Доказательство. Итак

25. Вывод формулы дифференцирования y=ln x, y=log_а x, у=е^х, у=а^х

1. Показательная функция y=a^x.

x  y=a^x+x-a^x=a^x(a^x-1)

 y=(a^x)= a^xlna  a=e  (e^x)= e^x

Функция е^х дифференцируема в каждой точке области определения, и

(е^х)' = е^х.

Доказательство. 

Δy = e ^x₀^+Δx — е ^x₀ = е ^x₀ • е ^Δx — е ^x₀ = е ^x₀ (е^{Δ x} — 1).

 при Δx → 0

отсюда следует, что у' = e^x т. е. (е^x)’= е^х при любом х.

2. Логарифмическая функция y=log_ax.

x=a^y  и тогда x_y=a^ylna=xlna, и тогда

При a=e имеем .

3. Функции y=sin x и y=cos x

y=sin(x+x)-sin x=2sinx/2cos(x+x/2)

(sin x)=cos x

Так как cos x=sin(x+/2)  полагая y=sin z, z=x+/2 

y = (cos x) = (sin z)_zz_x = cos z = cos (x+/2) = -sin x.

y = (cos x) = -sin x.

26.Вывод формулы дифференцирования y=tg x, y=ctg x.

Представим  . Используя производные  ,  , которые получены ранее, имеем

. Итого:  .

Аналогично для тангенса.

28.Вывод формул дифференцирования y=arcsin x, y=arcos х

Функции y=arcsin x и y=arccos x

а) Так как y=sin x  x_y= cos x=1-sin²y=1-x² ,

+, т.к. и cos y0 

б) arcsin x + arccos x = /2 

arccos x = /2 - arcsin x

29.Вывод формул дифференцирования y=arctg x, y=arcctg x

а) x=tg y, x_y = sec²y = 1+tg²y = 1+x²

б) Аналогично arctg x + arcctg x = /2 и

30. Дифференцирование неявных функций

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x;y)=0, не разрешенного относительно у.

Если f(x)(x)  f’(x)(x). Пусть теперь аргумент x и функция y=y(x) связаны уравнением, не разрешенным относительно y.

Например:(*) x²+y³=a² – определяет , подставляя которую в (*), получим тождество: ,  что если (*) продифференцируем по x, считая y=y(x), то получится новое уравнение относительно x, y, y, которое обратилось бы в тождество, если в него подставить выражения y=y(x) и y=y(x).

Дифференцируя (*), найдем 2x+3y²y=0 

Правило. Если функция задана неявно - F(x,y)=0  для нахождения y надо продифференцировать уравнение по x, считая y=y(x). Разрешая полученное уравнение относительно y, найдем выражение y через x и y.

31.Дифференцирование функций заданных параметрически и в полярной

системе координат .

Функция, заданная параметрически

Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений

где t — вспомогательная переменная, называемая параметром.

Найдем производную у'_х, считая, что функции (21.1) имеют производные и что функция х=x(t) имеет обратную t=φ(х). По правилу дифференцирования обратной функции

Функцию у=ƒ(х), определяемую параметрическими уравнениями (21.1), можно рассматривать как сложную функцию у=y(t), где t=φ(х). По правилу дифференцирования сложной функции имеем: у'_х=y'_t•t'_x. С учетом равенства (21.2) получаем

Полученная формула позволяет находить производную у'_х от функции, заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости у от х.

32.Понятие о дифференциале функции и его геометрический смысл.

Инвариантность дифференциала 1-го порядка

Для любой дифференцируемой f(x) связь между y и x записывается в виде

(*) y=(y+)x=yx+x Величина  - бесконечно малая вместе с x , то есть

В силу этого x - бесконечно малая высшего порядка, по сравнению с x , а yx - бесконечно малая величина того же порядка, что и x, если y0 при данном x.

Таким образом (*) определяет бесконечно малую y (y0) в виде суммы двух слагаемых: yx=O(x) и x=o(x). Поэтому yx - будет главной частью приращения y, причем пропорциональной x.

Определение. Дифференциалом функции называют главную (линейную) часть приращения функции, пропорциональную приращению аргумента и обозначают символом:

(**) dy=yx Если (**) применить к аргументу x, то так как (x)=1 

dx=(x)x=1x=x Поэтому dy=yx Внося dy и dx в (*) получим:

(***) y=dy+dx

Дифференциал dу (**) называют также дифференциалом первого порядка. 

Теорема: Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

dy=yx

первый дифференциал функции у=ƒ(х) определяется одной и той же формулой независимо от того, является ли ее аргумент независимой переменной или является функцией другого аргумента.

Это свойство дифференциала называют инвариантностью (неизменностью) формы первого дифференциала.

Дифференциал функции имеет простой геометрический смысл:

Значение дифференциала функции при данных x и x равно приращению ординаты касательной, проведенной в точке с абсциссой x графика f(x) при переходе от x к точке с абсциссой x+x.