2. Функция. Основные определения и понятия .Способы её задания.

Функцией называется отображение множества Х на множество У, при котором каждому элементу х Х соответствует единственный элемент у У.

Функция является одним из основных понятий математического анализа. Пусть Х и У произвольные множества действительных чисел.

Если каждому числу х принадлежащему мн-ву Х по некоторому правилу или закону поставлено в соответствие единственное вполне определенное действительное число у принадл. Мн-у У, то говорят, что задана функция с областью определения Х и множеством значений У. Обозначают у = f(х). Переменная величина х называется аргументом функции.

В определении функции существенны два момента: указание области определения и установление закона соответствия.

Областью определения или областью существования функции называется множество значений аргумента при которых функция существует, то есть имеет смысл.

Областью значений функции называется множество значений у, которые он принимает при допустимых значениях х.

Способы задания функции.

1. Аналитический способ задания функции.

При этом способе задания функции закон соответствия записывается в виде формулы (аналитического выражения), указывающей посредством каких математических преобразований по известному значению аргумента х можно найти соответствующее значение у.

Функция может быть задана одним аналитическим выражением на всей своей области определения или представлять совокупность нескольких аналитических выражений.

2. Табличный способ задания функции

В результате непосредственного наблюдения или экспериментального изучения какого-либо явления или процесса в определенном порядке выписываются значения аргумента х и соответствующие им значения у.

Эта таблица определяет функцию у от х.

3. Графический способ задания функции.

Графический способ задания функции состоит в изображении на координатной плоскости точек ( х, у ) посредством технических устройств.

4.Параметрический способ.

Х²+у²=R²

X=R*cost ; Y=R*sint

3.Взаимообратные и сложные функции. Сложная функция.

Пусть переменная у является функцией аргумента u ( y = f ( u )), а u в свою очередь является функцией аргумента х (u=φ(х)), все значения которой содержатся в области определения функции f(u). Тогда у=f[φ(х)] называется сложной функцией или функцией от функции. Например: y = sin x² ,

y = ln

Сложная функция является элементарной функцией, если она задается формулой, составленной из основных элементарных функций при помощи конечного числа алгебраических и трансцендентных операций.

Обратная функция.

Рассмотрим некоторую функцию у = f(х), которая по закону f каждому хХ ставит в соответствие уУ. Решим обратную задачу. Пусть функция y=f(x) монотонна. Возьмём теперь какое-то значение у₀  У. Тогда найдется в области Х такое значение х₀ при котором функция станет равной у₀ = f (x₀). Для того чтобы по известному значению у отыскать х нам потребуется закон g, в соответствии с которым, мы получим новую функцию х = g(у). Эта функция называется обратной для функции f (х).

Если перейти к привычному обозначению зависимой и независимой переменных, то есть у = g(х), то графически это выразится перестановкой одной оси координат на место другой. Для осуществления этой операции необходимо повернуть плоскость хоу на 180⁰ вокруг биссектрисы первого координатного угла. Таким образом, график функции у = g(х) получится как зеркальное отображение графика функции у = f(х) относительно биссектрисы первого координатного угла.

В случае, когда функция задана таблично, переход к обратной функции осуществляется простым переставлением столбцов в таблице.

Если функция задана аналитически, то для неё так же нужно выделить интервалы монотонности, а затем выполнять поиск обратной функции.