11. Теоремы о пределах.

Теорема 1. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций

.

Доказательство: Пусть , , функции и можно представить в виде где и – бесконечно малые при .

Найдём сумму функций и

Величина есть постоянная величина, – величина бесконечно малая. Таким образом, функция представлена в виде суммы постоянной величины и бесконечно малой функции.

Тогда число является пределом функции , т.е. .Теорема доказана.

Теорема 2. Предел произведения равен произведению пределов. .

Доказательство: Не нарушая общности рассуждений, проведём доказательство для двух функций и . Пусть , тогда , Найдём произведение функций и

Величина есть постоянная величина, бесконечно малая функция. Следовательно, число является пределом функции , то есть справедливо равенство .

следствие: постоянный множитель можно вынести за знак предела:

(С f(x)) = С f(x), С = const,

Теорема 3. предел отношения двух функций равен отношению их пределов, если предел делителя отличен от нуля:

; В  0.

Теорема 4. Если переменная величина u имеет отличный от нуля предел, то тогда перем. Велич. 1/ u является ограниченной переменной

Lim u = a не равное нулю, сл-но, 1/u – ограниченная.

Теорема 5. Если предел переменной величины не равен нулю, то начиная с некоторого момента знак этой переменной будет совпадать со знаком предела

Lim u = a, a не равно 0

Sing u = sing a

Sind x(сингум) = 1, х>0,

Sind x(сингум) = -1,x<0

Сл- е 1: Если величина u неотрицательна, то и её предел неотрицателен.

Сл-е 2: Если в процессе своего изменения переменные величины всегда связывает неравенство u>=v, то и их пределы связывает неравенство lim u >= lim v.

Теорема 6. Переменная величина может иметь только один предел.

Теорема7. Величина u, имеющая предел, является ограниченой величиной.

12. Односторонние пределы.

Односторо́нний преде́л— предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (преде́лом спра́ва).

• Число A , А = const называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции в точке , где х стремится к а, так, что х > a всегда

• Число , А = const называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции в точке , где х стремится к а, так, что х < a всегда

13. Предел функции в бесконечности

В некоторых вопросах математики необходимо исследовать поведение функции f(x) , когда х неограниченно возрастает, при этом может случиться, х стремится к бескон., а f(x) стремится к b=const, в этом случае говорят, что b- предел f(x) на беконечности

Lim(при х стремится к бескон.)f(x)=B

Пусть функция f(x) определена на (a, + ∞).

Число A называется пределом функции f(x) при x → + ∞ (обозначается A = lim x → + ∞ f(x) ), если " ε > 0 cущ-ет N, зависящее от ε, N>0 " |x| > N сл-но |f(x) − a| < ε.

Пусть функция f(x) определена на ( − ∞,a).

Число A называется пределом функции f(x) при x → − ∞ (обозначается A = lim

x → − ∞ f(x) ), если " ε > 0 cущ-ет N, зависящее от ε " x < − N сл-но, |f(x) − a| < ε.

Если существуют пределы функции f(x) при x → + ∞ и при x → − ∞ и они равны одному и тому же числу A, то это число A называется пределом функции f(x) при x → ∞ обозначается

A = lim x → ∞ f(x) .

Теоремы о пределах последовательностей и правила их вычисления распространяются и на пределы функций в бесконечности.