Не представляет труда и ответ на вопрос о том, когда прекратится подъем. Очевидно, что это произойдет в тот мо­мент, когда высота столба жидкости уравновесит давление в рассматрива­емой точке. Это и есть пьезометрическая высота, либо пьезометрический напор.

Соотношение (13) справедливо для любых произвольно выбранных частиц покоящейся жидкости, поэтому в общем виде его можно записать

как Z + -Р = const, т.е. для любых точек жидкости гидростатический

рд

напор одинаков. Следовательно, уровни в пьезометрах установятся на од­ной и той же высоте (плоскость C-C на рис. 2). Уравнение (13) выражает так называемый гидростатический закон распределения давления.

5. Определение силы давления жидкости на поверхности тел.

Задача сводится к нахождению силы давления жидкости на поверх­ности стенок, ограничивающих ее.

Рассмотрим криволинейную поверхность AB произвольной формы, площадь которой S (рис. 3). Выделим на ней элементарную площадку dS,

пусть n - орт внешней нормали. Сила, действующая на эту площадку

dF = pndS х

Рис. 3

где p - гидростатическое давление в центре площадки. Обычно в технических приложениях интерес представляет лишь сила, возникающая от избыточного давления. Имея в виду, что p = pgh, получаем

dF = pghndS (14)

На всю площадь действует сила

F

(15)

= JJ pghndS

S

Запишем это выражение в проекциях на оси координат, что дает

^Fx = ^Pg JJ ^hCOS(ⁿ’ ^X№ (₁₆)

p

(17)

g JJ hcos(n, z )dS

S

Для удобства изобразим отдельно элементарную площадку (см. рис.4). Из рисунка следует, что

dS • cos(n, x) = dS_x dS • cos(n, z) = d.S_x

где ^dS_z - вертикальная, и ^dSx - горизонтальная проекции dS. Та­ким образом

^Fx =pg JJ ^h • ^dSx

(

S

^Fz = Pg JJ ^h • ^dSZ

18)

(19)

S

Рис. 4

Рассмотрим горизонтальную составляющую.

Из механики известно, что интеграл (18) есть статический момент

площади, равный произведению ^hцт ^Sx, где ^hцт. - координата центра

тяжести вертикальной проекции.

Следовательно,

^Fx = ^Pg\rn^S X (20)

т.е. горизонтальная составляющая равна произведению вертикальной проекции стенки на гидростатическое давление в центре тяжести этой про­екции.

Определим теперь вертикальную составляющую силы, для чего вос­пользуемся следствием из формулы Гаусса-Остроградского

Ц

S

pndS = JJJ grad pdV

V

—►

Из уравнения равновесия (2) имеем ^pF = ^{grad p} , т.е.

JJJ grad pdV = JJJ pFdV

V

V

Вертикальная проекция единичной массовой силы F плюс, т.к. в данном случае ось z ориентирована вниз). Следовательно,

=

(21)

z

Ш p^gdv=p# dV = pgV

V V

У////////Л У77777777/

Рис. 5

Величина V носит название объема тела давления. Таким образом, вертикальная составляющая равна весу жидкости, заключенному в объеме тела давления. Для нахождения этого объема следует использовать фор­мальное правило: тело давления - это объем, образованный криволинейной стенкой, ее проекцией на свободную поверхность (либо на продолжение свободной поверхности) и вертикальными проектирующими плоскостями. На рис. 5 показаны примеры определения тел давлений для двух случаев.

Как следует из рисунка, тело давления может быть как положитель­ным, так и отрицательным (фиктивным).

Плоская поверхность.

Этот случай можно рассматривать как частный предыдущего, но можно получить и более удобное соотношение. Действительно, общее вы­ражение для силы давления имеет вид (15), но так как поверхность плос-

кая, то ориентация нормали для всех ее точек остается одинаковой, и, сле­довательно,

—►

F = pgnh_4mS (22)

Из формулы (22) следует, что F направлена по нормали к стенке, поэтому можно записать

^F = Pg^h„_m^S (23)

Следовательно, сила давления на плоскую поверхность равна произ­ведению ее площади на гидростатическое давление в центре тяжести этой поверхности. Следует отметить, что задачи, связанные с определением сил давления на поверхности, играют исключительно важную роль в гидро­технической практике. Применительно к энергетике и машиностроению круг этих задач заметно сужается и ограничивается, главным образом, рас­четом болтовых соединений люков различных резервуаров, находящихся под давлением.

ЛЕКЦИЯ 3

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

План лекции

1. Закон сохранения массы и уравнение неразрывности

2. Закон сохранения количества движения и уравнение движения

3. Закон сохранения энергии и уравнение теплопроводности

4. Закон сохранения энергии

5. Краевые условия или условия однозначности: геометрические; граничные; физические; временные

1. Закон сохранения массы и уравнение неразрывности

Возьмем малый объем жидкости или газа AW, содержащий внутри себя данную точку М пространства, и пусть масса этого объема будет Am; скалярная величина p, определяемая предельным выражением

p=lim(Am/AW), при AW ^ 0, (1)

называется плотностью распределения массы или, короче, плотностью среды в данной точке М, причем предполагается, что при стремлении объ­ема AW к нулю точка М все время остается внутри объема. Обратную ве­личину v = 1/p называют удельным объемом.

Переходя к бесконечно малым величинам, получим

dm=pdW.

Плотность движущейся среды зависит от ее материального состава, от температуры и давления, а также и от характера движения среды. В об­щем случае плотность представляется функцией пространственных коор­динат и времени

p= p (X ^ z ^t)

и образует скалярное поле, которое может быть как стационарным, так и нестационарным.

Поверхности или, в частном случае плоского распределения, линии уровня скалярного поля плотностей называют изостерическими поверхно­стями или линиями (изостерами).

Плотность как масса, отнесенная к единице объема, измеряется в

кг/м³.

Выделим в пространстве некоторый малый (неподвижный, недефор- мируемый) объем W, через который движется жидкость (подход Эйлера). Объем ограничен поверхностью S, а его масса в данный момент времени t равна

JpdW.

W

Ш:

Применим к этому объему закон сохранения массы сплошной среды, справедливый для классической нерелятивистской механики. Масса газа в выделенном в пространстве объеме может изменяться лишь за счет внутренних источников массы M' и за счет перетекания жидкости через поверхность, ограничивающую объем. Вытекающий из объема через по­верхность S поток жидкости определяется формулой

fpV„dS,

S

где n - внешняя нормаль к поверхности.

Если за положительное направление нормали n принять направление движения из рассматриваемого объема (внешняя нормаль), то условие со­хранения массы этого объема во времени можно записать в виде

JJ а ■ nd^s=JJJ div ud^v ₍₁₅₎ 11

p=p0+pg*0 - z) (10) 18

JJ ^pn^dS 29

J§=-!Р ),А 36

^u2^Ap7^r2r+^{с (12)} 73

Ж^—’{⁽Ч-%)^П) 94

h’i)^r,V^c4^rk-^c‘j' 94

F(y₊₎=£,_n№,₊) _{+ 9}(g-l)(g) 100

+ ^{A(M.)"j-1/2 - A(M.)”,+„2 +A(M.)"-_1J„,₂ - A(M.):+./_2j }- 220

где — J pdW - изменение массы объема, m-M'-W - скорость изменения

^at W

массы объема W за счет внутреннего источника, M' - удельная скорость

-5

изменения массы (в 1 м ).

Первое слагаемое в правой части преобразуем по теореме Остро- градского-Г аусса

J pV dS = J div(pV)dW.

S W

Тогда при отсутствии внутренних источников

d

^ap + ^div(p^V) at

W

W = 0, (3)

а так как равенство должно быть справедливо для любого объема, то подынтегральное выражение должно удовлетворять уравнению

1^ + div(pV) = 0, (4)

at

которое называют уравнением неразрывности (непрерывности) в форме Эйлера.

Для несжимаемой жидкости плотность есть величина постоянная (p=const ) и уравнение (4) упрощается:

divV = 0. (5)

Важно отметить, что уравнение неразрывности справедливо и для идеальной, и для реальной жидкости.

Если внутри объема W происходит прирост массы за счет внутрен­них источников массы, то в правой части уравнения сохранения необходи­мо добавить источник

JJ а ■ nd^s=JJJ div ud^v ₍₁₅₎ 11

p=p0+pg*0 - z) (10) 18

JJ ^pn^dS 29

J§=-!Р ),А 36

^u2^Ap7^r2r+^{с (12)} 73

Ж^—’{⁽Ч-%)^П) 94

h’i)^r,V^c4^rk-^c‘j' 94

F(y₊₎=£,_n№,₊) _{+ 9}(g-l)(g) 100

+ ^{A(M.)"j-1/2 - A(M.)”,+„2 +A(M.)"-_1J„,₂ - A(M.):+./_2j }- 220

dt

Рассмотрим другой подход к выводу уравнения неразрывности (в форме Лагранжа). Рассматривая малый замкнутый движущийся в про­странстве изменяющийся объем (с непроницаемыми стенками), имеем для элементарной массы m газа в этом объеме w,

A(_m) — A(p_W) — о, dt^v ' dt ⁷

где d/dt - символ полной производной по времени. Производя дифферен­цирование произведения функций (pW) и используя представление о ди­вергенции вектора скорости как скорости объемного расширения, получим

dp_w dW dp -._ллТ _

—W + p — (— + pdivV)W — 0.

dt dt dt

Отсюда в силу произвольности величины W следует уравнение не­разрывности в форме Лагранжа

• + pdivV — 0. dt

2. Закон сохранения количества движения и уравнение движения

При описании движения жидкости необходимо знать силы, действу­ющие на частицы жидкости. Следует различать внутренние и внешние си­лы.

Классификация сил в жидкости

Как и в механике твердого тела, в гидромеханике силы классифици­руются по разным признакам: внутренние и внешние, сосредоточенные и распределенные.

Очевидно, что в механике жидкости могут рассматриваться лишь распределенные силы, не вызывающие деформации жидкого тела. При этом они должны быть внешними по отношению к объекту. Перевод внут­ренних сил в категорию внешних производится известным методом (метод сечений, либо метод «замораживания»), суть которого сводится к тому, что в среде выделяется («замораживается») замкнутый объем, внешняя среда мысленно отбрасывается и ее действие заменяется действием распреде­ленных сил. Важнейшей особенностью гидромеханики как науки является то, что в ней, помимо приведенной выше классификации, силы разделяют­ся на массовые и поверхностные.

Массовые силы

Массовыми называют силы, величина которых пропорциональна массе рассматриваемого объема. Важнейшей особенностью является то, что они действуют на все частицы жидкости. В общем случае это силы,

подчиняющиеся второму закону Ньютона F = та . В проекциях на декар­товы оси координат можно записать: F_x=ma_x, F_y=ma_y, F_z=ma_z,. В гидроме­ханике вместо a_x, a_y, a_z принято писать X, Y, Z.

Таким образом, X, Y и Z есть проекции единичных массовых сил на соответствующие координатные оси, иногда их называют напряжениями массовых сил. Если в жидкости выделить элементарный объем dV, то его масса - pdV. В общем случае массовая сила, действующая на этот объем

pFdV, а главный вектор массовых сил, действующих на весь объем, пред­ставляется как

Ш p^FdV (i

V

Поверхностные силы

В отличие от массовых, поверхностные силы действуют лишь на частицы, находящиеся на поверхности жидкого объема.

Выделим на поверхности жидкого объема элементарную площадку A S, ориентация этой площадки в пространстве задается внешней норма­лью n. Обозначим через Ap_n поверхностную силу, приложенную к пло-

Р

n¹¹ &^pn/

= p_n называют напряжением по-

ис. 3

Таким образом, первое, что необходимо усвоить при рассмотрении этого вопроса - это то, что под действием внешних сил в жидкости возни­кают напряжения. И второе по порядку, но не менее важное по существу.

В общем случае ^pn не является обычным вектором. Его величина зависит от ориентации площадки в пространстве. Это означает, что если через дан­ную точку пространства провести одинаковые по величине, но различно ориентированные площадки, то действующие на них напряжения поверх­ностных сил будут различны.

Физическая величина, характеризуемая в данной точке вектором

^pn , принимающим бесконечное множество значений в зависимости от ориентации площадки, называется тензором напряжений.

Таким образом, на площадку dS действует поверхностная сила

^pn^dS, а на всю поверхность, ограничивающую объем V

J

(2)

J ^pn^dS

S

Проекция ^p_n на направление нормали называется нормальным напряже­нием, а проекция на площадку действия - касательным напряжением.

2. Закон сохранения количества движения и уравнение движе­ния

Уравнения для скорости (сохранения количества движения) выведем сначала для идеальной жидкости (без вязкости).

Закон сохранения импульса для движущегося малого объема W жид­кой частицы (с непроницаемыми стенками) есть

f ^

IpVdW

Vw

где в правой части стоит сумма всех сил, действующих на выделенный объем, причем для простоты будем вначале предполагать, что внутренний приток массы отсутствует (M'=0). Ограничиваясь рассмотрением массовой силы F_m (например, центробежной или силы тяжести, действующих на единицу массы, [н/кг]) и сил давления P (действующих на единицу площа-

Л

ди, [н/м ]), запишем

^ ( J pVdW j = J pF_m dW + J (-p_n )dS

_d

dt

Z Fi

(3)

W

Учитывая, что J^p dW = 0 (интеграл берется по жидкой частице, то

W

есть по заданному количеству жидкости), и, преобразовав поверхностный интеграл давления в объемный, можно переписать уравнение в виде

Jd dVdW =J (pFm - Vp)dW.

(4)

W

W

Это закон сохранения количества движения в интегральной форме. Исходя из произвольного выбора объема жидкой частицы, перейти к дифференциальной форме

dV - D — = DFm-Vp. dt

(5)

Это закон сохранения количества движения в форме Лагранжа.

Входящая в уравнение производная dV/dt - это субстанциональная производная, которая описывает изменение скорости жидкой частицы.

Используя связь субстанциональной (полной) производной по вре­мени с частной производной скорости по времени (изменение скорости в заданной точке), полученное ранее, приходим к другой дифференциальной форме уравнения сохранения количества движения (форме Эйлера):

dV - - -

D~^ ⁺ D^(V‘^V)V = D^Fm - ^VP; (6)

dt

Это уравнение Эйлера, оно получено им еще в 1755 г. Данное урав­нение выражает закон сохранения количества движения (импульса)

В проекциях на оси декартовой системы это уравнение имеет вид

dp .

dx ’

Г г

du du du du

h u h V h w —

dt dx dy dz

= D^Fm

D

У

dv dv dv dv

h u h v h w —

dt dx dy dz

= pF -^dp•

M mx ’

dy

\

J

dw dw dw dw

+ u h v h w

dp.

dz ’

=d^f„

D

dt

dx

dy

dz

J

V

Запишем полученные уравнения движения в другой форме - в форме переноса импульса. Для этого выполним следующие преобразования, ис­пользуя уравнение неразрывности

dpV dV - dp

= p — + V —. dt dt dt

но — + div(pV) = 0, dt

+

dV _ dpV dt dt

тогда p

Vdiv(pV), и, следовательно

+

dpV

dt

(7)

Vdiv(pV) = pF_m - VP,

В декартовой системе координат эти уравнения имеют вид

+

dpu

dp

div(puV) = pF_n

JJ а ■ nd^s=JJJ div ud^v ₍₁₅₎ 11

p=p0+pg*0 - z) (10) 18

JJ ^pn^dS 29

J§=-!Р ),А 36

^u2^Ap7^r2r+^{с (12)} 73

Ж^—’{⁽Ч-%)^П) 94

h’i)^r,V^c4^rk-^c‘j' 94

F(y₊₎=£,_n№,₊) _{+ 9}(g-l)(g) 100

+ ^{A(M.)"j-1/2 - A(M.)”,+„2 +A(M.)"-_1J„,₂ - A(M.):+./_2j }- 220

или

dpu

~dr

dp.

dX :

dp.

dy :

dp dz

= pFjnx -^

+

dx

dz

= pF

+

+

+

my

V dx dy dz j ^dpwu ₊ dpwv ₊ dpww^

dx

dy

dz

J

V

dpv _i | dpuv _i dpvv _i dpvw ~dt dpw

^dpuu dpuv ₊ dpuw^

dy

dt

3. Закон сохранения энергии

Закон сохранения энергии не только устанавливает неизменность всей энергии для любой выделенной массы жидкости или газа, но и отра­жает взаимопреобразование различных форм движения материи, и в первую очередь механической энергии в тепловую. Для расчета этих пре­образований служит уравнение баланса энергии, выводимое из общего термодинамического закона сохранения энергии, который для индивиду­ального (непроницаемого) объема движущейся среды формулируется так:

• изменение полной энергии выделенного объема жидкости или газа за единицу времени равно сумме работ приложенных к нему массовых и поверхностных внешних сил на поверхностях, ограничивающих этот объ­ем, и подведенного извне тепла за то же время.

Этот закон выражается интегральным равенством

-d JpEdW =JpF • VdW + JpVdS; Vx_nl e V₀, t > 0, (1)

W W

F2

V²

где E = U + —^~ - удельная полная энергия; U = c_vT - удельная внутренняя

энергия; F - результирующая массовых сил, P_n - результирующая состав­ляющая внутренних сил в газе (сил давления и напряжений вязкости), при­ложенная к поверхности S выделенного объема W.

Учитывая произвольность выделенного объема W, получаем диффе­ренциальную форму данного закона

dE ^ ^ ^

p— = pF• V-div(PV); Vx_m e V₀, t > 0. (2)

dt

Необходимость введения уравнения энергии следует из того, что два уравнения - неразрывности (скалярное) и движение (векторное) - содер­жат три неизвестных величины одну векторную (скорость V) и две ска­лярные (давление р и плотность p), поэтому для газа (W=var) число иско­мых величин на одну больше, чем число уравнений. Если присоединить уравнение энергии, то добавиться ещё одна неизвестная величина - темпе­ратура Т. Система уравнений получиться замкнутой присоединением уравнения состояния и тогда задача аэрогазодинамики (при заданных гра­ничных и начальных условиях) становится определенной.

Если рассматривается идеальная несжимаемая жидкость, то полага­ют, что в жидкости отсутствуют теплообмен и трение. В таком случае движение адиабатично в каждой жидкой частице. Следовательно, закон сохранения энергии выливается в утверждение, что энергия каждого жид­кого элемента остается постоянной

dE

Р17 = ^{0 V x}m ^{e V}O^,t > ⁰

dt

Отсюда следует, что для описания движения идеальной несжимае­мой жидкости уравнение энергии не используется.

4. Сиситема уравнений аэрогазодинамики.

Проанализируем систему уравнений аэрогазодинамики с точки зрения различных технических задач.

Система уравнений газодинамического процесса в общем виде имеет

вид:

• уравнение неразрывности

^Р + рdivV = 0, Vx_m e W_G, t > 0; (1)

• уравнение количества движения

dV -

JJ а ■ nd^s=JJJ div ud^v ₍₁₅₎ 11

p=p0+pg*0 - z) (10) 18

JJ ^pn^dS 29

J§=-!Р ),А 36

^u2^Ap7^r2r+^{с (12)} 73

Ж^—’{⁽Ч-%)^П) 94

h’i)^r,V^c4^rk-^c‘j' 94

F(y₊₎=£,_n№,₊) _{+ 9}(g-l)(g) 100

+ ^{A(M.)"j-1/2 - A(M.)”,+„2 +A(M.)"-_1J„,₂ - A(M.):+./_2j }- 220

или в дивергентной форме:

• для идеального газа

^aP + div(p V) = 0,

a

^P^ + ^div(P^V^ 'V⁾ = p^{F -} g^rad(p^{) a}^^pE^ + div(pEV) = pF V - div(pV),

at

^p = ^p(p,^T). Vx_m e W₀, t > 0;

V²

где Wo - объем области; t - время, E = U + — - удельная полная энергия,

U = c_vT - удельная внутренняя энергия, V - вектор скорости потока в дан­ной точке; P и Т - местные термодинамическое давление и температура; x_m

• пространственные координаты; р - плотность среды.

Здесь первое уравнение - массопереноса, второе - движения, третье

• уравнение энергии и последнее - уравнение состояния.

Систему уравнений аэрогазодинамики идеального газа в дивергент­ной форме в проекциях на оси декартовой системы координат имеет вид:

^ + div(pV) = 0, at

'?+div(pV„vi=-ap,

^a^i + di^V) _v Xm _e V₀,_t > 0

^ + div(pV_zV) = -&,

at ^z az

^a(pE ^ + div(pEV) = -div(pV), at P = P⁽p^,T).

в развернутом виде:

5^₊5(pV_i^ ₊ ^a(^pVy)₊5(pVz) _{= Q}^

JJ а ■ nd^s=JJJ div ud^v ₍₁₅₎ 11

p=p0+pg*0 - z) (10) 18

JJ ^pn^dS 29

J§=-!Р ),А 36

^u2^Ap7^r2r+^{с (12)} 73

Ж^—’{⁽Ч-%)^П) 94

h’i)^r,V^c4^rk-^c‘j' 94

F(y₊₎=£,_n№,₊) _{+ 9}(g-l)(g) 100

+ ^{A(M.)"j-1/2 - A(M.)”,+„2 +A(M.)"-_1J„,₂ - A(M.):+./_2j }- 220

a(pVz) a(p VxVz) ^a(pVyVz ⁾ _| a(pVzVz)_ ap

at ax ay az az

a(pE),a(pEV_x),a(pEV_y), a(pEVz) a(pV_x) a(pV_Y) a(pV_z)

1 1 1 = ,

at ax ay az ax ay az

p = pRT.

В осесимметричном двумерном случае, характерном для многих за­дач в области ракетостроения, данная система уравнений принимает сле­дующий вид:

уравнение неразрывности

^r

dp —+ p dt

au i arv^A +

1. Vr,z e S_Q, t > 0

v az r ar _у

уравнения импульса

du ap

p— = pF_z ,

dt az

p —^V = pF - —, V r, z e S_Q, t >0

dt ^r ar ^O

уравнение энергии dE ^тт 1 л~лЛ

p

5pU 15rpV

— — p(FzU + FrV) dt

v 5z r 5r )

Vr,z e S_Q, t > 0

где U, V - составляющие скорости по осям z и г соответственно.

Решение представленных систем в общем случае затруднительно, поэтому при решении конкретных технических задач вводят ряд допуще­ний. Проанализируем наиболее часто встречающиеся:

1. - мерность течения. В конкретных приложениях бывает возмож­ным рассматривать процесс массообмена в термодинамической (“нуль­мерной”) нестационарной постановке ( p,p,T=f(t) ); одномерной стацио­нарной ( p,p,T,V=f(x) ); одномерной нестационарной ( p,p,T,V=f(x,t) ) ; двумерной стационарной ( p,p,T,V=f(x,y) ); двумерной нестационарной (p,p,T,V=f(x,y,t) ); трехмерной стационарной или нестационарной.

2. - сжимаемость (p = var). Свойство сжимаемости рабочего тела ха­рактеризуется модулем объемной упругости Е, определяемой по зависимо­сти

л тз AW

Ap — -E , (6)

W

AW

где относительное изменение объема, вызванное изменением давле-

W

ния на величину Ap.

Сжимаемость воздуха при атмосферном давлении и температуре 0⁰С в 20000 раз больше сжимаемости воды. Аналогичное соотношение имеет

место и для других газов. Учитывая, что равенство (6) на основе закона со­

хранения массы можно записать в виде

JJ а ■ nd^s=JJJ div ud^v ₍₁₅₎ 11

p=p0+pg*0 - z) (10) 18

JJ ^pn^dS 29

J§=-!Р ),А 36

^u2^Ap7^r2r+^{с (12)} 73

Ж^—’{⁽Ч-%)^П) 94

h’i)^r,V^c4^rk-^c‘j' 94

F(y₊₎=£,_n№,₊) _{+ 9}(g-l)(g) 100

+ ^{A(M.)"j-1/2 - A(M.)”,+„2 +A(M.)"-_1J„,₂ - A(M.):+./_2j }- 220

E

pv²

где q —

2

Введя в рассмотрение скорость звука “С”, которая определяется по формуле Лапласа 2 Е

с = — (местная скорость звука)

Po

и

2

спользуя (7) получаем

/„л

<< 1.

Po 2 E 2 ^ c у

следовательно, течение можно рассматривать несжимаемым, если

1. 9

M² << 1,

2

где M - число Маха.

Для воздуха это возможно до скорости V = 0.3 C, при этом

^^P = !m² = 0.05.

Po ²

Массовые силы. В большинстве прикладных задач, когда поток рас­сматривается однофазным, массовыми силами пренебрегают. Исключение составляют процессы газодинамики во вращающихся объектах. Адиабатность, изэнтропность, баротропность процесса.

Приняв, что движущейся газ является идеальным и изолированным от внешнего теплообмена, процесс становится адиабатным. Энтропия “S” во всех точках потока при этом постоянна и уравнение (8) переходит в адиабату Пуассона.

р = ■^р0 р^к = ер^к . (10)

^P0

Движение в этом случае является баротропным, т.е. давление являет­ся только функцией скорости потока р = f (v) и определяется адиабатой (10). В этом случае, если давление p = f(p,T), т.е. температура в газе меня­ется, процесс называется бароклинным.

Интегральная форма записи уравнений аэрогазодинамики Приведем основные уравнения сохранения газовой динамики в интегральном виде:

J§=-!Р ),А

JJ а ■ nd^s=JJJ div ud^v ₍₁₅₎ 11

p=p0+pg*0 - z) (10) 18

JJ ^pn^dS 29

J§=-!Р ),А 36

^u2^Ap7^r2r+^{с (12)} 73

Ж^—’{⁽Ч-%)^П) 94

h’i)^r,V^c4^rk-^c‘j' 94

F(y₊₎=£,_n№,₊) _{+ 9}(g-l)(g) 100

+ ^{A(M.)"j-1/2 - A(M.)”,+„2 +A(M.)"-_1J„,₂ - A(M.):+./_2j }- 220

где т (t) и s (t) - соответственно объем и поверхность лагранжевой ячейки.

2. Особенности аэрогазодинамики разреженных газов

Аэродинамика разреженных газов, раздел механики газов, в котором для описания движения газов необходимо учитывать их молекулярное строение. Методы аэродинамики разреженных газов широко применяют при определении аэродинамического нагрева приземляющихся орбиталь­ных аппаратов, низко летящих спутников Земли, для расчёта теплового режима приборных датчиков ракет, зондирующих верхние слои атмосфе­ры, и т. д. Точный прогноз траекторий околопланетных спутников, испы­тывающих тормозящее действие разреженной атмосферы, невозможен без знания методов аэродинамики разреженных газов, с помощью которых определяются аэродинамические силы и моменты, действующие на летя­щее в газе тело. Аэродинамика разреженных газов изучает также течения газов в вакуумных системах, ультразвуковые колебания в газе и другие проблемы молекулярной физики.

На больших высотах атмосфера очень разрежена и средняя длина свободного пробега l молекул между двумя соударениями становится сравнимой с характерным размером движущегося в атмосфере тела d (или рассматриваемой области потока). Поэтому методы расчёта течения, при­меняемые в аэродинамике и газовой динамике, основанные на представле­нии о газе, как о сплошной среде (континууме), непригодны и приходится прибегать к кинетической теории газа. При высоких температурах газа, имеющих место, например, при очень больших скоростях полёта, течение может сопровождаться эффектами возбуждения молекул, их диссоциаци­ей, ионизацией и т. д. Эти проблемы также изучаются в аэродинамике раз­реженных газов.

Аэродинамику разреженных газов принято делить на три области:

1. свободное молекулярное течение,

2. промежуточная область,

3. течение со скольжением (рис. 1).

При свободно молекулярном обтекании у отражённых от тела моле­кул длина свободного пробега l больше характерного размера тела d, по­этому взаимодействие отражённых молекул с набегающими молекулами вблизи тела незначительно. Это даёт возможность рассматривать падаю­щий и отражённый потоки молекул независимо, что существенно облегча­ет описание их движения. Движение любой молекулы можно считать как бы состоящим из двух: 1) молекулы участвуют в направленном движении газового потока и их скорость равна скорости потока в целом; 2) одновре­менно молекулы участвуют в хаотическом тепловом движении и при этом движутся с различными скоростями, значения которых описываются Максвелла распределением. Применение кинетической теории газов даёт принципиальную возможность рассчитать как давление газа на стенку, так и количество тепла, которое она получает или отдаёт при взаимодействии с молекулами газа. Для этого необходимо знать законы отражения молекул от твёрдой поверхности.

Рис. 1. Условная схема различных течений около плоской длинной бесконечно тонкой пластины, обтекаемой сверхзвуковым потоком: А — свободномолекулярное течение с однократными соударениями; В — про­межуточная область с многократными соударениями; С — течение со скольжением; D — континуум; 1 — ударная волна; 2 — граница погранич­ного слоя (стрелки показывают значения скорости на данном расстоянии от стенки; 3 — макроскопическое движение молекул. (Масштабы зон и об­ластей не соблюдены.)

Рис. 2. Фотографии ударной волны перед сферой диаметра d == 15 мм: слева — в разреженном газе; справа — в сплошной среде.

35

Однако точное математическое описание движения разреженного га­за с помощью уравнений кинетической теории представляет значительные трудности. Это заставляет развивать приближённые методы. Например, реальное отражение молекулы от тела заменяется т.н. зеркально­диффузной схемой, согласно которой часть молекул отражается от по­верхности тела зеркально, другая — рассеивается диффузно, в соответ­ствии с законом Ламберта (законом косинуса).

Отношение количества диффузно рассеянных молекул к общему их числу определяет степень диффузности рассеяния, которая характеризует­ся числом f (при f = 0 происходит только зеркальное отражение, при f = 1

• только диффузное). Для снижения сопротивления летящего тела выгод­но зеркальное отражение, а также малые углы падения молекул на поверх­ность, т. к. при этом увеличивается вероятность зеркального отражения.

Другим существенным параметром является т. н. коэффициент тер­мической аккомодации а, который характеризует изменение энергии моле­кулы после её отражения. Значения а могут меняться от 0 до 1. Если после отражения энергия молекулы не изменилась и осталась равной энергии па­дающей молекулы, то а = 0. Если же средняя энергия отражённой молеку­лы соответствует температуре стенки, то это значит, что она отдала стенке всю возможную энергию и а = 1. Очевидно, что аэродинамический нагрев тем меньше, чем меньше а.

Величины f и а — наиболее важные характеристики аэродинамики разреженных газов В общем случае а и f зависят от скорости движения по­тока газа, материала и температуры стенки, от гладкости её поверхности, наличия на поверхности адсорбированных молекул газа и т. д. Однако точ­ных зависимостей а и f от определяющих их параметров ещё не получено.

Эксперименты, проведённые в широком диапазоне скоростей для различных газов и материалов, дают значения a в широких пределах — от

1. 95 до 0,02. Установлено, что уменьшение а происходит при увеличении скорости молекул газа и отношения молекулярных масс m1 и m2 тела и га­за. Так например, если вместо тела из алюминия взять тело из свинца, то коэффициент аккомодации уменьшается примерно в 4 раза, что приводит к уменьшению аэродинамического нагрева. Коэффициент f изменяется меньше: от 0,98 до 0,7.

Разреженность среды проявляется в совершенно необычном поведе­нии аэродинамических коэффициентов. Так, коэффициент сопротивления сферы Cx зависит от отношения абсолютной температуры тела Tw к абсо­лютной температуре потока Ti а также от а и f, в то время как в сплошной среде таких зависимостей не наблюдается. Коэффициенты, характеризую­щие теплообмен, также отличаются качественно и количественно от кон­тинуальных.

Промежуточная область. При l/d ~ 1 существенна роль межмолеку- лярных столкновений, когда отражённые от поверхности тела молекулы значительно искажают распределение скоростей молекул набегающего по­тока. Теоретические решения для свободномолекулярного потока здесь неприемлемы. Вместе с тем, такое течение ещё нельзя рассматривать как течение сплошной среды. Промежуточная область весьма трудна для ма­тематического анализа.

Течение со скольжением. Если размер тела d в десятки раз больше 1, т. е. 1/d < 1, то в потоке уже могут возникать характерные для газовой ди­намики ударные волны и пограничные слои на поверхности тел. Однако, в отличие от обычного пограничного слоя, температура примыкающего к стенке газа Та не равна температуре стенки Tw, а скорость потока на по­верхности тела не равна нулю (поток проскальзывает). Скачок температу­ры (Tw—Та) пропорционален 1 и зависит от f. Скорость скольжения также пропорциональна 1 и зависит от f. Эксперименты показывают, что при уве­личении разреженности газа происходит утолщение ударной волны, воз­растает и толщина пограничного слоя, но значительно медленнее (рис. 2). Ударная волна может распространиться на всю область сжатого газа в рай­оне передней критической точки обтекаемого тела и слиться с погранич­ным слоем. Распределение плотности в районе передней критической точ­ки становится плавным, а не скачкообразным, как в континууме. При рас­чёте течений со скольжением поток описывается обычными уравнениями газовой динамики, но с граничными условиями, учитывающими скачок температуры и скорость скольжения.

Границы упомянутых областей течения весьма условны. Для различ­ных тел появление признаков, характеризующих ту или иную область, мо­жет наступить при разных значениях параметра разреженности 1/d. В связи со сложностью теоретических расчётов и необходимостью определения ряда эмпирических констант, входящих в практические методы расчёта тепловых и аэродинамических характеристик, особое значение в аэроди­намике разреженных газов приобретает эксперимент.

6. Краевые условия или условия однозначности

Краевые условия или условия однозначности включают в себя:

• геометрические условия, характеризующие форму и размеры си­стемы, в которой протекают процессы;

• физические, характеризуют физические свойства среды и тела;

• граничные условия, характеризующие протекание процесса на гра­ницах тела;

• временные условия, характеризующие особенности протекания процесса во времени.

Краевые условия позволяют выделить из бесконечного множества решений единственное.

При установившемся движении начальные условия выпадают, при неустановившемся они представляют собой значение в начальный момент времени скорости, давления, температуры и т.д. в каждой точке.

Граничные условия могут быть заданы на свободной поверхности или на твердых границах. Если невязкая жидкость или газ соприкасаются с непроницаемой поверхностью, уравнение которой F(x,y,z) = 0, то гранич­ное условие состоит в том, что по всей поверхности скорость касательна к ней (“условие безотрывного обтекания”): (V_n)_s = 0.

Т.к. градиент функции F(x,y,z) совпадает с нормалью к поверхности уровня, то

• -VF = 0,

dF dF dF

• — + V — + V — = 0.

^x dx ^y dy ^z dz

Если граница меняется со временем и уравнение поверхности имеет вид F(x,y,z,t)=0, то граничным условием будет совпадение координат ча­стицы с координатами поверхности x, y, z в момент времени t и в момент времени t+dt , когда координаты будут x+dx, y+dy, z+dz. Т.е. для этого мо­мента времени координаты частицы должны удовлетворять уравнению F(x+dx,y+dy,z+dz,t+dt)=0.

Ограничиваясь первыми членами разложения в ряд Тейлора, полу­чим

dF dF dF dF

• dx + —dy + —dz + —dt = 0. dx dy dz dt

деля на dt , получим граничное условие в следующей форме dF dF dF dF

• — + V — + V — + — = 0.

dx ^y dy dz dt В случае обтекания тела вязким потоком задают, как правило, равен­ство скорости на стенке нулю, т.е. “условие прилипания”:

(V)s = 0.

Примером задания граничного условия на свободной поверхности является равенство давления на ней внешнему давлению:

P(x ,y, z, t) = P0.

Граничными условиями при изучении обтекания тел с теплообменом могут быть, например, распределение температуры на поверхности тела или поток тепла в каждой точке поверхности или температура обтекающей тело среды и закон теплообмена между ними.

ЛЕКЦИЯ 4

ГИДРОДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

План лекции

1. Основы гидродинамики вязкой жидкости, модель вязкой жидкости

2. Модель вязкой жидкости

3. Уравнение Навье-Стокса

4. Краевые условия

5. Особенности расчёта течений с учетом вязкости потока

1. Основы гидродинамики вязкой жидкости

Внутренние силы, вызванные вязкостью, тензор напряжений

Под вязкостью понимают свойство жидкости оказывать сопротивле­ние перемещению ее частиц. Физической причиной вязкости является мо­лекулярное взаимодействие. Вследствие различия в молекулярной струк­туре капельных жидкостей и газов различна и природа их вязкостей. В жидкостях вязкость есть проявление сил сцепления между молекулами, в газах она - результат взаимодействия, обусловленный хаотическим движе­нием молекул. Поэтому при повышении температуры в газах вязкость уве­личивается за счет более интенсивного движения молекул. Наоборот, в ка­пельных жидкостях повышение температуры приводит к снижению вязко­сти, т.к. происходит увеличение среднего расстояния между молекулами.

Равновесное состояние вещества характеризуется распределением его параметров в пространстве. Если за счет какого-либо воздействия ока­жется, что в каком-то месте пространства возникла неравновесность, то в веществе начинает происходить механический или тепловой обмен, кото­рый стремится сгладить неравномерность. В общем случае этот обмен называют процессом переноса. В различных явлениях можно наблюдать процессы переноса энергии, массы (вещества) и количества движения. Как будет показано ниже, вязкость обусловлена процессом переноса количе­ства движения.

Для уяснения того, как проявляются силы вязкости, рассмотрим те­чение жидкости в круглой трубе. Будем считать, что векторы скоростей частиц параллельны оси х. Забегая вперед, отметим, что такое течение су­ществует в природе и носит название ламинарного.

Пользуясь чисто интуитивными представлениями, установим вид распределения скоростей в поперечном сечении потока. Сразу же отметим, что графическое изображение распределения скоростей в поперечном се­чении называют эпюрой скоростей (либо полем скоростей). Очевидно, что скорости частиц, находящихся на стенках трубы, равны нулю и возрастают по мере приближения к оси (на оси U = U_max) как это показано на рис. 1.

Рассмотрим два слоя жидкости (a-a и b-b), расположенные на рас­стоянии dy. Пусть слой a-a движется со скоростью и, тогда, как следует из эпюры, слой b-b имеет скорость u+du. Таким образом, на верхней и ниж­ней гранях прямоугольной жидкой частицы, расположенной между слоя­ми, скорости различны, что в соответствии с законами механики должно привести к ее деформации. Заметим, что такое движение в гидромеханике называют простым сдвигом, либо течением чистого сдвига.

u

b

a

+du

	УЛ и . 7			dy
					\)
			du

Рис. 1

Взаимодействие молекул через этот элемент приводит к появлению касательной составляющей напряжения. При этом знак этой составляю­щей, т.е. ее направление, таково, что оно соответствует уменьшению раз­ности скоростей по обе стороны рассматриваемого элемента. Величина си­лы трения, возникающая между слоями движущейся жидкости, определя­ется по формуле, предложенной Ньютоном и подтвержденной многочис­ленными и тщательно поставленными опытами нашего соотечественника профессора Н.П.Петрова. Эта формула имеет вид:

Z7 ^du е

^F

(1)

mp =М — ^S

dy

где S - площадь поверхности соприкасающихся слоев;

/л - динамическая вязкость, зависящая от физической природы жидкости, ее агрегатного состояния и температуры, и практически не зависящая от давления. Динамическая вязкость выражается в Па-с.

В технических приложениях часто используется не динамическая, а кинематическая вязкость, представляющая собой отношение

л

У = — ^р

Кинематическая вязкость выражается в м²/с.

х

du

dy

Величина

арактеризует изменение скорости в направлении

нормали к ней, либо, если говорить об эпюре - темп изменения скорости. Иногда эту величину называют поперечным градиентом скорости.

Разделим правую и левую части (1) на S. Отношение F_{m р} / S есть не что иное, как касательное напряжение т, т.е.

du ,,,

т=^— (3)

dy

Таким образом, можно сказать, что вязкость жидкости - это способность ее оказывать сопротивление касательным сдвиговым движениям.

Из (3) можно сделать еще один важный вывод. Если жидкость находится в состоянии покоя, то U — 0 и, следовательно, т — 0, т.е. в по­коящейся жидкости силы вязкости не проявляются. Это согласуется и с обычными житейскими представлениями. Действительно, для того, чтобы ответить на вопрос о том, является ли вязкой среда, налитая в сосуд, например, стакан, стоящий на столе, необходимо либо попытаться пере­лить ее в другой сосуд, либо, обмакнув в нее какой-то предмет, посмот­реть, как она стекает с него. Смысл этих действий в том, что мы интуитив­но чувствуем, что требуется наблюдать движение этой среды.

Выше было высказано предположение, что вязкость обусловлена переносом количества движения. Для того чтобы убедиться в этом, рас­смотрим формулу Ньютона с позиций физических величин, входящих в нее

м с • м

В числителе - количество движения, т.е. т - это количество движе­ния, переносимое через единицу поверхности в единицу времени.

м²с

.М/

И, наконец, установим физический смысл поперечного градиента скорости, для чего рассмотрим жидкую частицу, показанную на рис. 2. Вследствие разности скоростей на верхней и нижней гранях, первоначаль-

Рис. 2

кг

Н

кг • м

[т]

2

.2

но прямоугольная частица будет деформироваться и превращаться в па­раллелограмм.

Отрезок dl характеризует величину деформации за время dt, т.е.

d

Следова-

u tgy

тельно, поперечный градиент скорости представляет собой скорость отно­сительной деформации сдвига. Таким образом, касательное напряжение в жидкости линейно зависит от скорости относительной деформации. В этом принципиальное отличие жидкости от твердого тела, в котором касатель­ные напряжения зависят от величины деформации, а не от ее скорости.

Жидкости, удовлетворяющие (3) называются ньютоновскими, а не подчиняющиеся этой формуле - неньютоновскими. К числу последних от­носятся растворы полимеров и др.

Тензор напряжения

Для уяснения дальнейшего необходимо подробней рассмотреть вектор p_n. В движущейся среде мысленно выделим частицу в форме жид­кого тетраэдра. Пусть n - внешняя нормаль к четвертой (наклонной) гра­ни тетраэдра, а площадь этой грани dS (см. рис. 3).

C

Z/i B n

A

Рис. 3

Площади других граней - соответственно dS, dS_y, dS_z, т.к. их мож­но рассматривать как проекции грани ABC на координатные оси. Следова-

нус. Аналогично, dS_y = n_ydS, dS_z — n_zdS. Обозначим объем тетраэдра dV, то­гда действующая на него массовая сила pFdV, а массовая сила инерции

тельно,

padV, где a вектор ускорения жидкого тетраэдра. Поверхностная сила,

действующая на наклонную грань - ^pn ^dS . Для трех других граней можем записать:

^{- p}x^dSx ^{—- p}xⁿx^dS

PydS_y = - p_yn_ydS ^p_z^dS_z = ^-p_zⁿ_z^dS

Знаки минус, т.к. векторы p_x, ^p_y и ^p_z направлены в стороны, противо­положные координатным осям.

Запишем уравнение движения тетраэдра, которое в соответствии с общими законами механики должно иметь вид:

Масса • ускорение = (результирующая массовых сил) + + (результирующая поверхностных сил).

Имеем:

—►

padV = pFdV + p_ndS - p_xn_xdS - p_yn_ydS - p_zn_zdS

Слагаемые padV и pFdV есть величины третьего порядка малости, а остальные - второго, поэтому ими можно пренебречь, что дает

^p

(4)

n = ⁿ_x^p_x + ⁿy^py + ⁿ_z^p_z

Из этого равенства следует, что напряжение P_n при произвольной ориен­тации нормали ⁿ может быть определено, если известны напряжения в той же точке для площадок, внешние нормали которых параллельны осям Ox, Oy и Oz.

Проекции векторов ^p_x , ^py и p_z на координатные оси x, y, z обо­значаются:

Первый подстрочный индекс указывает ось, перпендикулярную ориентации площадки, второй - ось, на которую спроектировано напряже­ние.

Д

Рис. 4

/У

ля уяснения ориентации рассмотрим параллелепипед, выделенный в движущейся жидкости и показанный на рис. 4.

Из рисунка, в частности, видно, что напряжения с одинаковыми индексами являются нормальными, а с разными - касательными. В проекциях на де­картовы оси координат выражение (4) может быть записано как

Pnx = ⁿxPxx + ⁿyPyx + ⁿzPzx

Pny = nxPxy + ПуРуу + nzPzy (5)

Pnz = ⁿxPxz + ⁿyPyz + ⁿzPzz

Совокупность этих девяти составляющих компонентов напряжения образует тензор напряжения. В матричной форме он записывается в сле­дующем виде:

	Pxx	Pyx	Pzx
п =	Pxy	Pyy	Pzy
	Pxz	Pyz	Pzz

В тензорном анализе доказывается, что тензор напряжений является симметричным. Это означает, что величины, расположенные симметрично главной диагонали, равны (Py_x = P_xy; P_xz = P_zx; P_zy = Py_z). Следова­тельно, для определения тензора напряжений достаточно знать не девять, а шесть скалярных величин.

Следует учесть одно обстоятельство. Векторы напряжений ^p_x,

p_y , p_z в соотношении (4), приложенные к координатным площадкам, не

имеют объективного физического смысла, т.к. зависят от выбора системы координат. Поэтому такие величины причисляются к так называемым «квазивекторам», хотя к ним и можно применять все операции, примени­мые к физическим векторам.

И в заключение еще несколько замечаний. Выше уже отмечалось, что одно из фундаментальных свойств жидкости - ее вязкость - не прояв­ляется, если она находится в состоянии равновесия, т.е. в этом случае каса­тельные компоненты тензора равны нулю и действуют лишь нормальные ^Pxx, ^Pyy, ^Pzz, ориентированные по внешним нормалям (см. рис. 4). При

этом ясно, что они являются растягивающими напряжениями. Как показы­вает опыт, в отличие от твердого тела, которое может воспринимать как растягивающие (положительные нормальные напряжения), так и сжимаю­щие (отрицательные нормальные напряжения) напряжения без разрыва сплошности, жидкое тело способно воспринимать лишь сжимающие уси­лия. Можно показать, что при отсутствии касательных напряжений P_xx = Pyy = P_zz, из чего следует, что нормальные напряжения в данной

точке не зависят от ориентации площадки. Величины, численно равные нормальным напряжениям, но взятые с противоположным знаком, в гид­ромеханике называют давлениями, либо более полно - гидростатическими давлениями. Гидростатическое давление обозначают буквой р, т.е.

^Р = ^- Р XX = ^- Pyy = ^- Pzz Таким образом, гидростатическое давление, являясь скалярной величиной (как компонента тензора) не зависит от ориентации площадки, на которую оно действует.

Теоретическое изучение движения жидкости связано с так называе­мой моделью идеальной жидкости. В этой модели жидкость рассматрива­ется как абсолютно несжимаемая среда, неспособная сопротивляться раз­рывающим усилиям и обладающая абсолютной подвижностью, т.е. ли­шенная вязкости. Последнее исключает возникновение в ней касательных напряжений.

2. Модель вязкой жидкости

Приступая к рассмотрению движения вязкой жидкости, необходимо прежде всего уяснить терминологию , т. е. смысл, вкладываемый в понятие «вязкая жидкость». С математических позиций необходимо установить вид функциональной зависимости для напряжений, либо, другими словами, сформировать модель вязкой жидкости. В дальнейшем под вязкой мы бу­дем понимать жидкость, удовлетворяющую трем гипотезам: линейности, однородности и изотропности.

Гипотеза линейности.

Применим закон Ньютона к жидкости, движущейся параллельно плоскости xOy (5), что дает

au_X

Tzx =M~ar

Воспользуемся результатом, полученным при рассмотрении теоре­мы Г ельмгольца о движении жидкой частицы. Согласно теореме, скорость угловой деформации относительно оси y

1 (a u_X a u_z ^s]

• = — ^ + ^z

^Yy 2 la z a x )

Так как движение происходит в плоскости xOy, то U_z = 0 и 1 -U-

Гу = 2 —

и, следовательно, касательное напряжение ^Tzx = Ту

Полученный результат иллюстрирует так называемый закон трения Стокса. Согласно этому закону, напряжения, возникающие в жидкости, в отличие от твердого тела, пропорциональны не величинам, а скоростям деформаций, и связаны с ними линейной зависимостью. При этом коэффи­циент пропорциональности остается неизменным и равным 2/л.

Кроме того, согласно закону Стокса касательные напряжения, как показано выше, пропорциональны скоростям угловой деформации, а нор-

~ ~ д. -U_x ^-uy —U_z

мальные - скорости линейной деформации, т.е. ^ ^ ^ .

Т

^иу , -и-^Л

^ —x - у .У

аким образом, можем записать

^т-у = ^туx = ²VYz = л

и т.д.

Рассмотрим теперь нормальные напряжения, возникающие от сил вязкости. Согласно закону Стокса, их можно записать в виде так называе­мых девиаторов напряжения, имеющих вид:

₀ —и_У

^Oxx =

—x

-U

у

СТуу

-у

о —Uz Ozz = ² /U-^Т

Полные нормальные напряжения отличаются тем, что помимо запи­санных выше в любой, как в вязкой, так и в невязкой жидкости, действуют и статические давления. Другими словами

о —U_x

Pxx = ^{— p} +

о —Uy ^руу = ^{— p +}

^pzz = ^{— p} + ²М —Z

Выполним следующую операцию: из утроенной величины p_xx вы­чтем сумму (p_xx + Руу + p_zz). Это дает:

³

^{5 U}x

5x

^pxx ^- (Pxx + Pyy + Pzz ) ^{— -3p} + ⁶M

\

5u 5u_y 5u

- 3 p + 2u

+ ■

■ + ■

5x 5y 5z

v

— 6u^5uL - 2udiv u 5x

откуда найдем

_ 5U_X 2 _ Pxx + Pyy + Pzz

n — 2u—- — judiv u +

xx

5x 3 3

В

тическое, т.е. p

качестве давления в вязкой жидкости принимают среднее арифме- Pxx + Pyy + Pzz

.

3

И, следовательно,

Px

P

yy

5x 3

5u_y 2 ^

P + 2u udiv u

5u_x 2 ^

p + 2u — — udiv u

5y 3

_ 5u₇ 2 ^

Pzz ^—- P + ²U ~^r~ "U^{dlv u}

5z 3

Для несжимаемой жидкости div u — 0, и выражения упрощаются. Гипотеза однородности

Предполагается, что вид линейной зависимости между напряжения­ми и скоростями деформаций одинаков для всех точек пространства.

Гипотеза изотропности

Вязкая жидкость предполагается изотропной, т.е. ее свойства в лю­бом направлении одинаковы.

3. Уравнение Навье-Стокса

Рассмотрим закон сохранения количества движения и уравнение движения, учитывая вязкость (внутреннее трение). Начнем с рассмотре­ния уравнений движения для изотермической жидкости и еще раз напом­ним, что уравнение непрерывности справедливо и для реальной жидкости, так как его вывод основывался только на законе сохранения вещества. Воспользуемся уравнением, записанным в форме закона для переноса им­пульса идеальной жидкости, и допишем в него слагаемые, отвечающие за перенос импульса в результате действия вязких сил.

Главный вектор количества движения К системы материальных ча­стиц равен интегралу от произведений их элементарных масс dm на векто­ры скоростей частиц V

К = J Vdm = J pVdW. (₆)

m W

Применим к объему W массой m теорему об изменении главного вектора количества движения. Приравнивая полную производную по вре­мени от главного вектора количеств движения главному вектору внешних массовых F и поверхностных P сил, получим

Jp^VdW = Jp^Fmdw + J р_в SS, (7)

^dt W W S

где pn - результирующая составляющая внутренних сил в газе (сил

давления и напряжений вязкости), приложенная к поверхности S объема

W.

Вычислим полную производную от главного вектора, причем для

простоты будем вначале предполагать, что внутренний приток массы от­

сутствует (M'=0), тогда

£ J p^Vdm = Jp ^dV^5W +J ^V:^d(p^5W) = Jp^dV^SW. (8)

JJ а ■ nd^s=JJJ div ud^v ₍₁₅₎ 11

p=p0+pg*0 - z) (10) 18

JJ ^pn^dS 29

J§=-!Р ),А 36

^u2^Ap7^r2r+^{с (12)} 73

Ж^—’{⁽Ч-%)^П) 94

h’i)^r,V^c4^rk-^c‘j' 94

F(y₊₎=£,_n№,₊) _{+ 9}(g-l)(g) 100

+ ^{A(M.)"j-1/2 - A(M.)”,+„2 +A(M.)"-_1J„,₂ - A(M.):+./_2j }- 220

Г n_zass = Г— sw.

fz

SW

Тогда

J Pn 5S =jf^fP^X+%^+^)да. (10)

s wv ^{fx fz} j

Подставляя в (8) значения входящих в него величин и перенеся все члены в одну строку, получим

^

J

dW=0. (11)

^dV nF ^Px ^Pv ⁵Pz⁴

p Ti p^Fm ^-

_v

W

dt ^m fx fy fz _J

Используя положение о произвольности объема W и приравнивая подынтегральную функцию нулю, получим

dV av - - ^- ap_X ap_Y ap_Z

p

(12)

— = p— + p(V • V)V = pF +

dt at ax ay az

Проектируя обе части равенства на направления осей координат, по-

лучим: p

^v aV aV aV ^Л

—+V

—+V—+V—

ZX

= p^FmX +

+

+■

at

ax

ay

az

av_Y

az

ax

ay

az

ZY

aV aV aV

—+V —+V—+V

= p^FmY +

■+

+-

p

(13)

at

ax

ay

ax

ay

az

aVZ aVZ aVZ aVZ —^Z+V_x —^Z+V —^Z+V —

^ap _XZ ^ap _YZ ^ap

ZZ

p^FmZ +

+

+■

p

at

ax

ay

az

ax ay

az

Эти уравнения динамики сплошной среды “в напряжениях”, или “уравнения импульсов”.

Сила трения на единицу поверхности по закону Ньютона

av_{X 2}

P_X = — (ц - коэффициент динамической вязкости, Н-с/м ).

ay

Подставив это выражение в предыдущее уравнение и принимая ц = const, получим

a

ap

²v.

X

X

= ц-

ay ‘ ay²

В общем случае, когда V_x изменяется по трем направлениям, проек­ция силы трения на ось х определяется выражением

^

dw = ^V ²V_xdW.

a²v_x a²v_x a²v_x^

dW

2

2

2

ax

ax

az

У

Суммируя силы, получим проекцию на ось х равнодействующих всех сил, приложенных к объему dW:

ap

^a ²v_{x +}ax₊ a ²v_x^a

(14)

ay

Получим уравнения движения с учетом вязкости, используя под­ход, изображенный на рис. 1.

Добавим силу трения, определив ее из рассмотрения плоского лами­нарного потока, в котором скорость Vx изменяется лишь в направлении оси y. В этом случае сила трения а возникает лишь на боковых гранях эле­мента (рис. 6)

"У

Рис.6.

Около левой грани скорости движения частиц меньше, чем в самом элементе, поэтому здесь в сечении у сила трения направлена против дви­жения и равна - adxdz. У правой грани скорость движения больше, чем в самом элементе, поэтому здесь в сечении у + dy сила трения направлена в сторону движения и равна

л

Эст ,

^ст + — ^dy

Эу

Эст

dxdz — CTdxdz — — dxdydz.

Эу

v

у

Здесь ст - сила трения на единицу поверхности; по закону Ньютона. Подставив это выражение в предыдущее уравнение и принимая ^ = const, получим

Эст Э²V_X ,_ллт

— dW — u X dw.

Эу Эу²

В общем случае, когда Vx изменяется по трем направлениям, проек­ция силы трения на ось х определяется выражением

^ГЭ ²У

Э ²У

dW = uV²VdW.

X

2

_v Эх Эу Э7 у

Суммируя силы, получим проекцию на ось х равнодействующих всех сил, приложенных к объему dW:

^ГЭ ²У

Э²V_X Э²У

ЭР

^pFmx ^— -Г- + ^U

Эх

х

х

dW

(*)

■f

+

Эх²

Эу²

Э2²

Используя вновь понятие субстанциальной производной

dV_X ЭУ

Ух ЭУх ₊ у ЭУх₊у ^Эух

х

+

Y

dt

at

Эх

Эу

Э7

у

согласно второму закону механики получим:

\

av

p

X

Y

Z

ax

az

a²v

V

У

л

a²v

ap

ax

X

X

+ |И

+

+

_ax²

aN

V у

Аналогично запишем уравнения для проекций сил на оси у и n (учи-

ay

a²v

= pF —

mx

_ay²

+ Р

dt

X

X

тывая, что v = —): Р

^f a ²v

^ ^Y x

_V ax²

^a ²Vy

a ²v

^V— av— _w av— _w aV_x

— + V —- + V —- + V —^x

^v x ^ ^{1 v} y ^ ^lvz

1 ap

—- + v p ax

f_ —-

+

az² _у a²v ^л

y + y

at

ax

ay

az

aVy

az

ay a ²v

av_y av_y av_y

^y + V —- + V^^—^L + V

1 ap

—- + v

p^ay

<

+ ■

2

2

y

at

ax

ay

v ax

^f a ²v

ay

az

У

_{z +} a²v_z a²v_z^

aVz aVz aVz aVz

—- + V —- + V —- + V —

^z

^v x ^ ^{1 v} y ^ ^lvz

1 ap

^Fmz -7T + ^V

p az

2

2

at

ax

ay

az

ax

ay

az

У

(15)

Это уравнение движения называют уравнением Навье-Стокса. Диф- ференциальное уравнение движения в форме Навье-Стокса описывает движение вязкой сжимаемой жидкости или газа и справедливо как для ла- минарного, так и для турбулентного движения.

В случае гипотезы “идеального газа” уравнение движения Навье - Стокса переходит в уравнение Эйлера:

rav

avx	+v:	avy	+ vz	avx _	1 ap.
ax	y	ay	z	az	p ax ’
avy	+ vy	avy	+ vz	avy _	1 ap.
ax	y	ay	z	az	pay’
avz	+ vy	avz	+ vz	avz _	1 ap
ax	y	ay	z	az	p az

+ vx ^У + vx

+v„

at

av_:,

at

av

<

(16)

at

ч.

В случае стационарности процесса первые члены уравнения будут равны нулю. Для двух- и одномерного движения уравнения Навье-Стокса и Эйлера соответствующим образом упрощаются.

Закон сохранения энергии для вязкой жидкости формулируется так:

d

JpEdW = JpF • vdW+JpvdS+Jq_ndW; Vx_m e v_o, t > 0, (17)

^dt W W S S

v²

где E = U + —^~ - удельная полная энергия; U = c_vT - удельная внутренняя —► —►

энергия; F - результирующая массовых сил, P_n - результирующая состав­ляющая внутренних сил в газе (сил давления и напряжений вязкости), при­ложенная к поверхности S выделенного объема W; q - удельное количе-

ство энергии (обычно тепла), подводимое в единицу времени к рабочему телу в выделенном объеме.

Учитывая произвольность выделенного объема W, получаем диффе­ренциальную форму данного закона

dE ^{- - - -}

р— = рF-V-div(pV) + div(aV) + divq; Vx_m e V₀, t > 0. (18)

dt

Если рассматривается идеальная несжимаемая жидкость, то полага­ют, что в жидкости отсутствуют теплообмен и трение. В таком случае движение адиабатично в каждой жидкой частице. Следовательно, закон сохранения энергии выливается в утверждение, что энергия каждого жид­кого элемента остается постоянной

dF

Р17 = ^{0; V x}» ^{e Vo,t} > °-

dt

Отсюда следует, что для описания движения идеальной несжимае­мой жидкости уравнение энергии не используется.

Запишем систему уравнений аэрогазодинамики для вязкой жид­кости.

Система уравнений газодинамического процесса в общем виде имеет

вид:

• уравнение неразрывности

JJ а ■ nd^s=JJJ div ud^v ₍₁₅₎ 11

p=p0+pg*0 - z) (10) 18

JJ ^pn^dS 29

J§=-!Р ),А 36

^u2^Ap7^r2r+^{с (12)} 73

Ж^—’{⁽Ч-%)^П) 94

h’i)^r,V^c4^rk-^c‘j' 94

F(y₊₎=£,_n№,₊) _{+ 9}(g-l)(g) 100

+ ^{A(M.)"j-1/2 - A(M.)”,+„2 +A(M.)"-_1J„,₂ - A(M.):+./_2j }- 220

Представим дивергентную форму системы уравнений для вязкого теплопроводного газа

|р+а1у(р V) = 0, + div^Vx V) = рF —^+div ст,

at ^m ax_m

д^^р7 ^ + div(рFV) = рFV - div(pV) + div(CTV) + div q,

at

P = Р(р,Т).

V²

где W_O - объем области; t - время, F = U + — - удельная полная энергия,

U = c_vT - удельная внутренняя энергия, V - вектор скорости потока в дан­ной точке; P и Т - местные термодинамическое давление и температура; x_m

• пространственные координаты; р - плотность среды; q_T = -A grad(T) - вектор плотности теплового потока; A - коэффициент теплопроводности, c_v - удельная теплоемкость; ст - тензор напряжений, вызванных силами вязкости

^

ст = 2ц S

2 -Ц^-Ц v ³

aV aV. — +—^j v^ax. ^axi J

А 1 ^{где S}=2

- тензор скоростей деформаций, Vi - проекции вектора

скорости на оси координат Xi; s - единичный тензор, ц - коэффициент внутреннего трения (динамический коэффициент молекулярной вязкости) движущейся среды, ц' - коэффициент объемной вязкости (во многих слу­чаях им можно пренебрегать).

Здесь первое уравнение - массопереноса, второе - движения, третье

• уравнение энергии и последнее - уравнение состояния.

В осесимметричном двумерном случае, характерном для многих за­дач в области ракетостроения, данная система уравнений принимает сле­дующий вид:

уравнение неразрывности dp I-U 1 -rV^

= 0,

Vr,ze S₀, t > 0

+ P

+

-z r -r

dt

уравнения импульса

dU _ -P Г -a _z

p — = pF_z + 1

dt -z -z r -r

dV ^ -P

p— = pF_r + —- +

dt ^r -r -z r -r

1 —(rr )

r -r ^{v rz} _

1 !(<,)-

-r

a.

Vr,z e S_Q, t > 0

r

уравнение энергии dE

p — = p(FzU + F_rV) dt

-PU 1 -rPV

+

_-

+—(a zU + r ,v )+

-z

-z

r -r у 1-

- L -т^Л

A

+¹ “It(r„u + arV)]-^aiV- --

r -r r r -r

—T -r

rA

-z

-z

У

J

• r, z e S , t > o

где U, V - составляющие скорости по осям z и г соответственно; формулы для напряжений вязкости имеют вид:

2

^a z = 3^л

2

a_m = — л

_Ф з^л

-z

r

r.

J

2 -U -1 3(_rV)

-z r -r

₂v_ —v_ —и

V r -r -z J

2 I -V V -и^Л

-r

-U -V — + — -r -z

a _r = -Ц ^r3

4. Краевые условия

Краевые условия или условия однозначности включают в себя:

• геометрические условия, характеризующие форму и размеры си­стемы, в которой протекают процессы;

• физические, характеризуют физические свойства среды и тела;

• граничные условия, характеризующие протекание процесса на гра­ницах тела;

• временные условия, характеризующие особенности протекания процесса во времени.

Краевые условия позволяют выделить из бесконечного множества решений единственное.

При установившемся движении начальные условия выпадают, при неустановившемся они представляют собой значение в начальный момент времени скорости, давления, температуры и т.д. в каждой точке.

Граничные условия могут быть заданы на свободной поверхности или на твердых границах. Если невязкая жидкость или газ соприкасаются с непроницаемой поверхностью, уравнение которой F(x,y,z) = 0, то гранич­ное условие состоит в том, что по всей поверхности скорость касательна к ней (“условие безотрывного обтекания”): (V_n)_s = 0.

Т.к. градиент функции F(x,y,z) совпадает с нормалью к поверхности уровня, то

• •VF = 0,

fF fF fF

• — + V — + V — = 0.

^x fx ^a fy ^z fz

Если граница меняется со временем и уравнение поверхности имеет вид F(x,y,z,t)=0, то граничным условием будет совпадение координат ча­стицы с координатами поверхности x, y, z в момент времени t и в момент времени t+dt , когда координаты будут x+dx, y+dy, z+dz. Т.е. для этого мо­мента времени координаты частицы должны удовлетворять уравнению F(x+dx,y+dy,z+dz,t+dt)=0.

Ограничиваясь первыми членами разложения в ряд Тейлора, полу­чим

о— с— с— с—

• dx + —dy + —dz + —dt = 0. fx fy fz ft

деля на dt , получим граничное условие в следующей форме

f f f f—

• — + V — + V — + — = 0.

fx ^y fy f z ft В случае обтекания тела вязким потоком задают, как правило, равен­ство скорости на стенке нулю, т.е. “условие прилипания”:

(V)s = 0.

Примером задания граничного условия на свободной поверхности является равенство давления на ней внешнему давлению:

P(x ,y, z, t) = P0.

Граничными условиями при изучении обтекания тел с теплообменом могут быть, например, распределение температуры на поверхности тела или поток тепла в каждой точке поверхности или температура обтекающей тело среды и закон теплообмена между ними.

5. Особенности расчёта течений с учетом вязкости потока

В общем случае в систему уравнений движения вязкого теплопровод­ного газа входят следующие величины: вектор скорости потока в данной точке; местные термодинамическое давление и температура; удельная внутренняя энергия смеси; плотность среды; поток энергии, связанный с тепловым движением частиц; объемный удельный поток энергии (внут­реннее выделение или поглощение энергии, излучение), и некоторые дру­гие величины, связанные с вышеперечисленными параметрами.

Система уравнений имеет вид:

• уравнение неразрывности

—+ pdivV — 0, Vx_m e W₀, t > 0;

dt

• уравнение количества движения

dV - p — — pF - gradP + divQ, Vx_m e W₀, t > 0; dt

уравнение энергии

dE -*■ ^{- - -}

p — — p F • V - div(PV) + div(QV) - div q_T, V x_m e W₀, t > 0; dt

• уравнение состояния:

P — P(p,T);

В дивергентной форме эти уравнения приобретают вид:

^dP + ^div(p ^{V) — 0, 5}(^pV^ + div(pV V) — pF —⁵^ + div Q,

5t ^m 5x_m

⁵^^pE^ + div(pEV) — pFV - div(pV) + div(QV) - div q_T, 5t

P — P(p,T),

V²

где W_O - объем области; t - время, E — U + —— - удельная полная

2

—►

2

-Ц^-Ц

v ³

энергия, U — c_vT - удельная внутренняя энергия, V - вектор скорости по­тока в данной точке; P и Т - местные термодинамическое давление и тем­пература; x_m - пространственные координаты; p - плотность среды; c_v - удельная теплоемкость; q - тензор напряжений, вызванных силами вязко­сти

divV • е,

Q — 2ц S

^

^•1

где S — -

2

5V_i 5Vj^A

1. + ^J

• тензор скоростей деформаций, V_i - проекции

5xj 5x;

v J ⁱ у

вектора скорости на оси координат x_i; е - единичный тензор, ц - коэффи­циент внутреннего трения (динамический коэффициент молекулярной вяз­кости) движущейся среды, ц' - коэффициент объемной вязкости (во многих случаях им можно пренебрегать).

Здесь первое уравнение - массопереноса, второе уравнение - движе­ния, третье - энергии и последнее - состояния.

Эти уравнения в индексной записи имеют вид

где t — время, u — скорость текучей среды, р — плотность текучей среды, Р — давление текучей среды, S_i — внешние массовые силы, дей­ствующие на единичную массу текучей среды: S_iporous — действие сопро­тивления пористого тела, S_igravity — действие гравитации, S_irotation — дей­ствие вращения системы координат, т. е.

Si =S

Е — полная энергия единичной массы текучей среды, Q_H — тепло, выделяемое тепловым источником в единичном объеме текучей среды,

• тензор вязких сдвиговых напряжений, q_i — диффузионный тепловой поток, нижние индексы означают суммирование по трем координатным направлениям.

Для ньютоновских текучих сред тензор вязких сдвиговых напряже­ний определяется следующим образом:

где — коэффициент динамической вязкости, - ко­

э

где = [ 1 - е хр( -0,02 5Ry)f ■ ( 1 + ;

ффициент турбулентной вязкости, 8_у — дельта-функция Кронекера ( 8_у = 1 ) при i = j; 8_у= 0 при i ф j ), k — кинетическая энергия турбулент­ности. В соответствии с k - s моделью турбулентности, ц, определяется че­рез величины кинетической энергии турбулентности k и диссипации этой энергии s :

у - расстояние от поверхности стенки, = 0 , 0 9 .

Кинетическая энергия турбулентности k и диссипация этой энергии s определяются в результате решения следующих двух уравнений:

£

где:

где (Г_с — 0,9 , P г - число Прандтля, с_р - удельная теплоёмкость при постоянном давлении, T - температура текучей среды.

Д

n Si 1 dp

^PB — a ^,

a_B p dxi

gi — составляющая гравитационного ускорения в координатном направлении х_t , o_B = 0,9 , C_B — 1 при P_B > 0 и C_B — 0 при P_B < 0 ,

fi — 1 — ехр(—R !■) , C _£ 1 — 1 , 4 4 , C_£2 — 1 , 9 2 , бг_£ — 1 , 3 , <г_к — 1

Диффузионный тепловой поток моделируется с помощью уравнения

ля моделирования ламинарных течений данная система уравнений несколько модифицируется, а именно полагается д _t = 0 и k = 0. С помощью функции моделируется переход ламинарного течения в

турбулентное и турбулентного в ламинарное.

Ламинарные и турбулентные пограничные слои течения около поверхностей твердого тела, а также переход ламинарного пограничного слоя в турбулентный и, наоборот, турбулентного в ламинарный, моделируются с высокой точностью с помощью мвдифицированных универсальных пристеночных функций.

Изменение концентраций компонентов смеси в пространстве вследствие диффузии моделируется следующими уравнениями:

^ + 4⁽ри_куд ^— ir_k ((% + Щg) , ⁱ = U...N,

где у; — концентрация i-го компонента смеси _± у _t =1, N —

число компонентов, D_y и Dy — коэффициенты молекулярной и

турбулентной диффузии, которые подчиняются закону Фика, так что D_tj =

где D — коэффициент диффузии, — турбулентное число Шмидта.

Для определения теплофизических свойств текучей среды, т. е.

зависимостей плотности, вязкости, теплопроводности, удельных

теплоемкостей, коэффициентов диффузии компонентов текучей среды от давления, температуры и концентрации компонентов текучей среды, используются уравнения состояния, эмпирические и полуэмпирические зависимости.

Для сжимаемых текучих сред используется уравнение состояния следующего вида:

Р = Р⁽Р,Т,у) ,

где у = (yi , y₂ , ..., y_N) — вектор концентраций компонентов текучей среды. Для газов используется уравнение состояния идеального газа p = P/(RT), где R — газовая постоянная моделируемого газа, которая для смеси газов определяется как R = R_yHHB £f=o Jf. ,

где M_i - молекулярная масса i - го компонента смеси.

Естественно, для несжимаемых жидкостей в качестве уравнения

состояния используется р = р(Т,у). Для многокомпонентных жидкостей

-i

р = feiVM . Для учета зависимости от температуры используется

^ Ри

у

-i

равнение

N

Y

Р =

£-{l + B_n(T-To)))

Ы^Ры

где B_Ti - коэфицент объёмного теплового расширения i - го компонента,

p_oi - плотность i - го компонента при некоторой темпрературе T_o . Если расчет выполняется во вращающейся системе координат, то величина S_{i rotanion} определяется с помощью следующей формулы:

^Si rotanion ^^eijkⁿj^p'^k ^ ^рП

где e_ij_k— функция Леви — Чевита, П — угловая скорость вращения этой системы координат, г — радиус-вектор, приходящий в данную точку пространства от ближайшей к ней точки, лежащей на оси вращения данной системы координат.

Двумерная задача в декартовой системе координат При использовании введенных соотношений конечно-разностные уравнения Эйлерова этапа расщепления для треугольной частицы примут

вид:

~ n n

Um = Um +

At

n

^Р m

>n⁾-

(-

y 23P^{n -} y3iP2^- y 12P n)+

F

2S

t

₊

n ¹ n n

^Гх3 ⁾^ — ^(X23^1 + ^X31^2

1- (-:

1 n n n ■ I 1 Hi Hi П ■

— (^- y 23^x1 ^- y31^x2 ^- y 12^x3 )^ —(^X23^1 + ^X31^2 + ^X12^3 ⁾

" / At

Vm = Vm H

^k12^P3 ⁾

^Р

^H 2S ^(:X23^CTy1 ^{+ X}31^CTy2 ^{H X}12^CTy3 ⁾⁺2S

43 (-

ⁿ)

^y23^1 ^y31^ 2 ^y12^ 3

^Fy ^ (^X23Pn ^{+ x}31P3 + ^x 12Pn )+

pm i 2s_t

Mx^p nViⁿ + X3i pZV₂² + x i ₂pZV3³ )+

Fⁿ - Fⁿ + At I i

Em — Fm +

⁽- У23Р ^{nu n} - y3iP^nu2 - y i 2P^{nun )-}

2S

t

+ ^[- У 23 (a X i U n + - nViⁿ)-y3i (a Х₂Щ + - ZV₂^z )- y i ₂ (a X3U + t nV3ⁿ)] +

2S

^k3 (- nUn + a y iV")₊ X3i (t nU2 ₊ay₂V₂ⁿ)₊ x i ₂ (- "Uy ₊a ⁿy3V3ⁿ)] +

^{+ (q} i 2 ^{+ q}23 ^{+ q}3 i ^)} + ^At(Fx i^U i ^{+ F}x2 ^U 2 ^{+ F}x3^U3 ^{+ F}yi ^Vi ^{+ F}y2^V2 ^{+ F}y3^V3),

где индексы n - номер шага по времени, m - номер конечной части­цы; t - центр тяжести треугольника, yij = yi - y , Xij = Xi - Xij , a, x - напряже­ния в элементе m, вызванные вязкостью, q_ij - тепловой поток через сторону ^ij-

Параметры в узловых точках сетки определяются по найденным на предыдущем шаге значениям соответствующих величин в центрах частиц путем аппроксимации поля этих величин в области течения.

Двумерная задача в цилиндрической системе координат

При использовании приведенных соотношений для течений с учетом вязкости потока конечно-разностные уравнения Эйлерова этапа расщепле­ния для треугольной частицы примут вид:

At

~ _c ^(z23^p 1 + ^Z3i ^P2 + ^Zi 2^p3 ⁾

1+-^ +

^rtm

Vm — Vm +-

F

2S_t

Р

'"3 )^(-

z )

r x ^z — r x ^z — r x

^A23^l1 ^r31 ¹ 2 ^r1 2 ^- 3

+ 2S ^(Z23^aП + ^Z31 ^ar2 + ^Zi 2^ar3 ⁾+ 2§

^F

^{n n} At

Um — Um +

n _p ⁿ_m

r ^-^^{(- r}23^{p Z - r}3i^p2 ^{- r}i 2^p2 )+~ +

2

r

S

Em — Em + 4-1-:^(-^pIU -r₃₁pnU2 -r₁₂pnUn)-

p m I ^2St

1 / \ _pⁿ Vⁿ

JJ а ■ nd^s=JJJ div ud^v ₍₁₅₎ 11

p=p0+pg*0 - z) (10) 18

JJ ^pn^dS 29

J§=-!Р ),А 36

^u2^Ap7^r2r+^{с (12)} 73

Ж^—’{⁽Ч-%)^П) 94

h’i)^r,V^c4^rk-^c‘j' 94

F(y₊₎=£,_n№,₊) _{+ 9}(g-l)(g) 100

+ ^{A(M.)"j-1/2 - A(M.)”,+„2 +A(M.)"-_1J„,₂ - A(M.):+./_2j }- 220

^rtm

+ At(Fz1U1 + Fz₂U₂ + FZ3U3 + F_rtV1 + Fr₂V₂ + Fr3V3),

где индексы n - номер шага по времени, m - номер конечной части­цы; t - центр тяжести треугольника, r_ij = r_i - rj , z^ = z_i - z_ij , q, i - напряжения в элементе m, вызванные вязкостью, q_ij - тепловой поток через сторону ij.

Параметры в узловых точках сетки определяются по найденным на предыдущем шаге значениям соответствующих величин в центрах частиц путем аппроксимации поля этих величин в области течения.

На лагранжевом этапе расщепления при вычислении эффектов пере­носа массы через стороны треугольных ячеек используется разностная формула первого порядка точности:

ЛЕКЦИЯ 5

ЛАМИНАРНЫЙ И ТУРБУЛЕНТНЫЙ РЕЖИМЫ ТЕЧЕНИЯ

План лекции

1. Потеря устойчивости течения

2. Переход ламинарного движения в турбулентное

3. Краткие сведения о полуэмпирических теориях турбулентности

1. Потеря устойчивости течения

В 80-х годах XIX-го столетия работы, связанные с изучением сопро­тивления движению жидкости при течении в трубах, зашли в тупик. Опы­ты одних исследователей (немецкий инженер-строитель Г.Хаген, француз­ский врач Ж.Пуазейль) показали, что сопротивление линейно зависит от скорости. В то же время не менее тщательные и точные опыты француз­ского инженера А.Дарси свидетельствовали, что сопротивление пропорци­онально квадрату скорости. Возникшее противоречие тормозило развитие инженерной практики и требовало разрешения.

Наблюдения, выполненные Г.Хагеном еще в 1855 г. показали, что характер движения в трубе изменяется при достижении каких-то опреде­ленных условий. На это же со всей определенностью было указано в 1870 году нашим соотечественником проф. Н.Н.Петровым при разработке им теории гидродинамической смазки. Эта гипотеза нашла блестящее под­тверждение в опытах английского физика Осборна Рейнольдса, результаты которых были опубликованы в 1883-1884 годах и имели далеко идущие последствия для всей механики жидкости.

Идея опытов отличалась ясностью и предельной простотой. В стек­лянную трубу, скорость движения воды в которой могла регулироваться, Рейнольдс вводил струйки красителя. При малых скоростях струйки дви­гались параллельно оси трубы и вся картина представлялась неподвижной. При увеличении скорости воды за счет открытия крана картина изменя­лась, струйка красителя сначала приобретала синусоидальную форму, а дальнейшее увеличение скорости приводило к ее размыву, что свидетель­ствовало о беспорядочном движении.

Первый режим - спокойный, слоистый без перемешивания частиц был назван ламинарным. Второй - бурный, хаотичный, приводящий к пе­ремешиванию частиц, позднее по предложению У. Томсона (Лорда Кель­вина) получил название турбулентного. Как истинный ученый, Рейнольдс не остановился на констатации факта. Он предположил, что увеличении скорости потока приводит к возникновению каких-то возмущений, деста­билизирующих его структуру. Если понимать под устойчивостью способ­ность потока подавлять возникающие в нем малые возмущения, то переход к турбулентному режиму может рассматриваться как потеря устойчивости.

При этом из двух категорий сил, действующих на жидкие частицы, вязкого трения и инерции, первые играют стабилизирующую роль, а вторые - де­стабилизирующую. Таким образом, отношение этих сил может служить критерием (мерой) устойчивости потока, т.е.

сила инерции Мераустойчивости = ^_

сила _ вязкого_ тр ения

Такой подход позволяет получить и количественную меру. Действи­тельно, сила инерции F = та. Массу можно представить как произведе­ние плотности на объем, но объем пропорционален кубу линейных разме­ров, т. е. т — pi . Ускорение есть изменение скорости в единицу времени

а = U. Таким образом

_

(1)

pl^ъп

ин

По смыслу jA есть скорость, следовательно,

JJ а ■ nd^s=JJJ div ud^v ₍₁₅₎ 11

p=p0+pg*0 - z) (10) 18

JJ ^pn^dS 29

J§=-!Р ),А 36

^u2^Ap7^r2r+^{с (12)} 73

Ж^—’{⁽Ч-%)^П) 94

h’i)^r,V^c4^rk-^c‘j' 94

F(y₊₎=£,_n№,₊) _{+ 9}(g-l)(g) 100

+ ^{A(M.)"j-1/2 - A(M.)”,+„2 +A(M.)"-_1J„,₂ - A(M.):+./_2j }- 220

№

где и - характерная скорость течения; l - характерный линейный размер.

Оригинальное толкование этого комплекса дано самим Рейнольдсом. Он писал: «Жидкость можно уподобить отряду воинов, ламинарное тече­ние - монолитному походному строю, турбулентное - беспорядочному движению. Скорость жидкости - скорость отряда, диаметр трубы - величи­на отряда. Вязкость - дисциплина, а плотность - вооружение. Чем больше отряд, чем быстрее его движение и тяжелей вооружение, тем раньше рас­падается строй».

Для круглых труб характерный размер - диаметр, характерной ско­ростью является средняя скорость. С учетом этого, имея в виду, что

= V, выражение (5) принимает вид

JJ а ■ nd^s=JJJ div ud^v ₍₁₅₎ 11

p=p0+pg*0 - z) (10) 18

JJ ^pn^dS 29

J§=-!Р ),А 36

^u2^Ap7^r2r+^{с (12)} 73

Ж^—’{⁽Ч-%)^П) 94

h’i)^r,V^c4^rk-^c‘j' 94

F(y₊₎=£,_n№,₊) _{+ 9}(g-l)(g) 100

+ ^{A(M.)"j-1/2 - A(M.)”,+„2 +A(M.)"-_1J„,₂ - A(M.):+./_2j }- 220

R = д, т.е. гидравлический радиус в два раза меньше геометрического.

Одним из наиболее существенных результатов, обнаруженных в опытах Рейнольдса являлось то, что переход от ламинарного течения к турбулентному происходил при одном и том же численном значении вве­денного им критерия устойчивости, названного впоследствии критическим

значением числа Рейнольдса (Re_кр ). По данным многочисленных опытов в

круглых трубах ^Re_кр ~ ²³⁰⁰. Это так называемое нижнее критическое

число Рейнольдса, которое получают, если не принимать специальных мер по стабилизации потока. При принятии мер, переход к турбулентному те­чению можно существенно затянуть. При выполнении технических расче­тов принято считать, что если число Рейнольдса, вычисленное по фактиче­ским значениям параметров, меньше критического, то режим ламинарный, и наоборот.

При рассмотрении уравнений движения вязкой жидкости (уравне­ний Навье-Стокса) отмечалось, что интегрирование их в большинстве слу­чаев связано с непреодолимыми математическими трудностями. Однако известны и исключения. К числу их относится ламинарное течение между параллельными пластинами, одна из которых движется с какой-то скоро­стью и. Это так называемое течение Куэтта.

Другим примером, интересующим нас в данном случае, является установившееся течение в круглой трубе, происходящее под действием постоянного перепада давлений - течение Пуазейля.

Профессор медицины Жан Пуазейль (1799-1869 гг.) во введении к своему трактату «Движение жидкостей в трубах малого диаметра» писал: «Я начал свои исследования потому, что прогресс в физиологии требовал определения законов движения жидкости в трубах малого диаметра (по­рядка 0,1 мм). Конечно, Дю Буа, Жирар, Навье и другие уже исследовали

эти проблемы, однако они нуждаются в дальнейшем аналитическом и экс­периментальном изучении, что было необходимо для надежного согласо­вания теории с экспериментом». Опыты, выполненные Пуазейлем с труб­кой диаметром 0,14 мм, согласовывались с полученным им соотношением до тех пор, пока длина трубки составляла 51 мм; при уменьшении длины эта зависимость не соблюдалась. Этот факт и объясняется переходом от ламинарного к турбулентному режиму течения.

Как отмечалось выше, закономерности ламинарного течения в тру­бах можно получить путем прямого интегрирования уравнений Навье- Стокса. Решение задачи таким методом можно найти в книге: Аржаников

Н.С., Мальцев В.Н. Аэродинамика. - М.: Изд-во оборонной промышл., 1956. 483 с.

Здесь мы воспользуемся другим способом, позволяющим получить более ясные физические представления.

Рассматриваем установившееся ламинарное течение в горизонталь­ной трубе, происходящее под действием постоянного перепада давления. Радиус трубопровода - R.

Двумя сечениями, отстоящими на расстоянии l друг от друга, выде­лим отсек трубопровода, и в нем цилиндр радиуса г. Составим уравнение движения. Так как течение установившееся, то сумма проекций на ось всех сил, действующих на цилиндр, должна быть равна нулю. Другими слова­ми, активные силы, приводящие частицы жидкости в движение, должны быть равны силам сопротивления.

о

Активные силы: pA — p₂A = ApA = ж Г Ap.

Силы сопротивления: 2жг1 т.

Таким образом, ж Г Ap = 2жг1 т и

т=А^РГ (8)

Из 6), в частности, следует, что касательные напряжения изменяют­ся вдоль радиуса по линейному закону. С другой стороны, по Ньютону ка­сательные напряжения

du

JJ а ■ nd^s=JJJ div ud^v ₍₁₅₎ 11

p=p0+pg*0 - z) (10) 18

JJ ^pn^dS 29

J§=-!Р ),А 36

^u2^Ap7^r2r+^{с (12)} 73

Ж^—’{⁽Ч-%)^П) 94

h’i)^r,V^c4^rk-^c‘j' 94

F(y₊₎=£,_n№,₊) _{+ 9}(g-l)(g) 100

+ ^{A(M.)"j-1/2 - A(M.)”,+„2 +A(M.)"-_1J„,₂ - A(M.):+./_2j }- 220

Либо после разделения переменных

^{du — -} 0j^rdr оо

и после интегрирования

л

^u2^Ap7^r2r+^{с (12)}

Произвольную постоянную интегрирования находим из граничных условий: при r — R u — 0 (условие прилипания), и

с — xpR² 4ul

Следовательно,

u — Z (R² - r²) (13)

либо

'l - r^2Л

(14)

v R²y

ApR

u —

4^1

2

Максимальная скорость движения частиц будет на оси трубы, т.е. при r — 0, а ее величина

ApR²

^{u max —} 4 jul ⁽⁾

П

(16)

одставляя (12) в (13) получим

^{u u} max

Из чего следует, что в поперечном сечении трубы скорости распре­делены по параболическому закону, т.е. эпюра скорости представляет со­бой параболоид вращения.

Выражение (14) можно представить в виде

2

• — ¹ - ^2 (17)

^u max R

Из чего следует, что отношение скорости в любой точке к скорости на оси не зависит от расхода, рода жидкости и материала стенок трубы: при всех значениях Re < Re$d оно одинаково.

Определим расход, протекающий через трубопровод. При введении

понятия о средней скорости было показано, что

R

Q — u (r)rdr (18)

о

где U (Г) - уравнение эпюры скорости.

Воспользуемся (11.6), что дает

R

JJ а ■ nd^s=JJJ div ud^v ₍₁₅₎ 11

p=p0+pg*0 - z) (10) 18

JJ ^pn^dS 29

J§=-!Р ),А 36

^u2^Ap7^r2r+^{с (12)} 73

Ж^—’{⁽Ч-%)^П) 94

h’i)^r,V^c4^rk-^c‘j' 94

F(y₊₎=£,_n№,₊) _{+ 9}(g-l)(g) 100

+ ^{A(M.)"j-1/2 - A(M.)”,+„2 +A(M.)"-_1J„,₂ - A(M.):+./_2j }- 220

d

Полученное соотношение носит название формулы Хагена- Пуазейля. Для потерь напора с учетом того, что Ap — pgAh, формула принимает вид

. , 32^Iv

A h — —^ (23)

pgd

Важнейший вывод, следующий из этого соотношения, можно сформулировать так: потери давления (напора) при ламинарном течении в круглых трубах линейно зависят от средней скорости.

Выполним некоторые формальные преобразования формулы Хаге- на-Пуазейля, которые окажутся полезными в дальнейшем. Умножим чис­литель и знаменатель (21) на 2V, что дает

, 32 • 2v I V² 64 у I V² 64 I V²

Ah — — — (24)

vd d 2g vd d 2g Red 2g

Таким образом, можем записать, что в формуле Ah — f (v^m) при ламинарном течении m — 1.

2. Переход ламинарного движения в турбулентное

Теория турбулентных течений представляет собой важнейший для практики, но и наиболее сложный раздел гидродинамики.

Как уже отмечалось, первые серьезные исследования перехода к турбулентности были выполнены О. Рейнольдсом в 1883 году. Им же со ссылкой на Стокса был предложен ответ: «Общей причиной изменения стационарного течения на завихряющееся является то обстоятельство, что при некоторых условиях стационарное движение становится неустойчи­вым, так что бесконечно малые возмущения могут привести его к переходу в волнистое движение». «Волнистое движение», так первоначально было названо турбулентное движение Рейнольдсом. К сожалению, исследование бесконечно малых возмущений не дало критических значений, близких к наблюдавшимся в опытах.

Основной, определяющей чертой турбулентного движения является его хаотичность. Это означает, что скорость (и другие параметры) в любой точке потока зависят от времени. Более того, эти флуктуации скорости в данной точке также являются хаотическими.

Подробный исторический обзор развития теории турбулентности можно найти в капитальном двухтомном труде известных советских спе­циалистов А.С. Монина и А.М. Яглома «Статистическая гидромеханика» (ч.1. -М.: Наука, 1968. -639 с.)

В настоящем пособии мы ограничимся лишь самыми общими сведе­ниями, в какой-то мере поясняющими сложные и еще не до конца понятые вопросы, связанные с турбулентным движением.

Впервые гипотеза о физическом механизме турбулентного переме­шивания была высказана английским ученым Л. Ричардсоном в 1922 г. Условно турбулентное движение принято рассматривать как совокупное движение отдельных структур, называемых молями либо вихрями, совер­шающими как поступательное, так и вращательное движение. По Ричард­сону развитая турбулентность представляет собой иерархию «вихрей». При зарождении вихри имеют большие размеры, соизмеримые с размера­ми канала. Затем за счет потери устойчивости они распадаются на более мелкие, передавая при этом им свою энергию. Возникает каскадный про­цесс, в котором энергия осредненного потока последовательно передается вихрям все более мелких масштабов. В конечном итоге образуются вихри минимального масштаба, которые далее не разрушаются. При этом ниж­ний размер вихря (турбулентного образования) определяется вязкостью среды. В самых малых вихрях кинетическая энергия турбулентности за счет сил вязкого трения превращается в тепло, т.е. происходит диссипация энергии. Это указывает на необратимый характер процесса.

Из сказанного ясно, что турбулентное движение по своей физиче­ской природе является движением неустановившимся. С другой стороны, непосредственные измерения свидетельствуют, что при турбулентном ха­рактере потока в нем можно выделить основную, так называемую регуляр­ную часть, на которую накладывается случайная часть движения.

На рис. 2 показан типичный вид экспериментально снятой зависимо­сти проекции скорости в какой-то точке потока от времени при сохраняю­щихся неизменными граничных условиях.

Рис. 2. Типичный вид экспериментально снятой зависимости проекции скорости в какой-то точке потока от времени

Как следует из графика, особенностью этого процесса является его непериодичность, при этом

осредненная скорость, представляющая регулярную

часть; U'_x - пульсационная скорость, разность между мгновенным и регу­лярным значением скорости.

Аналогичные соотношения можно записать и для других компо­нент.

Таким образом, осредненная скорость - это какое-то устойчивое значение, вокруг которого происходит изменение рассматриваемой проек­ции скорости (в данном случае ). Все сказанное в равной мере относится и к другим параметрам, в частности, к давлению.

Наиболее важной характеристикой течения при его расчете являет­ся поле скоростей. Но, как показано выше, в любой точке потока при тур­булентном течении скорость выступает как случайная величина, что ис­ключает возможность записи начальных условий для системы дифферен­циальных уравнений Навье-Стокса, т.е. оказывается невозможной матема­тическая постановка задачи. Именно это и приводит к необходимости пе­рехода к какому-то осредненному описанию, использующему не истинные, а осредненные величины скоростей и давлений. Осреднение скоростей и давлений производится путем интегрирования функций U_x (x, y, z, t),

^Uy^(x. У ^z.^t) > ^Uz ^(x , y, z, t), p (x, y, z, t) по промежутку времени T (см.

рис. 2), величина которого намного больше так называемого характерного времени турбулентных пульсаций. Это время определяется как частное от деления масштаба l на скорость турбулентных пульсаций. Под масштабом турбулентных пульсаций понимают расстояние, на котором пульсации претерпевают заметное изменение. Так, например, при турбулентном дви­жении в трубах наибольший масштаб пульсаций равен диаметру трубы. Таким образом, осредненная компонента скорости, например, (и_х)

to+r

Ю = j | ^их (0 ^dt (²⁴)

^{r t}0

Аналогичное соотношение можно записать и для давления. При этом, поскольку флуктуации (пульсации) имеют как положительный так и отрицательный знак, то

to+T

(^иХ) = J J u'x(t)dt = ⁰ (²⁵)

1. 0

Ясно также, что I^U^f_x²^ Ф 0. Если в данной точке потока

{u'_x ^U , то турбулентность называют изотропной, а если

это условие соблюдается во всех точках, то она называется еще и однород­ной.

Уравнения Рейнольдса.

Как уже отмечалось, сложность турбулентного движения делает не­возможным строгое рассмотрение течений при заданных граничных усло­виях. Одной из возможных альтернатив является переход от истинной кар­тины, детали которой нам неизвестны, к рассмотрению осредненного тур­булентного течения, т.е., по существу, замена принципиально неустано- вившегося движения на квазиустановившееся. Этот переход был предло­жен О.Рейнольдсом. Суть его сводится к тому, что в уравнениях движения вязкой жидкости (уравнениях Навье-Стокса) и уравнении неразрывности истинные значения параметров по определенным правилам заменяются их осредненными значениями. Получаемая таким образом новая система уравнений носит название уравнений Рейнольдса. Вывод этих уравнений выходит за рамки настоящего курса. Интересующиеся могут найти его в ряде учебных пособий, в частности, Федяевский К.К., Войткунский Я.И., Фаддеев Ю.И. Гидромеханика. - Л.: Судостроение, 1968. - 567 с.

Наиболее существенным результатом этой операции является то, что вследствие нелинейности уравнений Навье-Стокса в уравнениях Рейноль­дса появляются дополнительные члены, которые получили название напряжений Рейнольдса. Для наиболее простого плоскопараллельного те­чения эти напряжения имеют вид:

^ТТ = ^_pUx^Uy ) , (26)

где (угловые скобки - символ осреднения).

Таким образом, в осредненном турбулентном потоке к обычным вяз­костным напряжениям добавляются напряжения, зависящие от пульсации скорости. Физически это объясняется тем, что между разными участками турбулентного потока происходит обмен количеством движения, обуслов­ленный перемешиванием частиц. Перенос количества движения вызывает дополнительное торможение либо ускорение отдельных масс жидкости, т.е. приводит к возникновению турбулентных напряжений.

Поскольку исходная система уравнений являлась замкнутой (четыре уравнения и четыре неизвестных - U_X, Uy, U_z, p), то появление дополни­тельных членов в уравнениях Рейнольдса приводит к тому, что она пре­вращается в незамкнутую. Возникает новая проблема «замыкания системы уравнений Рейнольдса».

ЛЕКЦИЯ 6

МОДЕЛИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ. ОСОБЕННОСТИ ЧИСЛЕННОГО РАСЧЕТА ТУРБУЛЕНТНЫХ ТЕЧЕНИЙ

План лекции

1. Полуэмпирические теории турбулентности

2. Однопараметрические модели турбулентности

3. Двухпараметрические к - в модели турбулентности

1. Полуэмпирические теории турбулентности

Современная теория турбулентности не располагает возможностями теоретическим путем получить уравнения для определения напряжений Рейнольдса. Поэтому единственным способом, позволяющим замкнуть си­стему, является привлечение полуэмпирических соотношений, связываю­щих эти напряжения с осредненными по времени компонентами скорости

(Ux), (Uy) и {U_z)

О дин из первых исследователей турбулентности, Ж.Буссинеск, пред­ложил выражать турбулентные напряжения аналогично закону трения Ньютона, т.е.

(27)

где ц -турбулентная вязкость.

В отличие от физической, турбулентная вязкость характеризует не физические свойства жидкости, а статистические свойства пульсационного движения. Поэтому она не является постоянной величиной, а может изме­няться как в пространстве, так и во времени. Важно также отметить, что даже на небольших удалениях от твердых границ турбулентная вязкость существенно превосходит физическую (ц >> ц).

В целом для турбулентного потока можно записать

(28)

Однако представление Буссинеска не приводит к решению задачи, т.к., к сожалению, отсутствуют прямые методы определения турбулентной вязкости.

Первого заметного успеха в этом направлении добился Л.Прандтль в 1925 году, предложив так называемую теорию пути перемешивания (смешения).

В основе ее лежит аналогия с кинетической теорией газов и пред­положение о том, что путь смешения зависит от условий течения. В соот­

ветствии с гипотезой Прандтля, каждый турбулентный моль (вихрь) жид­кости переносит некоторое количество движения, которое сохраняется по­стоянным на пути перемешивания. Другими словами, длина пути переме­шивания в известной мере аналогична длине свободного пробега молекул в кинетической теории газов, и определяет путь, который проходит моль жидкости, прежде чем он перемешается с другими жидкими образования­ми и передаст свой импульс.

Допустив далее, что вертикальная и горизонтальная компоненты пульсационной скорости (u’_x и U'_y) являются величинами одного порядка,

Прандтль получил формулу для определения турбулентного напряжения в виде

²

du

dy

(

V

29)

У

где ¹_п - длина пути перемешивания.

Угловые скобки вокруг и, символизирующие операцию осреднения, для упрощения записи опущены.

Интересующиеся выводом формулы Прандтля, могут найти его в книгах: Аржаников Н.С., Мальцев В.Н. Аэродинамика. - М.: Изд-во обо­ронной промышл., 1956. - 483 с., либо Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. - М.: Наука, 1974. - 711 с.

На первый взгляд может показаться, что формула Прандтля не име­ет каких-либо существенных преимуществ по сравнению с формулой Бус- синеска, и единственным результатом является замена одной не поддаю­щейся вычислению величины г другой 1_п. Однако это не так, поскольку величину 1_п оценить значительно проще, чем г В частности, 1_п не может быть больше размера канала и должна стремиться к нулю вблизи твердой стенки (поперечное движение у стенки невозможно).

2. Однопараметрические модели турбулентности

В алгебраических моделях турбулентная вязкость определяется ал­гебраической формулой, содержащей параметры потока, расстояние до стенки и т.д. В дифференциальных моделях для турбулентных характери­стик (таких, как турбулентная вязкость, кинетическая энергия турбулент­ности и др.) записываются уравнения переноса.

Типичное уравнение переноса может быть записано в следующей форме:

Конвекция = Диффузия + Г енерация - Диссипация

Движение любой физической величины в потоке жидкости или газа может быть описано при помощи уравнения переноса. Сложность состоит в конкретизации членов, стоящих в правой части. Так, например, что урав­нения Навье-Стокса - это типичные уравнения переноса, градиент давле­

ния в них является генерационным членом. Искусство построения диффе­ренциальных моделей состоит, во-первых, в выборе переменных, для кото­рых записываются уравнения, а во-вторых, в удачном моделировании чле­нов в правой части.

Дифференциальные модели свободны от основных недостатков, ха­рактерных для алгебраических моделей:

1. Они легко применимы к течениям в областях сложной геометрии (по крайней мере, при этом не возникает технических трудностей)

2. В них нет необходимости использовать параметры, характерные для пограничных слоев.

3. Они имеют «эффекты памяти» за счет конвективных и диффузи­онных членов в уравнениях переноса.

За эти достоинства приходится расплачиваться численным решением дополнительных уравнений, причем эти уравнения могут быть гораздо бо­лее сложными с вычислительной точки зрения, чем уравнения Навье- Стокса.

Дифференциальные модели принято классифицировать по количе­ству уравнений переноса, входящих в них. Соответственно, наиболее про­стыми (с точки зрения количества уравнений) дифференциальными моде­лями являются модели с одним уравнением.

Модели с одним уравнением (как и алгебраические модели) служат для вычисления турбулентной вязкости и, как правило, не приспособлены для создания на их основе нелинейных моделей и моделей Рейнольдсовых напряжений (о причинах этого, а также об исключениях - несколько поз­же).

Модели с одним дифференциальным уравнением можно разделить на две категории.

В моделях первой категории дифференциальное уравнение записано относительно турбулентной вязкости (или величины, напрямую связанной с ней), а в моделях второй категории - относительно других характеристик турбулентности.

С точки зрения «строгой» статистической науки турбулентная вяз­кость не является характеристикой турбулентности, как статистического явления. Поэтому построение моделей относительно турбулентной вязко­сти не очень корректно. С другой стороны, расчет турбулентной вязкости - это основной результат, который должна обеспечить модель турбулентно­сти, использующая гипотезу Буссинеска. Если записывать уравнение пере­носа относительно других характеристик турбулентности, то необходимо привлечение неких алгебраических замыкающих соотношений для вычис­ления турбулентной вязкости (которые оказываются не универсальными), что заметно сужает область применимости модели и ее качество.

Кроме того, в случае определения только турбулентной вязкости не

2

удается использовать полную гипотезу Буссинеска —ujij — 2 v _tS_tj — - к 8^, а приходится довольствоваться ее упрощением —JUJUJ — 2 v _tS _t j.

Опыт построения дифференциальных моделей с одним уравнением показал, что на практике модели относительно турбулентной вязкости предпочтительнее, чем другие модели. Наиболее удачные модели этой группы - это модели Спаларта-Аллмареса и Секундова.

Примеры однопараметрических моделей турбулентности

Модель Колмогорова-Прандтля.

Чтобы преодолеть ограниченность гипотезы пути смешения и алгеб­раических моделей вообще, были разработаны модели турбулентности, позволяющие учитывать перенос турбулентности путем решения диффе­ренциального уравнения для этого переноса. По мнению Роди, в создании таких моделей был сделан важный шаг, когда, отказавшись от прямой свя­зи между градиентами скоростей осредненного течения и характерным масштабом скорости v, последний стали определять из уравнения перено­са. С физической точки зрения, для этой величины наиболее подходящим оказывается масштаб Vk, где k - энергия турбулентных пульсаций (точнее ее плотность). Если такой масштаб использовать для коэффициента турбу­лентной вязкости, то получается выражение Колмогорова-Прандтля:

v_t — CpVkL

Точное уравнение для энергии турбулентности можно вывести из уравнения Навье-Стокса.

Производная энергии турбулентности уравновешивается членами, отвечающими за конвективный перенос за счет осредненного движения; диффузионный перенос, обусловленный пульсациями скорости и давле­ния; за генерацию энергии, вызванную взаимодействием напряжений Рей­нольдса и градиентов средней скорости, и вязкую диссипацию энергии в тепло. В случае равенства P и ss имеем частный случай локального равно­весия турбулентности.

Чтобы получить замкнутую систему уравнений, обычно вводят сле­дующие соотношения для диффузионного и диссипативного членов:

• -Sjk^{uuuuu —} S^JF ^— ^-,⁽¹)

c_Dk^3/2

z_s— ,( 2 )

Соотношение 1 учитывает предположение о градиентном характере диффузионного переноса, а 2 - концепцию Колмогорова о том, что при больших числах Рейнольдса количество диссипированной турбулентной

д и

дк _ дк

дк

(v+Vt)

+ v_t

dxj

О_к/ дХ;

'] J

энергии определяется энергосодержащим движением. С учетом соотноше­ний 1 и 2 уравнение для к записывается в виде

к³/

,, дил ди,

^;+-r^UM-c_B — (3)

3xj dxj J dx_t

Это одна из форм записи уравнения переноса турбулентной энергии, соответствующая большим числам Рейнольдса. Значения эмпирических констант выбраны равными и , используя данные ис­

следований Эммонса (1954) и Глушко (1965). Следует отметить, что ис­тинная скорость диссипации турбулентной энергии s очень близка при больших числах Рейнольдса к рассчитываемой в 2 s_s. Кинематическая вих­ревая вязкость выражается как

v_t — к ^1/2L — C_Dk²/s (4)

Выражение Колмогорова-Прандтля 2 и диссипативный член уравне­ния для k (3) содержат линейный масштаб L, который должен быть задан для замыкания моделей турбулентности. В слоях со сдвигом масштаб L можно определить при помощи простых эмпирических соотношений, по­добных выражениям для пути смешения lm. Вольфштейн (1967) обнару­жил, что с помощью введения демпфирующих множителей в диссипации и вихревой вязкости, подобных множителю Ван-Дриста, можно улучшить прогнозирование характеристик низкорейнольдсовых течений.

Модель переноса турбулентной энергии позволяет учитывать кон­вективный и диффузионный перенос и предысторию процесса, и поэтому в случаях, когда эти факторы играют важную роль, она оказывается предпо­чтительной по сравнению с гипотезой пути смешения. Примерами могут служить течения, в которых перенос тепла или массы происходит через плоскость, где 5u/5y = 0, или неравновесные пограничные слои. В модели уравнения энергии турбулентная вязкость предполагается изотропной. Од­нако это приближение может быть довольно грубым. Оно не подходит для описания наблюдавшейся экспериментально турбулентности, порождае­мой во вторичных течениях в некруговых каналах.

Уравнение для турбулентного трения

Брэдшоу, Феррис, Атвелл (1967) сформулировали модель с одним уравнением на основании предположения о том, что отношение рейнольд- совых напряжений к энергии турбулентных пульсаций k есть величина постоянная. Измерения Таунсенда (1976) показали для пограничных слоев, следов и слоев смешения, что отношение указанных характеристик одина­ково и задается как

т_ху « р , к, р_г — 0 , 3 , (5)

Константа известна как константа Брэдшоу или, иногда, как кон­станта Таунсенда (см. Вилкокса [ 5 ]). Сконструированное на основе соот­ношения (5) уравнение для турбулентного трения записывается как

(т^с)^3/2

-2 “i V , ( 6 )

max

2а₁ t ^tG it.

dy) dy dy

где а1=0,15, L = 8p (V), G = G (V),ф и G - эмпирические функции.

При этом используется обозначение

Приемлемость модели Брэдшоу-Атвелла-Ферриса для пограничных слоев без градиента давления оценивается выше, чем известных алгебраи­ческих моделей турбулентности. Для течений с положительным градиен­том давления прогнозы близко соотносятся с результатами расчетов по другим тестируемым моделям на Стенфордской конференции 1968г. Уравнение для турбулентной вязкости

Модель с одним уравнением можно сформулировать, основываясь на других уравнениях, нежели уравнение для энергии турбулентных пульса­ций. Коважный (1968), например, предложили феноменологическое урав­нение переноса для кинематической турбулентной вязкости v_t . Уравнение содержало члены, подобные членам уравнения (3). Модель имела четыре константы и требовала априорного задания масштаба турбулентности. Се- кундов (1971) развил подобную модель, которая в версии 1992г известна как модель Гуляева, Козлова и Секундова или модель v _t-92. Эта модель обеспечивает вполне удовлетворительное описание не только большинства канонических сдвиговых течений (плоская и осесимметричная струя, слои смешения в несжимаемой и сжимаемой жидкости, пограничный слой на плоской пластине при отсутствии и при наличии шероховатости поверхно­сти и др.), но и ряда более сложных течений, представляющих практиче­ский интерес.

Применительно к ТПС модель (1971) записывается в следующем ви­де:

( д д \ dv_x д

(.^3* +^ЭуТ = ² “i ^Т IV^-dv

	д v с
+ а v t	ду

г м л ^{dVt (}XVt + v⁾

d

Vt⁽P Vt+V)

у—p—,^{( 7)}

ду_г ду_г д

^Vxcldx^+Vvldy=dy

y

где s² = s² = 0 , 4 s _oh_s + 0,004/ij, so-расстояние от стенки, h_s - размер шероховатости стенки, %=2, у=50, р=0,06, а = 0, 2 p (^), p = (v² +

) ( ).

Болдуин и Барч (1990), Спалларт и Аллмарес (1992) вывели более сложные модельные уравнения для вихревой вязкости. Модель Болдуина- Барча, например, включает семь коэффициентов замыкания и три эмпири­ческих

демпфирующих функции. Модель Спалларта-Аллмареса SA включа­ет в себя восемь коэффициентов замыкания и три замыкающих функции. По своей форме SA близка к модели -92 и конструировалась прежде все­го для задач внешней дозвуковой аэродинамики. В результате модельное уравнение переноса турбулентной вязкости оказалось заметно проще, чем

в модели -92. Следуя Вилкоксу, имеем выражение для кинематической вихревой вязкости Vt = vfv 1(8)

Уравнение для вихревой вязкости записывается как

i.j

C,f - коэффициенты замыкания и вспомогательные функции.

Опыт эксплуатации модели SA показал, что ее реальные возможно- сти заметно шире, чем предполагалось при ее создании. Более того, после введения в нее поправок на кривизну линий тока и вращение, границы ее применимости модели заметно расширились.

Обнаружено, что предсказанный с помощью SA коэффициент трения так же близко соответствует измеренным величинам, как и алгебраическая модель Болдуина-Ломакса.

Известно, что задача об обтекании обращенной назад ступеньки яв- ляется весьма популярным тестом для анализа моделей турбулентности. На рис. 1 показана схема одного из экспериментов, выполненных Драйве-

ром и Сигмюллером (1985).

₊ CJ^

одхъ

dxi

d v

Рис. 1.

Важным свойством рассматриваемого типа течения является то, что точка отрыва оказывается фиксированной в острой кромке ступенчатого канала. Гораздо сложнее прогнозировать течения с априори неизвестной точкой отрыва.

На рис. 2 сравниваются расчетные и измеренные коэффициенты тре­ния вдоль нижней стенки канала при нулевом отклонении верхней стенки от направления потока. Модель SA предсказывает длину отрывной зоны, измеренную в долях высоты ступеньки, равной 6.1. Он лишь на 2% отли-

dv

d v

Id

adxi

( v + v)

= c„iSv - c_u 1 f

+

~ш+^и>ш

чается от экспериментальной величины 6.2H. При угле отклонения 6 мо­дель предсказывает длину циркуляционной зоны в 8.6H, что на 6% отлича­ется от измеренной величины 8.1Н.

Рис. 2.

Таким образом, модель SA является удовлетворительной для многих инженерных приложений. В особенности она применима для расчета обте­кания профилей и крыльев, для которых она была калибрована. В то же время, ее приемлемость для струйных задач менее убедительна. Показано (1997), что прогнозы коэффициента расширения осесимметричной затоп­ленной струи по указанной модели вдвое отличаются от данных измере­ний.

Резюмируя, следует отметить, что рассмотренный класс моделей с одним дифференциальным уравнением обладает большей приемлемостью к описанию турбулентных течений с учетом сжимаемости, переходных яв­лений, кривизны линий тока и отрыва потока. Однако объектами их при­ложения, как правило, являются простые конфигурации потоков с мини­мальным набором структурных элементов. Как и в случае алгебраических моделей, сильна привязка к калибровочным типам течений.

Снять указанные ограничения можно, например, при определении масштаба турбулентности как зависимой переменной, т.е. в рамках двух- и многопараметрических моделей турбулентности.

Модель Спаларта-Аллмареса.

На примере этой модели разберем принципы и технологию построе­ния современных моделей турбулентности. Модель строится последова­тельно, при этом на каждом следующем шаге расширяется набор течений, для которых она пригодна.

1. Свободная турбулентность (отсутствует влияние стенок).

Будем считать, что диссипация турбулентной вязкости происходит за счет влияния стенок. Кроме того, в свободной турбулентности при высо­ких числах Рейнольдса турбулентный перенос существенно превышает молекулярный, поэтому можно пренебречь молекулярной вязкостью.

Тогда уравнение переноса несколько упрощается:

КОНВЕКЦИЯ = ГЕНЕРАЦИЯ + ТУРБ. ДИФФУЗИЯ.

Генерация в свободных сдвиговых течениях пропорциональна дU/ду [1/е].

Поскольку левая часть уравнения переноса турбулентной вязкости

2 2

имеет размерность [м /с ], генерация (из соображений размерности) долж­на быть пропорциональна v_t^. Для сохранения тензорной инвариантно­сти производная скорости должна быть заменена на тензорный инвариант (либо S, либо ю). Изначально использовалась величина Sv_t . В процессе разработки модели оказалось, что в задачах внешней аэродинамики (для которых разрабатывалась эта модель) в окрестности лобовой точки wv_t предпочтительнее чем Svt. Поэтому в качестве генерационного члена ис­пользовалась именно wv_t, хотя в обозначениях осталось S.

Dv_t

—— = C_blSv_t Dt

Вырождение однородной изотропной турбулентности (v_f~/-0.2) не годится для калибровки константы, поскольку S=0. Поэтому калибровка проводилась на задаче вырождения турбулентности в поле однородного сдвига. Эксперимент и DNS дают значения 0.1-0.16, калибровка Спаларта

• 0.13-0.14, однако в некоторых моделях (Секундов, Болдуин-Барс) значе­ние этой константы достигает 0.2.

Диффузия. Классический оператор сохраняет интеграл от V (~^)

турбулентной вязкости. Однако это не обязательно, поскольку турбулент­ная вязкость не сохраняется по объему, как энергия. Авторами предложен вариант, сохраняющий v_t^1+Cb2. Можно показать, что в этом случае течения, в которых конвекция отрицательна, считаются плохо (например, круглая струя).

D v 1

• = С_ь ! 5 Vt+-(^[V(y tVvt)] + C_{b 2}[( Vvt)(Vvt)])

Калибровка констант проводилась на свободных сдвиговых течени­ях. В силу специфики модели (внешние течения) предпочтение было отда­но дальнему следу, поскольку при калибровке (в силу различий в структу­ре турбулентности между разными свободными сдвиговыми течениями) возникает конфликт. Так, при выбранных авторами константах коэффици­ент расширения плоской струи завышен на 38%. В результате калибровки

2

был выбран следующий набор констант а = С_ь± = 0, 1 3 5 5, С_ь2 = 0, 6 2 2

2. Пристенные высокорейнольдсовые течения (от логарифмической области и далее).

В этой области потока молекулярная вязкость также мала по сравне­нию с

турбулентной, но добавляется диссипативный член, который отвеча­ет за подавление турбулентности при приближении к стенке.

3. Пристенные низкорейнольдсовые течения (от логарифмической области к стенке).

Есть два пути решения проблемы:

1. Ввести в уравнения дополнительные множители или слагаемые, в результате чего необходимая величина турбулентной вязкости станет ре­шением дифференциального уравнения. Этот подход приводит к тому, что уравнения становятся гораздо хуже с вычислительной точки зрения.

2. Оставить уравнение «как есть» для некоторой переменной v, а по ее значению пересчитывать турбулентную вязкость. Именно этот подход применен в модели Спаларта-Аллмареса. Кроме того, оказалось, что в вяз­ком подслое и переходной области необходимо увеличить генерацию тур­булентности.

4. Ламинарно-турбулентный переход.

1. Проблема описания перехода

Как правило, ламинарно-турбулентный переход развивается по сле­дующему сценарию. Ламинарное течение становится неустойчивым. С этого момента возмущения определенного типа начинают постепенно нарастать. Когда амплитуда возмущений достигает определенного уровня, турбулентный перенос становится соизмеримым с молекулярным, что приводит к перестройке профилей скорости. Процесс перестройки профи­ля также занимает определенное время, за которое поток успевает пройти некоторое расстояние. Эта область называется областью перехода. Обычно область перехода не

очень протяженная, поэтому принято говорить о точке перехода. Ис­ходя из

вышеизложенного сценария положение точки перехода определяется следующим факторами:

1. Положением точки потери устойчивости

2. Начальной амплитудой возмущений

3. Скоростью роста этих возмущений

Очевидно, что на эти факторы могут существенно влиять различные внешние воздействия такие как

1. Уровень внешней турбулентности.

2. Градиенты давления и отрывы

3. Эффекты сжимаемости (чисел Маха)

4. Влияние линейного масштаба турбулентности (характерных ли­нейных масштабов внешних возмущений)

5. Шероховатость

6. Эффекты кривизны

С точки зрения описания турбулентности в рамках RANS, любая дифференциальная модель турбулентности при низком уровне турбулент­ности во внешнем потоке практически всегда имеет два решения, одно из которых практически ламинарное (с очень низкой турбулентной вязко­стью), а второе турбулентное. Так, в рассматриваемой модели Спаларта- Аллмареса величина v входит множителем во все слагаемые в правой ча­сти. Поэтому это уравнение всегда имеет тривиальное (нулевое) решение. Таким образом, расчет ламинарных течений при «включенной» модели не составляет трудностей.

Проблема описания перехода в рамках RANS состоит в «перескоке» с одной ветки решения на другую и является одной из наиболее трудно моделируемых проблем. Саму проблему можно разделить на две части.

1. Определение места перехода (где?)

2. Осуществление самого перехода (как?)

В большинстве задач переход происходит в пограничном слое, по­этому, как правило, задача сводится к определению точки перехода в по­граничном слое. В пограничном слое принято выделять естественный, байпасный и вынужденный переход. В первом случае, характерном для за­дач внешнего обтекания переход происходит за счет естественного разви­тия возмущений в неустойчивом ламинарном пограничном слое. Во вто­ром, характерном для внутренних задач, в неустойчивый пограничный слой вносятся возмущения с внешней границы пограничного слоя. При этом переход происходит несколько раньше, чем в случае естественного перехода. Наконец, при вынужденном переходе в неустойчивый погранич­ный слой вносятся возмущения при помощи турбулизаторов (нитка, буго­рок, шероховатость), что обычно приводит к немедленной его турбулиза- ции.

Определение точки перехода

1. Предписанный переход. Точка перехода определяется из общих соображений или из эксперимента. Тем более, что в экспериментах часто используются турбулизаторы.

2. Спонтанный переход. Можно попробовать построить такие демп­фирующие функции в низкорейнольдсовой модели турбулентности, чтобы спонтанный переход осуществлялся в правильном месте.

3. Определение точки перехода из свойств пограничного слоя. Один из подобных подходов был разработан Drila, он требует интегрирования характеристик пограничного слоя вдоль поверхности и на основе этих ин­тегралов определяется точка перехода.

Окончательная формулировка модели

В итоге, с учетом всех поправок модель Спаларта-Аллмареса приоб­ретает следующий вид.

Дифференциальное уравнение в этой модели составлено относитель­но v.

^ = ¹ ([V((U + v)Vv] + C„ 2 [(Vtf)(Vi5)]) + C„ i( 1 - f_t 2 )Sv

-^{( C}« ^fw^-^^f_t2 ⁾⁽J⁾²+^f_t , Д U²

Константы модели:

2. Ch i ( 1 + Ch 2 )

^{a =} 2'^{k =} °'⁴¹'^{Cbl =} °'¹³⁵⁵'^Cb2 = °'⁶²²' ^Cwi=-^+ _g , C_w2

• 0,3, C_w3 = 2, = 7,1, C_tl = 1, C_t2 — 2, C_t3 = 1,2, C_t4 = 0,5.

Граничные условия

Часто при решении различных задач необходимо поставить гранич­ное условие для турбулентной вязкости во внешнем потоке. Этот внешний

поток, как правило, характеризуется уровнем турбулентности Г_и = —. Для

Ue

задач внешней аэродинамики эта величина очень мала, для внутренних за­дач существенно зависит от предыстории потока.

Эта величина позволяет определить кинетическую энергию k, но не турбулентную вязкость v_t .

Принято делить внешний поток на "ламинарный" и "турбулентный". В первом случае, как правило, задают заведомо низкий уровень турбу­лентной вязкости, например,v_t=10^- . Во втором - уровень достаточный для турбулизации пристенных пограничных слоев. Этот уровень зависит от используемого кода, сетки и т.п. и меняется в пределах v_t=[1-10]v . Часто пользуются "научным" способом постановки граничных условий ^

но следует помнить, что этот способ имеет реальный смысл только в пре­дельных случаях - "ламинарном" и "турбулентном".

3. Двухпараметрические к — s модели турбулентности Модели с двумя дифференциальными уравнениями

Модели турбулентности с двумя дифференциальными уравнениями являются наиболее представительной группой дифференциальных моде­лей. Первая модель такого типа была предложена в классической работе Колмогорова (1942). Эта модель содержит уравнения переноса кинетиче­ской энергии турбулентности и удельной (в единице объема) скорости диссипации энергии и, по современной терминологии, может быть отне­сена к моделям типа /с — со. Иногда (см. Лаундера-Сполдинга (1974)) о² определяют как осредненный квадрат пульсаций завихренности. Ее раз­мерность - ( ) . Она связывается с и соотношением

£

где

д и • д и • £ = v • —.

uXfc dXfc

Интенсивное развитие моделей с двумя уравнениями и их внедрение в расчетную практику началось гораздо позже: в конце 60-х - начале 70-х годов. При этом все развитые модели, так же как и модель Колмогорова, используют в качестве одного из уравнений уравнение переноса . Причи­ной применения этого уравнения является то, что оно строго следует из уравнений Навье-Стокса, а также то, что для его замыкания необходимо промоделировать только два члена: диффузионный и диссипативный. Вы­бор второго уравнения в модели с двумя дифференциальными уравнения­ми неоднозначен и обусловливается в конечном счете необходимостью определения дополнительной к характеристики турбулентности для рас­чета турбулентной вязкости из алгебраических соотношений. Следует под­черкнуть, что наибольшее распространение получили два типа моделей: уже упоминавшиеся модели типа и модели типа .

Модели с одним уравнением для кинетической энергии турбулент­ности оказались низкого качества из-за привлечения дополнительных не­универсальных алгебраических соотношений для диссипации. Наиболее естественный путь развития - построение второго дифференциального уравнения для диссипации.

На самом деле вторая переменная может быть любой, важно, чтобы можно было построить замыкающее соотношение, связывающее турбу­лентную вязкость с кинетической энергией турбулентности и этой пере­менной. И действительно, существует огромное количество моделей с раз­ными переменными для второго уравнения (примеры: модели). Одной из последних разработок является разработанная Менте- ром модель к — VkI , однако опыт ее использования еще недостаточен.

Тем не менее, опыт использования разных моделей показал, что вы­бор второй переменной заметно влияет на свойства модели. Во-первых, переменная для второго уравнения не должна очень сильно меняться, ина­че эти уравнения будут трудны для численного решения. Во-вторых, для этой переменной необходимо ставить граничные условия, поэтому надо иметь четкое представление, какие значения она должна принимать на стенке, во внешнем потоке с заданным уровнем турбулентности и т.д. И, наконец, немаловажным для качества модели является количество "вло­женного труда", поскольку для калибровки требуется проведение значи­тельного количество расчетов различных течений.

В настоящий момент наиболее продвинутыми и часто используемы­ми являются два типа моделей с двумя уравнениями: и . Оста­

новимся на них подробнее.

Модели типа к — г

Не так давно - модель являлась наиболее популярной моделью турбулентности. Первые усилия по ее разработке были предприняты Чоу (1945), Давыдовым (1961), Харлоу и Накаямой (1968). Однако центральной работой в этом направлении была статья Лаундера - Джонса (1972), полу­чившая дальнейшее развитие и обобщение в исследованиях Лаундера-

Сполдинга и Лаундера-Шармы (1972,1974). Сформировалось понятие стандартной к — £ - модели, построенной в предположении о реализации полностью развитых турбулентных течений при больших турбулентных числах Рейнольдса R е_t — о ■

В 70-х - 80-х годах появилось целое семейство к — £ - моделей (см., например, Лаундер-Приддин-Шарма (1977), Лэм-Бремхерст (1981), Чен (1982) и др.). В результате достигнут существенный прогресс в расчетах различных типов течений, в том числе сдвиговых турбулентных. Это по­служило основанием для включения моделей типа к — £ во все вычисли­тельные программы, а также в коммерческие пакеты , предназначенные для решения широкого круга задач прикладной аэродинамики и теплооб­мена (PHOENICS, FIRE, FLUENT, FLOW3D, STAR CD и ряд других).

Суммируя уравнения для энергии турбулентных пульсаций, скорости диссипации турбулентной энергии, выражения для кинематической турбу­лентной вязкости и записывая комплект стандартных констант, представим стандартную к — £ - модель:

v_t\ дк

d щ dxj U

дх^ ^{Ce 2} к

(v + Ot

V Ok.

^(v + oj d x,

+ *ij

(J_kJdx_]] \ ds

+ ci it ij — — c8 2— ( 6 ■ 8 )

dt ' ~"^J dxj dxj

ds _ ds d т;—Ъ щ

dt ' ^J dxj dxj

дк _ дк ——Ъ и

v_t ^cti = °-⁰⁹; ^cei = 1-Л4; c_e2 = 1,92; a_k = 1; о_E = 1,3.

Недавняя версия к — £ -модели предложена Якхотом и Орзагом (1986) на основе техники, заимствованной из теории ренормализованных групп, и известна как RNG к — £ -модель. Уравнения для характеристик турбулентности и выражения для вихревой вязкости берутся такими же, как для стандартной -модели. Однако модельная константа опре­деляется как функция

,^cj*^{S( 1 —} ^^/^а) ,_^к [Z~T

С^{8 2 c 2}+ 1+рХ³ ’ ^A-£^^2bijbji

Константы замыкания для RNG к — £ -модели: c ^ — О ’ О 8 5; c_{8 ±} — 1 ’ 4 2; c_{8 2} — 1 ’ 6 8 ; а_к — О ’ 12; а₈ — О ’ 12; Р — О ’ О 12;

Яд — 4,38.

Высокорейнольдсовые версии модели

В литературе принято два способа получения уравнения для изо­тропной диссипации

d U • d U i £ = v • —.

uXfc dXfc

Во-первых, это уравнение можно вывести из уравнений Навье- Стокса при помощи процедуры осреднения по Рейнольдсу. Это уравнение будет содержать различные корреляции, которые невозможно определить через осредненные параметры потока. Естественно, в этом случае потре­

буются некоторые дополнительные предположения для моделирования членов полученного уравнения.

С другой стороны, можно записать уравнение переноса для и пред­положить, что генерация и диссипация пропорциональны аналогичным величинам для .

Так или иначе, оба пути приводят к так называемой стандартной (высокорейнольдсовой) модели, предложенной Spalding, Launder в 1972 году.

Ж

+ Р_к ~ £,

2

^—’{⁽Ч-%)^П)

h’i)^r,V^c4^rk-^c‘j'

2

Рк = v_TS² = -т.

Щ

"^ij dU/ £²

^vt-C„_T

Подбор констант был выполнен на основе струйных течений (и зави- к²

симости С₂ — С_г —).

^аС Ц

С_д = 0,09; С_г = 1,44; С₂ = 1,92; о_к = 1; о_£ = 1,3.

Существуют и другие, несколько менее известные, высокорейнольд- совые версии модели. Так, например, Yakhot, Orszag в 1986 году восполь­зовались теорией ренормгрупп (renormalization group, RNG) и создали RNG версию модели. Эта версия несколько отличается от стандартной модели коэффициентами.

Однако все высокорейнольдсовые модели абсолютно непригодны для расчета пристенных течений, поскольку никак не учитывают влияние стенки на турбулентность. Существует два подхода к решению этой про­блемы: использование пристенных функций или создание низкорейнольд- совых версий модели. Выбор подхода в значительной степени связан с ис­пользуемой сеткой.

Генерация турбулентности

Рассмотрим генерационный член в уравнении для кинетической энергии турбулентности (полученном из уравнений Навье-Стокса путем осреднения по Рейнольдсу с учетом обобщенной гипотезы Буссинеска)

₂

Рк = v_TS² = -т.

Щ

^ 'Г. .

^lJ dui

Видно, что генерация турбулентности зависит от деформации S.

С другой стороны, в простейших сдвиговых течениях S — П — j^,

поэтому в них нет никакой разницы между и . Однако в некоторых си­туациях замена на приводит к существенному изменению свойств мо­

дели. Одной из таких ситуаций является течение в окрестности критиче­ской точки крылового профиля, где S » П . При использовании деформа­ции в генерационном члене происходит сильная генерация турбулентной вязкости в этой области, что не согласуется с экспериментом.

Особенно сильно это свойство проявляется в моделях с одним диф­ференциальным уравнением Именно по этому в модели Спаларта- Аллмареса, разрабатывавшейся для задач внешней аэродинамики, генера­ционный член пропорционален завихренности . Правда, это несколько ухудшает свойства модели в некоторых других течениях (в частности с кривизной линий тока и вращением), но эти проблемы решаются при ис­пользовании соответствующей поправки.

Для к — £ моделей существует модификация Kato, Launder, 1993, в которой по следам модели Спаларта-Алламереса используется измененное выражения для генерации вместо .

Низкорейнольдсовые версии к — £ моделей Высокорейнольдсовые версии моделей не приспособлены для расчета пристенных течений, поскольку вблизи стенки локальное турбу­лентное число Рейнольдса мало. Для расчета пристенных течений исполь­зуются либо низкорейнольдсовые модели, либо пристенные функции.

В низкорейнольдсовых моделях в уравнения вводятся дополнитель­ные функции, отвечающих за влияние стенок на турбулентность (в некото­ром роде эти функции являются аналогом демпфирующей функции Ван- Дриста). В общем случае большинство низкорейнольдсовых моделей могут быть записаны следующим образом

^VT — £ ■

Основное отличие низкорейнольсовой версии от высокорейнольдсо- вой состоит в модификации диссипации. Легко показать, что около стенки

д²к

£ — V • V • ( Vk) — V • —~гг^

ду²

Однако постановка такого граничного условия не очень хороша с вычислительной точки зрения, поскольку приводит к существенной до­полнительной нелинейности. Поэтому вводят специальную функцию f_k, которая удовлетворяет на стенке условию

д²к

^{h = v}'a^‘

и постепенно падает до 0 при удалении от стенки.

Диссипацию представляют в виде e = e + f_k и второе уравнение за­писывают относительно е. Поскольку e и e отличаются около стенки, в уравнение для e вводится дополнительное слагаемое f, которое перестает оказывать влияние вдалеке от стенок. Следует отметить, что часто «волну» не пишут.

Кроме того, в модель введены демпфирующие функции f₂ и f, ко­торые предназначены непосредственно для учета влияния стенки. Как и в моделях с одним уравнением для описания влияния стенок необходим ли­нейный масштаб. Существует два различных подхода к определению ли­нейного масштаба при построении подобных функций.

В рамках одного подхода в качестве линейного масштаба использу­ется расстояние до стенки, во втором подходе линейный масштаб строится без использования расстоянии до стенки на основе производных скорости

(типа формулы Кармана) или на основе турбулентных характеристик

2

(например, турбулентное число Рейнольдса Re_T = ^к /_ve).

Оба подхода имеют свои недостатки. Так, при использовании перво­го подхода возникает неопределенность в течениях сложной геометрии, а при использовании второго - функции могут по ошибке «включиться» и вдалеке от стенок.

Низкорейнольдсовых к — e моделей существует огромное количе­ство, наиболее удачными из них являются модели Chien (1982) и Launder, Sharma (1974).

Модель Чена построена на основе первого подхода

v*d

f_pL = l — exp(—C₃d⁺), d⁺=— ;

f 2 = (^ — 0 , 22 exp ( — (^^j )), Rет = ^k/ve.

2vk

^fk=~d^T]

2ve

^fe=~d²'.

С_ц = 0,09; С_г = 1,35; C₂ = 1,8; C₃ = 0,0115; C₄ = 0,5; a_k = 1; a_E = 1,3.

Модель Лаундера-Шармы построена на основе второго подхода.

^ ^{= еХр}{(ТШШТу)’ ^ReT = ^{k k/}ve.

f2 = ⁽^ — 0, 3 exp⁽—⁽Rет)²)); f_k = 2 v( VVk)( V Vk);

fe = — C₃ vvt[( VVV)( VVV)];

С^ = 0,09; С_г = 1,44; C₂ = 1,92; C₃ = 2; o_k = 1; o_£ = 1,3.

1. 1. 4 Требования к расчетной сетке

Общие требования к сетке сформулировать довольно легко: сетка должна быть достаточной для разрешения всех особенностей течения. Следует отметить, что при использовании схем различного порядка точно­сти требования к сетке могут меняться, поскольку диссипативные свойства схемы зависят от шага сетки.

В турбулентном пограничном слое непосредственно около стенки примерно до находится вязкий подслой. При использовании низко-

рейнольдсовых моделей турбулентности для правильного описания погра­ничного слоя первый от стенки узел сетки должен находиться в вязком подслое, а для точного описания коэффициента трения считается, что должно выполняться соотношение у£ < 1 (3-4 узла в подслое). Кроме то­го, нельзя слишком резко увеличивать шаг сетки (отношение соседних ша­гов не должно превышать 1.3), поскольку это приводит с заметной потере точности.

При использовании пристенных функций требования несколько дру­гие. Так, для классических пристенных функций первая точка должна находиться на логарифмическом участке профиля скорости, что, как пра­вило, приводит к требованию . В случае течений

сложной геометрии такому требованию довольно трудно удовлетворить.

Современные пристенные функции смягчают это требование, а предложенные Ментером автоматические пристенные функции переходят от пристенных функций к низкорейнольдсовым граничным условиям в за­висимости от шага сетки.

Пристенные функции

Идея пристенных функций состоит в том, что при постановке гра­ничных условий на стенке используется закон стенки. Это позволяет сформулировать граничные условия для уравнений для скорости вдоль стенки и турбулентных характеристик (для моделей типа это необхо­димо сделать и для и для ). Традиционно принято два подхода для по­становки граничных условий с помощью пристенных функций. В первом случае определяются потоки искомых величин через стенку и напрямую используются при решении уравнений методом конечных объемов. Во втором определяются значения этих величин в узлах на некотором рассто­янии от стенки. Выбор подхода в значительной степени определяется спо­собом решения уравнений (конечно-разностный или конечно-объемный), способом хранения данных (cell centred или vertex based), а также причи­нами субъективного характера. Многолетний опыт использования при­стенных функций показал, что первый подход несколько более универса­лен, чем второй.

Очевидно, что в ситуациях, когда закон стенки не выполняется, при­стенные функции не могут претендовать на правильное описание погра­ничного слоя.

Тем не менее, существует две веские причины использования при­стенных функций.

1. Для сложных задач очень трудно (а часто невозможно) построить сетку, удовлетворяющую критерию для низкорейнольдсовых моделей (у+ <2 ) и имеющую разумный размер.

2. Высокорейнольдсовые модели турбулентности с вычислительной точки зрения существенно проще, чем низкорейнольдсовые, поскольку уравнения для турбулентных характеристик существенно более линейные.

В основе пристенных функций лежат нижеследующие физические предположения для логарифмической области пограничного слоя ( ).

1. Логарифмический профиль скорости

( )

2. Формула Колмогорова

( )

3. Постоянство касательного напряжения

. ди ди

Р

( )

у² =^Т„ = ^Т = р⁽У + у^—~ pvt —

4. Гипотеза о локальном равновесии генерации и диссипации кине­тической энергии турбулентности

( )

Формулы (1) - (4) связывают 5 переменных (v*,v_t, £, k,и) и недоста­точны для постановки граничных условий.

При помощи несложных преобразований из (1) - (4) можно получить

( )

( )

( )

Вообще говоря, выражение (5) можно считать недостающей связью между искомыми 5 переменными, но оказывается, что его использование для замыкания не всегда является наиболее эффективным путем.

1. 2. 1 Пристенные функции для переменных

Этот подход чаще используется в vertex based программах и в насто­ящее время используется все реже. Рассмотрим детали его использования. Будем считать, что первый пристенный узел лежит на стенке, а второй - на логарифмическом участке профиля скорости. Использование выражений (1)-(7) возможно несколькими способами.

В классическом подходе (Spalding, Launder, 1972) это делается так.

1. Кинетическая энергия турбулентности к в узле 2 берется с преды­дущей итерации, по формуле (6) вычисляется v *.

2. Вычисляется у⁺ и и⁺ в узле 2, проверяется 3 0<у ⁺ < 1 0 0 , реша­ются уравнения движения (касательная составляющая решается от второго узла).

3. По формуле (7) вычисляется s в узле 2, решается уравнение для s от второго узла.

4. Решается уравнение для к с граничным условием — — 0 от перво-

го узла.

Однако это не единственный способ постановки граничных условий. Например, можно предположить, что первый и второй узлы лежат на лога­рифмическом участке профиля скорости. Тогда из двух уравнений типа (1) можно найти динамическую скорость и скорость в первом узле, а для тур­булентных характеристик найти значения по формулам (6)-(7).

Часто для улучшения сходимости алгоритма динамическая скорость определяется не из (6), а из комбинации соотношений (1) и (6) с предыду­щей итерации

киС^к¹/²

Для повышения точности при расчете потока вдоль стенки часто ис­пользуются интегральные значения вида (поскольку все величины в вяз­ком подслое и буферной области меняются нелинейно)

У

у о

При этом распределение скорости между узлами 1 и 2 полагается

/ _1_ _|_ ~ + уу ⁺<у

2

Недостатки пристенных функций для переменных

1. Жесткое требование к сетке в отношении координаты узла 2 ( 3 0<у ⁺ < 10 0 ).

2. Классический подход (Launder, Spalding, 1974) применим только для моделей, содержащих уравнение для кинетической энергии.

3. Падение динамической скорости в окрестности точки отрыва при­водит к падению теплового потока (что неверно)

F(y₊₎=£,_n№,₊) _{+ 9}(g-l)(g)

П

1/4

ристенные функции для потоков

Этот подход характерен для cell centered программ, но может быть и использован для vertex based. При этом подходе в пристенной ячейке ме­тодом конечных объемов решается уравнение, а граничные условия ста­вятся на потоки величин на стенку. Как и в случае граничных условий на переменные существует несколько реализаций. Так, например, в разрабо­танном на кафедре пакете SINF это сделано следующим образом:

1. В первом узле решается трансценденное уравнение для динамиче­ской скорости, вытекающее из (1)

к 7 У

v* 1 n⁽v* ⁾ = ₍

H^EV)

2. Решаются уравнения для газа с учетом потоков на стенке

Flux_p = 0;

Flux_u t_w,

Flux_v = 0.

3. Турбулентные характеристики определяются из соотношений (6) -

(7).

4. Температура вычисляется из соотношения (8).

Из всего многообразия пристенных функций наиболее универсаль­ными, по-видимому, являются автоматические пристенные функции, раз­работанные Ментером и реализованные в пакете CFX. Эти пристенные функции являются объединением аналитического решения в вязком под­слое и так называемых масштабируемых (scalable) пристенных функций (Grotjans, Menter, 1998), которые применимы для чрезвычайно широкого диапазона (на плоской пластине от «2).

Рисунок 21 - Использование автоматических пристенных функций для cell-centred (а) и vertexbased (b) алгоритмов. Кружками обозначены уз­лы, в которых хранятся данные.

Рассмотрим подробнее их использование на примере оригинальной k-ю модели (обобщить на случай к — £ не очень сложно). На рисунке 21 изображены примеры расчетных сеток для обоих рассматриваемых подхо-

дов. При помощи пристенных функций необходимо определить поток че­рез красную грань темной ячейки. При этом в рамках обоих подходов предполагается, что первый пристенный узел расположен на расстоянии А у от стенки (для vertex-based подхода это означает, что "жирная" линия на самом деле не является стенкой, а удалена от нее на А у).

1. С предыдущей итерации используются значения //_w и к_w в первом пристенном узле.

2. Вычисляются и *• и ⁺ и у ⁺ по формулам

3. Решаются уравнения движения. Потоки на стенке равны

Fu — pC_TU_w;

Fv = К',

и*

^Cr,log = ^+-

4. Р

   1

   

   3

   

   ешаются уравнение для турбулентных характеристик. Для удель­ной диссипации на стенке задается значение

А уравнение для кинетической энергии решается с граничным усло­вием

F_k = 0.

При этом в первом узле генерация считается по формуле

Развитие пристенных функций

Интенсивное использование пристенных функций в практических расчетах стимулирует дальнейшую их разработку. В основном модифика­ции касаются увеличения их области применимости, в них вводится учет влияние различных факторов (градиент давления, шероховатость и т.п.).

Одним из наиболее удачных примеров таких исследований являются разработки группы из UMSIT (B. Launder), которые были стимулированы заказом на разработку простого и работоспособного подхода для расчета течения в ядерном реакторе в условиях отказа. Этим, в значительной сте­пени, определяется направленность работ: тепловые задачи и задачи сво­бодной конвекции.

Исследования велись в двух направлениях: аналитическом и числен­ном. В первом случае были достигнуты значительные успехи в расчете существенно неизотермических течений. В частности, разработаны при­стенные функции для температуры и для уравнения движения с архимедо­выми силами.

Второй подход основан на введении вблизи стенки дополнительной сетки (30-40 узлов от первого до второго узла), на которой решается упро­щенная низкорейнольдсовая модель турбулентности. Утверждается, что затраты при этом в 1.5-2 раза выше, чем у стандартных пристенных функ­ций, и на порядок ниже, чем для низкорейнольдсовых моделей. Точность расчета при этом не хуже, чем у низкорейнольдсовых моделей.

Гибридные модели

Успех моделей для свободной турбулентности и алгебраиче­

ских моделей для пограничных слоев естественным образом привел к по­пыткам создания гибридных моделей (иногда называемых зональные или двухслойные). В этих моделях вблизи стенки используется алгебраическая модель турбулентности, а вдали от них - дифференциальная.

Препятствием к обширному распространению таких моделей послу­жили следующие обстоятельства.

1. Довольно трудно автоматизировать определение положения гра­ницы между областями, в которых используются разные модели. В случае простых течений это можно сделать «вручную», однако для более слож­ных течений это сделать невозможно. Например - сочленение крыла и фю­зеляжа самолета.

2. На границе между областями необходимо задать граничные усло­вия для турбулентных характеристик. Это требует привлечения дополни­тельных гипотез для алгебраических моделей (которые могут, вообще го­воря, не выполняться).

3. Для использования алгебраических моделей необходимо опреде­лить характеристики пограничного слоя, что не всегда просто, поскольку скорость во внешнем потоке может быть непостоянна.

4. Пристенное течение может оказаться довольно далеким от разви­того пограничного слоя, в этом случае алгебраические модели абсолютно непригодны.

Тем не менее, в некоторых коммерческих кодах такие модели вполне успешно используются.

Иногда в рамках гибридных моделей сочетаются различные диффе­ренциальные модели. Так, в пакете Fluent при использовании стандартной к — s модели вблизи стенки можно использовать модель Wolfstein с одним уравнением для

Достоинства и недостатки моделей типа к — s

К достоинствам моделей этого типа можно отнести расчет свобод­ных сдвиговых течений. Кроме того, по этим моделям накоплен огромный опыт расчетов, они хорошо исследованы и есть в большинстве коммерче­ских программ.

Опыт эксплуатации к — s моделей показал, что при расчете погра­ничных слоев с положительным (неблагоприятным) градиентом давление все модели этого типа склонны к завышению генерации кинетической энергии турбулентности, что приводит к принципиально неправильному описанию таких течений. Этот недостаток является очень серьезным, по­скольку делает практически невозможным правильный расчет течений с отрывом с гладкой поверхности.

С уществует несколько попыток модификации для устранения этого недостатка, однако такие модели не получили широкого применения.

Применение пристенных функций, основанных на законе стенки, приводит к ошибкам при расчете отрывных течений и течений в областях сложной геометрии.

Для низкорейнольдсовых версий модели свойственны вычислитель­ные проблемы, связанные с сильной нелинейностью демпфирующих функций.

В целом эти модели, будучи безусловными лидерами среди диффе­ренциальных моделей в 80-е годы, заметно уступили свои позиции моде­лям с одним уравнением и моделям типа .

Модели типа к — ш

Величину ю принято называть удельной диссипацией. Как правило, она связана с кинетической энергией турбулентности и изотропной дисси­пацией соотношением

£ = С^ка).

Впервые комбинацию уравнений для к и о предложил Колмогоров в 1942 году, однако его уравнения нельзя считать моделью турбулентности в современном понимании этого слова. Активным продвижением к — о. мо­делей (уже как инструмента для расчета турбулентных течений) занимался Уилкокс, ему принадлежит целый ряд моделей, в частности модель Уил- кокса-Рубезина. Наиболее простой является так называемая высокорей- нольдсовая модель Уилкокса (Wilcox, 1988).

Высокорейнольдсовая модель Уилкокса.

Даже высокорейнольдсовая версия хорошо описывает пристенные течения, не имеет проблем с градиентом давления.

p ТГ = V ' (⁽И- + JkH-т) V k) + Pk— p Р* о к, ^ut

А-,) /■ >. Cl) „

p-=V-(⁽n + а_ш^т) Vo) + a — Pk — p (Jo².

Здесь:

рк

li_T =

(О

Константы модели:

5

a = /Г = 0,09; a_k = 0,5; о_ш = 0,5; /? = 0,075.

Однако при использовании этой модели возникают проблемы при расчете струйных течений. Основная проблема состоит в чрезвычайной чувствительности к граничным условиям во внешнем потоке (что особенно видно в свободных сдвиговых течениях, см. таблицу).

Течение	к — со	к — £	Эксперимент
Дальний след	0,301 - 500	0,256	0,365
Слой смешения	0,103 - 0,141	0,098	0,115
Плоская струя	0,090 - 0,136	0,109	0,100 - 0,110
Круглая струя	0,073 - 0,371	0,120	0,086 - 0,095

Перекрестный член Ментер вывел уравнения k — о модели из высокорейнольдсовой k — s модели и показал, что их отличие от модели Уилкокса состоит в наличии так называемого перекрестного члена — (Vk) • (Vo) в уравнении

СО

для .

При добавлении этого слагаемого (Wilcox, 1993) чувствительнось к граничным условиям пропадает.

D_M , _N (о р

p—= ^V ■(⁽^ + ^J_a)^T^)Vo) + ^a-_L~^Pk^—p+^Jd~^{( Vk)} • ^{( Vo)},

Ls£ к CO

O' ( Ук) • ( Уа) < О О' 3 (Ук) • ( Уа) > О'

Следует отметить, что в пограничном слое а монотонно убывает от стенки. Следовательно, перекрестный член не равен нулю только от мак­симума к до внешней границы слоя. Иными словами, можно считать, что от стенки до максимума к используется к — а модель, а далее - к — s.

Модель Ментера

Именно Ментеру принадлежит идея об объединении двух типов мо­делей ( к — s - вдали от стенок, к — а - вблизи к стенкам).

Кроме того, известно, что в значительной части пограничного слоя касательное напряжение пропорционально кинетической энергии турбу­лентности (Ментер использует название SST и Shear Stress Transport). Для безградиентного пограничного слоя (равновесного) это гипотеза Невзгля-

р,

дова-Драйдена т = ра_гк, а для неравновесного - т = р 1—а₁к.

Наибольшая техническая сложность при создании такой "комбини­рованной" модели состоит в формулировке функций, которые автоматиче­ски переключают модель с одной "ветки" на другую. Ментер это сделал следующим образом.

t

РТГ=У'(⁽^ ⁺ °^т⁾ Уа) + Р^-Рк — Р^а² + ⁽1 — FjDku.

^ut н-т

max( а₁а ,0 F₂)'

F2 = tanh( arg² )

( 2^к 5 ОOv

р = Fi(p i + ⁽1 — Fi)(p 2' Р = ^{ Ок'ОауР}'

F₁ = ta n h( arg ^f) '

CDkv = тахфк_ШЛ О ² 4

Dko=^¹( Ук)-(Уш).

Константы модели:

а

Р ^ао>к²

/?* = 0,09; к = 0,41; а_г = 0,31; _У = |г - —

_к1 = 0,85; о_ш1 = 0,5; (З_г = 0,075; °к2 = 1; ^eoi = 0,856; & = 0,0828;

По итогам десятилетнего опыта эксплуатации этой модели в ней бы­ло сделано единственное изменение - в уравнении для ограничивается значением .

Граничные условия к k — о моделям Кроме того, Ментер провел тщательные исследования влияния гра­ничных условий на результаты расчетов и сформулировал универсальную и надежную формулировку, которую можно считать общепринятой.

На стенке аналитическое (но трудное в реализации) условие, пред­..... 6v „ 6v

ложенное Wilcox о —>-—- заменено на значение на стенке о)_ш = 1 0

^W Р1ДУ1

Для внешнего слаботурбулентного потока предложено следующее условие

U_x

ш = 1 + 10-р;

Li

v_t = 10^_3v; k = v_ta).

При расчете пограничных слоев, когда возникают трудности с трак­товкой характерного линейного масштаба используется условие

4v*²

(JL> =

4Wu_es''

Следует отметить, что предложенная Ментером поправка на SST может быть применена и к другим моделям с двумя уравнениями. Так, например, модифицированная модель Чена в ряде случаев превосходит оригинальную.

Комбинация модели Ментера совместно с автоматическими при­стенными функциями (это реализовано в CFX) позволяет получать хоро­шие решения в широком диапазоне значений .

1. 3. 5 Область применимости моделей с двумя уравнениями

Модели с двумя уравнениями являются единственными реальными конкурентами одноуравнительных моделей при расчете турбулентных те­чений. Их использование приводит к несколько большим затратам, однако наличие двух независимых переменных позволяет выбрать в качестве ли­нейного масштаба не только расстояние до стенки.

Наиболее часто используемой из моделей с двумя уравнениями явля­ется модель Ментера.

Литература

1. Моделирование турбулентных течений: Учебное пособие /

И.А. Белов, С.А. Исаев, Балт. гос. техн. ун-т. СПб., 2001. 108с.

2. 2.Конспект лекций дисциплины «Течения вязкой жидкости и мо­дели турбулентности: методы расчета турбулентных течений»; Санкт пе­тербургский государственный политехнический университет, кафедра гид­роаэродинамики. Санкт-Петербург 2010.

3. И. А. Белов, С. А. Исаев. Моделирование турбулентных течений: Балт. гос. техн. ун-т. СПб., 2001. 108 с.

4. Е. М. Смирнов, А. В. Гарбарук. Конспект лекций дисциплины «Течения вязкой жидкости и модели турбулентности: методы расчета тур­булентных течений»: Санкт-Петербург, 2010. 127 с.

5. А. А. Юн, Б. А. Крылов. Расчет и моделирование турбулентных течений с теплообменом, смешением, химическими реакциями и двухфаз­ных течений в программном комплексе Fastest-3D: Учебное пособие. - М.: Изд-во МАИ, 2007. - 116 с.

ЛЕКЦИЯ 7

ЛАМИНАРНЫЙ И ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ

1. Физическая картина возникновения пограничного слоя

2. Толщина пограничного слоя, толщина вытеснения

3. Отрыв пограничного слоя и образование вихрей. Обтекание круг­лого цилиндра вязким потоком

4. Виды течений вязкого потока в пограничном слое. Отрывные те­чения

5. Особенности расчета течений с учетом пограничного слоя

1. Физическая картина возникновения пограничного слоя

Выше мы рассматривали движение рабочего тела в предположении о идеальности жидкости или газа, т.е. они не обладали трением. При движе­нии без трения между отдельными слоями возникают нормальные силы (давление), а касательные силы (напряжение сдвига) - отсутствуют. Изу­чение влияния трения и сжимаемости началось примерно в начале нашего столетия.

Наличие касательных напряжений (напряжений сдвига) и прилипа­ние жидкости к твердым стенкам существенно отличают действительную жидкость от идеальной. Многие жидкости, важные в практическом отно­шении, например, вода и воздух, продукты сгорания большинства ТТ, об­ладают малой вязкостью.

В настоящее время в гидродинамике вязкой жидкости получила при­знание гипотеза о том, что частицы жидкости, непосредственно прилега­ющие к твердому телу, адсорбируются последним, как бы прилипают к его поверхности, т е их скорость равна скорости тела (а если тело неподвижно, то нулю). Этот слой «прилипшей» жидкости нужно рассматривать как бес­конечно тонкий слой. Гипотеза о равенстве нулю скоростей жидкости на стенке нашла косвенное подтверждение в хорошем согласии с опытом ре­зультатов многочисленных теоретических работ, в основу которых она была положена. Равенство нулю скорости жидкости на стенке выполняется до тех пор, пока газ можно считать сплошной средой. По мере увеличения разрежения ослабляется взаимодействие газа со стенкой и разреженный газ вблизи стенки начинает проскальзывать.

Степень разрежения потока характеризуют значением параметра Кнудсена, представляющего собой отношение средней длины свободного пробега молекул газа l к характерному размеру твердого тела 1₀ (например, диаметру трубы или проволоки). Если примерно 1/1₀ > 0,001, то газ уже нельзя рассматривать как сплошную среду, для которой выполняется усло­вие прилипания. При значениях параметра Кнудсена, примерно больших 10, газ должен рассматриваться как свободный молекулярный поток. Его взаимодействие с твердым телом описывается на основе законов кинетиче­ской теории газов. При значениях параметра Кнудсена, заключенных меж­ду 0,001 и 10, разреженный газ не может рассматриваться ни как полно­стью сплошная, ни как полностью свободномолекулярная среда. Для этой области чисел Кнудсена разрабатываются свои методы расчета течения и теплообмена. Мы будем рассматривать в основном сплошные среды и ис­ходить из равенства нулю скорости исчезающе тонкого слоя жидкости, непосредственно прилегающего к поверхности твердого тела.

Гидродинамический пограничный слой. Рассмотрим продольное обтекание плоской поверхности тела безграничным потоком жидкости. Скорость и температура набегающего потока постоянны и равны соответ­ственно ю₀ и t₀. При соприкосновении частиц жидкости с поверхностью тела они «прилипают» к ней. В результате в области около пластины вследствие действия сил вязкости образуется тонкий слой заторможенной жидкости, в пределах которого скорость изменяется от нуля на поверхно­сти тела до скорости невозмущенного потока (вдали от тела). Этот слой за­торможенной жидкости получил название гидродинамического погранич­ного слоя. Теория гидродинамического пограничного слоя впервые дана Л. Прандтлем (1904 г.). Чем больше расстояние х от передней кромки пласти­ны, тем толще пограничный слой, так как влияние вязкости по мере дви­жения жидкости вдоль тела все дальше проникает в невозмущенный поток. Эта особенность пограничного слоя иллюстрируется рис. 1 , на котором представлены распределения скорости при различных значениях х.

Рис. 1 . Изменение скорости в гидродинамическом пограничном слое

Для течения жидкости внутри пограничного слоя справедливо усло­вие Эю_х/Эу^0, вне пограничного слоя и на его внешней границе: Эю_х/Эу=0 и ю_х=ю₀. Понятия «толщина пограничного слоя» и «внешняя граница по­граничного слоя» довольно условны, так как резкого перехода от погра­

ничного слоя к течению вне слоя нет. Скорость в пограничном слое по ме­ре увеличения у асимптотически стремится к ю₀. Поэтому под толщиной пограничного слоя 5 подразумевается такое расстояние от стенки, на кото­ром скорость будет отличаться от скорости потока вдали от тела на опре­деленную заранее заданную малую величину s<<1 (например на 1%): при у=5 ю_х= (1—s)®₀. Таким образом, при омывании тела поток жидкости как бы разделяется на две части: на пограничный слой и на внешний поток. Во внешнем потоке преобладают силы инерции, вязкостные силы здесь не проявляются. Напротив, в пограничном слое силы вязкости и инерционные силы соизмеримы. Тогда можно написать следующую систему дифферен­циальных уравнений, описывающих стационарное поле скоростей при омывании плоской пластины, бесконечной в направлении оси Oz. Уравне-

<

ния движения (4.23) и (4.24):

⁴-²³)

-И»; (⁴-²⁴)

^ + ^ = 0. (4.25)

(4.25) - уравнение сплошности. Рассмотрим возможности упрощения для пограничного слоя записанной системы дифференциальных уравнений и наметим границы справедливости упрощенной записи. Ввиду малости толщины пограничного слоя принимают, что поперек него давление не из­меняется, т. е. Эр/Эу=0. При омывании плоской поверхности неограничен­ным потоком, когда во внешнем течении скорость постоянна и равна ю₀, из уравнения Бернулли

следует, что во внешнем потоке не изменяется и давление. То­гда Эр/Эх=0 (такое течение в гидродинамике часто называют «безградиент- ным течением»). Условия ф/Эу=0 для пограничного слоя и Эр/Эх=0 для внешнего течения приводят к выводу, что производная Эр/Эх равна нулю и в области пограничного слоя (в рассматриваемом случае). Скорость ю_х из­меняется от нуля до ю₀, порядок величины ю_х оценим как ю₀. Для продоль­ной координаты возьмем масштаб /. Тогда (О — обозначение порядка дан­ной величины)

Согласно уравнению сплошности (4.25) порядок производ­ных 0®_x/5x и 0®_x/5y одинаков. Отсюда выражение (*), где 5— порядок по­перечной координаты у для пограничного слоя. Порядок величины ю_у при этом может быть оценен как (**). Оценим отдельные члены инерционной (конвективной) и вязкостной частей уравнения движения в проекциях на ось Ох:

Из оценки следует, что порядок отдельных слагаемых инерционной части одинаков и равен ю₀ И. Отношение вязкостных членов дает:

Для пограничного слоя 5«/, отсюда следует выражение (***), по­следней производной можно пренебречь. Тогда уравнение движения в проекциях на ось Ох может быть записано в следующем виде:

Порядок левой части уравнения (4.26) равен (а), правой - (Ь). При­равнивая правую и левую части получаем (4.27), где - число

Рейнольдса, характеризующее соотношение сил инерции и сил вязкости. Если -Яе-Cl. ТО <5/7 > 1 (й » M.g этом случае по сути дела нет разделе­ния потока на две области, все пространство жидкости у тела охвачено действием сил вязкости. Если > 1 то д <£^т. е. у поверхности тела образуется сравнительно тонкий слой подторможенной жидкости, для ко­торого, в первом приближении справедливы сделанные нами упрощения. Таким образом, теория пограничного слоя приобретает характер метода упрощения математической формулировки краевой задачи и связанной с этим возможности решения. Оценим порядок величин, входящих в урав­нение движения в проекциях на ось Oy. Получим, учитывая уравнение

27. ,

    имеют значения порядка

    а член v ⁽ *&vwj Таким образом, члены уравнения движения в

    проекциях на ось Оу малы по сравнению с членами уравнения (4.23). Для пограничного слоя уравнение (4.24) можно опустить. Тогда для плоского безградиентного стационарного течения вязкой жидкости в пограничном слое у плоской поверхности можно записать:

    Л

    П ( llA Л - Г) ( ILLil —!— V. ' 0 - I ■' v'TTT

    что члены

Здесь две зависимые переменные: со_х и to_v. Правую часть уравнения

J_ г}* ‘ '

27. можно записать в виде (> оу, где s — напряжение трения в плоскости, параллельной плоскости хz.

Вязкость

Сущность вязкости уясним путем следующего опыта. Рассмотрим течение между длинными параллельными пластинами, из которых одна (нижняя) - неподвижна, вторая движется с постоянной скоростью. Пред­положим, что давление во всем пространстве, занимаемом жидкостью по­стоянно. Если выполняется условие “применения” жидкости, то скорость у нижней пластины равна нулю, а у верхней равна скорости самой пластины V.

Опыт показывает, что в пространстве между пластинами имеет место линейное распределение скоростей, т.е. скорость пропорциональна рассто­янию y от нижней пластины и

Vx(y) = (1)

h

I - касательное напряжение, т.е. сила (трения) на ед. площади.

V

Рис.2.

Чтобы существовало такое состояние движения, к жидкости со сто­роны верхней пластины должна быть приложена касательная сила в направлении движения, уравновешивающая силы трения жидкости. На ос­новании опыта эта сила (отнесенная к единице площади пластин) пропор­циональна скорости V верхней пластины и обратно пропорциональна рас­стоянию h между пластинами. Следовательно, сила трения I, отнесенная к ед. площади, т.е. касательное напряжение, пропорциональна отношению V/h, вместо которого в общем случае можно взять отношение dVx/dy. Множитель пропорциональности между i и dVx/dy обозначим ц, он зави­сит от природы жидкости и температуры.

Элементарный закон трения жидкости: dV

1. = ц—- - закон трения Ньютона (2)

dy

где ц - динамический коэффициент вязкости.

Это простейшее движение называется движением чистого сдвига

v = — - кинематическая вязкость (важно, когда, кроме вязких, Р

действуют силы инерции).

“Прилипание” к стенкам характерное для реальных жидкости или га­за, значительно изменяет картину линий тока, т.к. она вызывает, вслед­ствие трения, торможение прилегающего к стенкам тонкого слоя жидко­сти. В этом слое скорость течения возрастает от нуля на стенке (условие прилипания) до своего полного значения во внешнем потоке. Этот слой называют, следуя Людвигу Прандтлю (1875 - 1953, Германия), погранич­ным слоем или слоем трения. Л.Прандтель предложил учитывать вязкость только в узком пограничном слое, тем самым положив начало исследова­ния вязких жидкостей (1904 г.).

Рассмотрим течение жидкости вдоль пластины. Толщина погранич­ного слоя увеличивается вдоль пластины по направлению к ее задней кромке. На рис. Показано распределение скоростей в пограничном слое на пластинке.

Рис.3.

Очевидно, что пограничный слой тем тоньше, чем меньше коэффи­циент вязкости. Внутри пограничного слоя касательное напряжение

т = — —¹ весьма большое даже при малой вязкости, т.к. градиент скорости

dy

в направлении, перпендикулярном плоскости пластины, весьма велик. Вне пограничного слоя касательные напряжения очень малы. Поэтому выде­ляют две области: Область тонкого пограничного слоя вблизи стенки, в ко­торой учитывают силы трения, и область вне пограничного слоя, в которой силами трения можно пренебречь, т.е. принять гипотезу идеальной жидко­сти.

2. Толщина пограничного слоя

Так как переход скорости пограничного слоя в скорости внешнего течения совершается асимптотически, то определение толщины погранич­ного слоя в известной системе произвольно. Однако для практических це­лей эта произвольная не играет роли, т.к. скорость пограничного слоя до­стигает скорости внешнего течения уже на малом расстоянии от стенки. Поэтому за толщину пограничного слоя можно принять, например, такое расстояние от стенки, на котором скорость отличается на 1% от скорости внешнего течения (5). Вместо толщины пограничного слоя часто использу­ется так называемая толщина вытеснения 51. Это расстояние, на которое отодвигается от тела линии тока внешнего течения вследствие образования пограничного слоя (см. рис.).

Рис. 4

Эта толщина определяется по формуле:

X

VSi = {{V - V_r )dy

у=0

X

Из зависимости следует: {{V ^{- V}x )^dy - это площадь ABC.

у=0

^Vs₁ - площадь ADEC.

5₁ выбирается так, чтобы площадь ADEC была равна площади ABC. Следовательно, площадь ADF равна площади FBE.

Для пластины обтекаемой вдоль своей плоскости, толщина вытесне­ния 5₁ равна приблизительно 1/3 от толщины пограничного слоя 5.

s =¹ s

1. 3 .

З.Отрыв пограничного слоя. Вихреобразование

Внутри пограничного слоя в каждом его сечении давление такое же, как и во внешнем течении в том же сечении. Это равенство давлений внут­ри пограничного слоя и во внешнем течении в одном и том же сечении существует и в том случае, когда контур обтекаемого тела имеет произ­вольную криволинейную форму и, следовательно, давление во внешнем течении изменяется вдоль стенки. Таким образом, в любом случае давле­ние внешнего течения передается без изменения внутрь пограничного слоя. В случае продольного обтекания плоской пластины и во всем погра­ничном слое.

С характером распределения давления в пограничном слое связано явление отрыва пограничного слоя от стенки. Но пограничный слой, обра­зующийся при продольном обтекании плоской пластины, не отрывается от нее, т.к. в таком пограничном слое не возникает возвратного течения.

В качестве примера рассмотрим обтекание круглого цилиндра (см.рис.1). При течении, происходящем без трения, жидкость на передней половине цилиндра, между точками D и E, движется ускоренно, причем давление по мере приближения к точке Е понижается; на задней же поло­вине цилиндра, между точками E и F происходит замедление движения, следовательно, давление по мере приближения к точке F повышается.

В первый момент после возникновения течения, когда пограничный слой еще тонок, жидкость движется почти без трения. Для частицы жидко­сти, находящейся во внешнем потоке, на пути от D к Е происходит преоб­разование энергии давления в кинетическую энергию, а на пути от Е к F - обратное преобразование кинетической энергии в энергию давления, и притом так, что в точку F частица приходит с той же скоростью, какую она имела в точке D. Иначе ведет себя частица жидкости, движущаяся внутри пограничного слоя в непосредственной близости от поверхности цилиндра. Хотя поле давления здесь такое же, как и во внешнем потоке, но зато дей­ствуют значительные силы трения. Это приводит к тому, что на пути от D к Е часть кинетической энергии частицы жидкости теряется, и оставшейся кинетической энергии уже недостаточно, чтобы преодолеть превышение давления на пути от Е к F. Следовательно, внутри пограничного слоя ча­стицы жидкости не могут далеко продвинуться в область возрастающего давления между точками Е и F и где - то, не доходя до точки F, останавли­вается, а затем под воздействием распределения давления внешнего тече­ния начинает двигаться назад. [Вихревая дорожка Кармана - стр. 42 -43, Шлихтинг Г.]

Отрыв пограничного слоя. Вихреобразование.

При утолщении пограничного слоя вниз по течению в нем возникает возвратное течение. Это влечет за собой вынос жидкости, заторможенной в пограничном слое, во внешнее течение, вследствие чего последний оттес­няется от тела - эффект отрыва пограничного слоя. На диффузорном участке давление увеличивается, а скорость уменьшается. Т.к. у поверхно­сти стенки частицы газа обладают малой кинетической энергией, то в не­которой точке - частицы не могут преодолеть давление и останавливают­ся.

Рис.1.

Отрыв пограничного слоя всегда связан с сильным образованием вихрей и с большой потерей энергии на кормовой части обтекаемого тела. В точке отрыва в начинается одна из линий тока, образующая определен­ный угол со стенкой. В этой точке градиент скорости в направлении, пер­пендикулярном к стенке, равен нулю, т.е.

f-] = 0

• ^ J СТЕНКИ

Отрыв потока возникает также при течении жидкости в канале, резко расширяющемся в направлении течения.

При расширении канала происходит возрастание давления в направ­лении течения, что приводит к отрыву потока с одновременным образова­нием вихрей. Но, если на стенках производится отсасывание пограничного слоя, то отрыв не возникает.

4. Ламинарный и турбулентный пограничные слои

Характерной особенностью ламинарного течения жидкости или газа является движение жидкости в виде отдельных слоев составляющей скоро­сти в поперечном направлении, причем падение давления вдоль трубы происходит пропорционально первой степени средней скорости течения. Эта особенность видна, если в поток жидкости ввести струйку краски. При ламинарном течении струйка остается резко ограниченной от остальной жидкости вдоль всей трубы. При увеличении скорости достигается состоя­ние, при котором прямолинейное движение струйки нарушается, происхо­дит перемешивание. Теперь на продольное движение полагается неравно­мерное поперечное движение. Такого рода течение называется турбулент­ным. Опыт с окрашенной жидкостью впервые был выполнен О.Рейнольдсом. Переход течения от ламинарного к турбулентному проис­ходит при определенных числах Рейнольдса, называемым критическим. Однако критическое число Рейнольдса непостоянно при всех условиях: оно зависит от экспериментальной установки и особенностей интенсивно­сти возмущений, полученных жидкостью при входе в трубу. Если обеспе­чить при входе в трубу очень небольшие возмущения, то можно достичь

\

Vd

критического числа Рейнольдса

более 10 (средняя по поперечному

при меньших числах Re турбулентное течение не может существовать да­же при сильных возмущениях.

При турбулентном течении в трубе падение давления вдоль трубы пропорционально приближенно второй степени средней скорости течения. Следовательно, при турбулентном течении протекания через трубу опре­деленного количества жидкости требуется значительно больший перепад давления, чем при ламинарном. Течение в пограничном слое на стенке со­вершенно так же, как и течение в трубе становится турбулентным, как только толщина пограничного слоя или скорость внешнего течения стано­вятся достаточно большими. Исследования показали, что для такого пере­хода характерным признаком является внезапное резкое увеличение тол­щины пограничного слоя и касательного напряжения на стенке (И.М.Бюргерс, Б.Г. ван дер Хегге - Цейнен, М.Ханзен).

При течении вдоль пластины Re^, соответствующий Re^ в трубе ~ 2800 равно

^г— • х^Л

,

^х.кр

= 3,2 • 10³

V

Таким образом, при течении вдоль пластины пограничный слой вблизи ее передней кромки остается ламинарным и только на некотором расстоянии хкр от переднего края становится турбулентным. Для пласти­ны, как и для трубы, число Rex кр, определяющее переход течения в по­граничном слое из ламинарного в турбулентное, сильно зависит от степени возмущения внешнего течения. Rex кр = 3,2-10⁵ - нижний предел удается достигнуть Rex кр до 3-10⁴.

В пограничном слое происходит торможение частиц газа под воз­действием сил сцепления с твердой стенкой и сил вязкости, передающих это торможение на некоторую глубину от стенки в поток. Заторможенные частицы газа, находящиеся, с одной стороны, под влиянием сил инерции, а с другой - под влиянием сил вязкости, приобретают вращение или завих­ренность. Эта завихренность (турбулизация) является одним из способов необратимого перехода механической энергии газа в теплоту. Нагрев по­верхности движущегося тела наблюдается при числах М>2.

Высокая температура, возникающая в пограничном слое, оказывает влияние на толщину пограничного слоя и напряжение трения. Поэтому при расчете характеристик пограничного слоя при больших скоростях нужно учитывать его нагрев.

скорее исключением, чем правилом, что объясняется исключительной фи­зической сложностью турбулентности, в частности ее стохастической при­родой, принципиально трехмерным нестационарным характером и широ­ким спектром пространственно-временных масштабов.

Вместе с тем. общий прогресс вычислительной аэродинамики, разу­меется, не мог не сказаться и на состоянии проблемы моделирования тур­булентности. В частности, в последние годы все большее применение находят подходы к моделированию турбулентности, базирующиеся на первых принципах аэродинамики (метод прямого численного моделирова­ния - в англоязычной литературе Direct Numerical Simulation или DNS и метод моделирования крупных вихрей - Large Eddy Simulation или LES). Однако, из-за крайней вычислительной трудоемкости этих подходов их широкое практическое использование при решения сложных задач аэроди­намики может начаться лишь в конце нынешнего столетия (это не означа­ет, конечно, что уже сегодня DNS, и в особенности. LES не могут приме­няться при рзсчете более простых течений). Данный вывод наглядно ил­люстрирует Таблица 1, заимствованная из работы. опубликованной в 2000 году.

Таблица 1

Вычислительные ресурсы и перспективы практического применения различных ^ подходов к моделированию турбулентных течений

Метод	Необходимое число узлов сетки	Необходимое число шагов по времени	Г отовность 1
3D Steady RANS	107	103	1985
3D Unsteady RANS	107	103,5	1995
DES	108	104	2000
LES 2	1011,5	106,7	2045
DNS	1016	107,7	2080 3

1. Под готовностью подразумевается возможность расчета одного варианта в течение суток на самых мошных из доступных компьютеров.

2. Имеется в виду les с пристеночным rans моделированием: в случае les вплоть до твердых стенок, затраты оказываются сопоставимы­ми с затратами dns.

3. На компьютере с производительностью 1 терафлоп. Время расчета составляет 5000 лет!

В таблице представлены опенки вычислительных ресурсов, необхо­димых для расчета обтекания типичного гражданского самолета или авто­мобиля с использованием всех известных методов расчета турбулентных течений, начиная от полуэмпирических методов, базирующихся на осред- ненных по Рейнольдсу уравнениях Навье-С'токса (Reynolds Averaged Na- vier-Stokes - RANS) н кончая полностью свободным от эмпиризма мето­дом DNS. Данные этой таблипы для RANS основаны на реальном опыте использования соответствующих методов, имевшемся в 2000 г._: а прогноз готовности методов DNS, LES и DES (Метод моделирования отсоединен­ных вихрей - Detached-Eddy Simulation) сделан на основе весьма оптими­стичной опенки темпов роста производительности компьютеров (в два раза каждые пять лет). При этом опенки вычислительных ресурсов, необходи­мых для DNS, LES и DES основываются на общих представлениях о ха­рактеристиках турбулентности и свойствах указанных методов.

Так. единственное (общепринятое в настоящее время) допущение, на котором базируется DNS. состоит в том. что уравнения Навье-С'токса адекватно описывают не только ламинарные, но и турбулентные течения. Соответственно, в рамках этого подхода расчет турбулентных течений производится путем непосредственного (без какого-либо предварительно­го осреднения) численного решения уравнешй Навье-Стокса. При этом независимо от характера осредненного течения (то есть, независимо от то­го является ли оно двумерным или трехмерным, стапионарным или неста­ционарным) должны использоваться трехмерные нестационарные уравне­ния Навье-Стокса. Поскольку турбулентность является принципиально трехмерным и нестационарным явлением. Кроме того. DNS подразумевает необходимость достаточно точного разрешения всех пространственно­временных масштабов турбулентности. Наглядное представление об этих масштабах дает рисунок 1. на котором изображен типичный энергетиче­ский спектр турбулентности (зависимость кинетической энергии турбу­лентности от волнового числа) при достаточно высоких числах Рейнольд­са. Этот спектр имеет три области.

Область I соответствует крупномасштабным "'энергонесущим" тур­булентным вихрям с размерами порядка интегрального линейного масшта­ба рассматриваемого течения (ему отвечает волновое число k_l = 2л/Ь). черпающим энергию из осредненного течения.

В области III спектра доминируют мелкие вихри с размерами меньше Колмогоровского масштаба ц = (v³/s)^1/4 (в - скорость диссипации энергии турбулентности) и волновыми числами k > kd = 2л/ц, вязкая диссипация которых переводит кинетическую энергию турбулентности в тепло.

Наконец, область II или инерционная область спектра, лежащая меж­ду областями I и III соответствует вихревым структурам с размерами в диапазоне L<1< ц. Влияние вязкости в этой области никак не проявляется, энергия турбулентности не генерируется и не диссипирует. а лишь переда­ется от более крупных вихрей к менее крупным (так называемый энергети­ческий каскад). В результате, энергетический спектр в области II оказыва-

5/3

ется универсальными и описывается законом Колмогорова E~k^- .

i\ , in

к, k_d Iп(К)

Рис.1. Различные области энергетического спектра турбулентности при высоких значениях числа Рейнольдса

Отношение максимального L и минимального ц линейных масшта­бов турбулентности L/ц пропорционально числу Рейнольдса в степени 3/4, L/^=Re^3/4, в результате чего размер пространственной сетки, необходимой для проведения расчетов с помощью DNS, растет с увеличением числа Рейнольдса как Re^9/4. Наряду с этим, с ростом числа Re увеличивается так­же и отношение интегрального ii и минимального (соответствующего

1/2

Колмогоровским вихрям) временных масштабов i^=(v/s) , определяющее

число шагов по времени, необходимое для проведения расчета: i_I/ !_л ~

1/2

Re . В итоге, суммарные затраты на проведение DNS растут с ростом числа Рейнольдса как Re^11/4.

Именно эти опенки и определяют приведенные в Таблице 1 данные о числе узлов сетки и числе временных шагов, необходимых для DNS реаль­ных течений.

В силу указанных обстоятельств, в настоящее время DNS может ис­пользоваться лишь для расчета течений с относительно низкими числами Рейнольдса и применяется, главным образом, в фундаментальных исследо­ваниях, целью которых является получение детальной информации о структуре и основных закономерностях турбулентности. Это нисколько не умаляет важности данного подхода, поскольку полученные с помощью DNS результаты, наряду с экспериментальными данными, составляют ос­нову для калибровки и тестирования полуэмпирических моделей турбу­лентности. Более того, следует иметь в виду, что в будущем DNS станет, по-видимому, доминирующим подходом не только в аэродинамике, но и в смежных областях техники, например, в химической технологии, атомной энергетике и т. д.

Вторым по трудоемкости из существующих подходов к моделирова­нию турбулентности является метод моделирования крупных вихрей (LES). Этот подход сформировался в начале 80-х годов прошлого. Его идея состоит в замене "глобального" осреднения характеристик реального тур­булентного течения по времени, на котором базируется вывод уравнений

Рейнольдса, "фильтрацией" этих характеристик от коротковолновых неод­нородностей или, иными словами, их пространственным осреднением по областям с размерами порядка размера.

Система уравнений LES по форме аналогична системе уравнений RANS. Однако физическое содержание этих двух систем различно. Так, дополшггельные (содержащие напряжения Рейнольдса) члены RANS опи­сывают влияние всех турбулентных неоднородностей на осредненное ре­шение, в то время как аналогичные члены уравнений LES ("подсеточные" напряжения) описывают влияние только относительно мелких (с размера­ми меньшими размера фильтра А) вихрей на зависящее от времени реше­ние отфильтрованных уравнений. Иными словами, в рамках LES вихревые структуры с размерами, превышающими размеры фильтра, разрешаются "точно" (под этим подразумевается только отсутствие ошибок, связанных с физическим моделированием - некоторая погрешность численного реше­ния, разумеется, всегда имеет место), а моделируются лишь вихревые структуры меньших размеров. Для того, чтобы подчеркнуть это, модели турбулентности для LES называют “подсеточными”.

Из приведенного описания становится ясным, что если размеру фильтра соответствует волновое число, лежащее в универсальной ( "инер­ционной ") области энергетического спектра турбулентности, то есть, если k < k_A < kd (см. рисунок 2), то моделированию подлежат только относитель­но универсальные (не зависящие от конкретной геометрии и граничных условий) вихри. В результате, роль подсеточной модели в LES сводится к обеспечению правильной скорости каскадной передачи энергии турбу­лентности от крупных к мелким вихрям в пределах инерционного интерва­ла волновых чисел или,. иными словами, - правильной скорости диссипа­ции наименьших из "разрешенных " вихрей.

	1	И III
1 ME)	-	: Каскад я. >
	.Казреш: масшт	гаше " Моде.шруеш.м абы масштабы !\
	k, 1п(к> -

Рисунок 2. Масштабы турбулентных структур, разрешаемые и моделируемые в рамках LES

Именно в этом состоит принципиальное преимущество LES перед RANS подходом, в рамках которого необходимо моделирование всех, в том числе крупных энергосодержащнх вихрей, не подчиняющихся каким- либо универсальным законам. С практической точки зрения это преиму­щество означает существенное снижение требований к подсеточным моде­лям для LES по сравнению с моделями турбулентности для замыкания уравнений RANS. В частности, опыт применения LES убедительно свиде­тельствует о том, что при выполнении условия k_I < k_A < k_d, он обеспечивает высокую точность расчета не только осредненных н основных статистиче­ских, но и пульсацнонных характеристик турбулентности даже при ис­пользовании простейших подсеточных моделей, например, классической алгебраической модели Смагоринского (аналог модели пути смешения Прандтля для RANS). Это преимущество LES играет чрезвычайно важную роль при решении задач аэроакустики, аэроупругости и при расчете турбу­лентных химически реагирующих течений. Отметим также, что при расче­те свободных турбулентных течений с использованием монотонных чис­ленных методов оказывается возможным вообще отказаться от моделиро­вания подсеточной турбулентности, так как в этом случае функции подсе- точной модели с успехом выполняет присущая таким методам численная диссипация). Это направление в LES получило название Monotonically In­tegrated LES (MILES) или Implicit LES (ILES). Данный термин часто ис­пользуется также в другом смысле, а именно, применительно к наиболее распространенной на практике версии LES, в которой явная фильтрация исходных уравнений не производится, и роль фильтра играет вычисли­тельная сетка.

Естественной платой за описанные преимущества LES является то, что он требует несопоставимо больших вычислительных ресурсов, чем RANS. Это связано с необходимостью, как и в случае DNS, проведения трехмерных нестационарных расчетов на достаточно мелких сетках даже в тех случаях, когда целью расчета является определение только параметров осредненного течения. С другой стороны, по понятным причинам (мелко­масштабная часть спектра моделируется, а не рассчитывается "точно") ре­сурсы, необходимые для реализации LES, оказываются намного меньши­ми, чем для DNS. Так. для расчета турбулентности вдали от твердых сте­нок число ячеек сетки, необходимой для проведения LES, увеличивается с ростом числа Рейнольдса намного медленнее, чем в случае DNS: пропор-

0 4 2 25

ционально Re ^, , а не Re ^, . Однако вблизи стенок, где даже энергонесущие вихри имеют очень маленькие размеры, требования к сеткам для LES су­щественно ужесточаются и приближаются к аналогичным требованиям для

DNS: число ячеек, необходимых для LES таких течений пропорционально

1 8

Re ^, . В качестве иллюстрации на рЬс. 3 показаны зависимости от числа Рейнольдса числа ячеек сетки, которые должны находиться во внутренней и внешней областях пограничного слоя на пластине при его расчете в рам­ках LES. Из рисунка видно, в частности, что при Re=10⁶ полное число яче­ек составляет -10^{s 5}. причем 99% из них находятся во внутренней части пограничного слоя.

И

104 1 1 1 1

ю* io- io^f itr ю^? Re_L id^j

Рис.3. Зависимость числа ячеек сетки во внутренней и внешней областях пограничного слоя на плоской пластине и обшего числа ячеек, необходи­мых для LES данного течения, от числа Рейнольдса

N

10"

10^1C 10² 10^a

менно это обстоятельство, которое делает LES сложных присте­ночных течении при представляющих практический интерес высоких чис­лах Рейнольдса невозможным не только в настоящее время, но и в обозри­мом будущем (см. Таблицу 1), послужило стимулом для создания гибрид­ных RAjNS-LES подходов, первым и наиболее развитым из которых явля­ется метод DES. Следует подчеркнуть, что первый расчет обтекания само­лета с помощью этого метода, в полном соответствии с прогнозом, приве­денным в Таблице 1 был выполнен вскоре поске его опубликования в 2000 г., что свидетельствует также в пользу достаточной надежности оце­нок сроков "готовности" методов, приведенных в этой таблице.

Таким образом, в течение ближайших тридцати лет основным рабо­чим инструментом для решения прикладных задач аэродинамики будут оставаться полуэмпирические методы, базирующиеся на использовании RANS в сочетании с различными полуэмпнрическими моделями турбу­лентности, и метод DES, который также в значительной степени опирается на эти модели.

ЛЕКЦИЯ 8 СМЕШЕНИЕ СТРУЙ

План лекции

1. Затопленная и спутная струи

2. Приближенный инженерный метод расчета взаимодействия струй

3. Диффузия компонентов при смешении струй

4. Догорание факела РДТТ в воздухе

1. Затопленная и спутная струи

Во многих случаях движения жидкости и газа в потоке возникают так называемые поверхности тангенциального разрыва; течения жидкости по обе стороны такой поверхности называются струйными. В зависимости от относительного направления движения струй они могут быть спутными или встречными. Характерной особенностью струйных течений является то, что тангенциальный разрыв на поверхности раздела терпят такие, например, величины, как скорость течения, температура, концентрация примеси, тогда как распределение статического давления оказывается не­прерывным.

На поверхности тангенциального разрыва в связи с ее неустойчиво­стью возникают вихри, беспорядочно движущиеся вдоль и поперек потока; вследствие этого между соседними струями происходит обмен конечными массами (молями) вещества, т. е. поперечный перенос количества движе­ния, тепла и примесей. В результате на границе двух струй формируется область конечной толщины с непрерывным распределением скорости, температуры и концентрации примеси; эта область называется струйным турбулентным пограничным слоем. При очень малых значениях числа Рейнольдса струйный пограничный слои может быть ламинарным, но на этом сравнительно редком случае течения мы не останавливаемся.

Наиболее простои случай струйного пограничного слоя имеет место при истечении жидкости с равномерным начальным полем скорости uo в среду, движущуюся с постоянной скоростью и_н, так как при этом в началь­ном сечении струи толщина пограничного слоя равна нулю. Утолщение струйного пограничного слоя, состоящего из увлеченных частиц окружа­ющей среды и заторможенных частиц самой струи, приводит, с одной сто­роны, к увеличению поперечного сечения, а с другой стороны, к постепен­ному «съеданию» ядра струи — области, лежащей между внутренними границами пограничного слоя. Принципиальная схема такого струйного течения изображена на рис. 1. Часть струи, в которой имеется ядро тече­ния, называют начальным участком.

Как показывают многочисленные опыты, одним из основных свойств такой струи является постоянство статического давления во всей области течения, вследствие чего скорость в ядре струи остается постоянной. Раз­мывание струи за пределами начального участка выражается не только в ее утолщении, но также и в изменении скорости вдоль ее оси.

Н

Начальный Переходный Оснабмой

Рис. 1. Схема течения в струе

а некотором расстоянии от конца начального участка струйное те­чение приобретает такой же вид, как течение жидкости из источника бес­конечно малой толщины (в осесимметричном случае источником служит точка, в плоскопараллельном случае — прямая линия, перпендикулярная к плоскости течения струи); соответствующий участок струи называют ос­новным. Между основным и начальным участками струи располагается так называемый переходный участок.

Часто пользуются упрощенной схемой струи и полагают длину пере­ходного участка равной нулю; в этом случае сечение, в котором сопряга­ются основной и начальный участки, называют переходным сечением струи. Если в расчетах переходный участок не учитывают, то переходное сечение считают совпадающим с началом основного участка.

Наиболее изученным видом турбулентного струйного течения явля­ется струя, распространяющаяся в покоящейся среде; такая струя называ­ется затопленной.

В описанной схеме струи предполагается, что пограничный слои имеет конечную толщину; в некоторых теориях затопленной струи предла­

гается, что пограничный слой имеет бесконечную толщину с асимптотиче­скими профилями скорости, температуры и других величин. Оба эти пред­ставления о пограничном слое удается практически примирить между со­бой, так как асимптотический пограничный слой можно всегда прибли­женно заменить слоем конечной толщины. В этом случае «границами» асимптотического слоя считают поверхности, на которых значения скоро­сти (или, например, температуры) отличаются от краевых на некоторую наперед заданную малую величину, например на 1 %.

Изменение параметров по сечению струи

Характерной особенностью турбулентной струи, как показывают теория и многочисленные опыты, является малость поперечных составля­ющих скорости в любом сечении струи по сравнению с продольной скоро­стью. Следовательно, если ось х совместить с осью симметрии струи, то составляющие скорости по перпендикулярной к ней оси y окажутся настолько малыми, что в инженерных приложениях теории струи ими можно пренебречь.

Опыты показывают, что профили избыточных значений скорости, температуры и концентрации примеси как в затопленной турбулентной струе, так и в струе, распространяющейся в спутном потоке, имеют одина­ковую универсальную форму. На рис. 2 приведен универсальный профиль скорости, полученный в опытах Форсталя и Шапиро в основном участке осесимметричной струи воздуха, втекающей в воздушный поток того же направления и той же температуры, причем безразмерные избыточные значения скорости Au/Au_m построены в зависимости от безразмерных ор­динат у/у_05и: ^ _и —и ^ j

Здесь u - скорость на расстоянии y от оси струи, u_m - скорость на оси струи, u_n - скорость спутного потока, у₀₅и - расстояние от оси струи до ме­ста, в котором избыточная скорость вдвое меньше своего максимального значения: u - u_n = 0,5(u_m - u_n).

Эти опыты проводились при разных отношениях скорости спутного потока к скорости истечения: m= u_n/u₀ = 0,2; 0,25; 0,46. На рис. 3 изображен также профиль скорости в затопленной струе (штриховая ли­ния), взятый из опытов Тркшеля; универсальные профили скорости при наличии спутного потока и в его отсутствие оказались практически одина­ковыми.

—ч. \ \° ч	V V
	\ \ \ \ \		ПО 0 ° Форс Шаг	пытам ?таля а wpo
		1? \ \ ч> \ \о ч.
		о'	к ч V , 0 1	п О

075

0,5

0,25

Ail

Ди>

m