51.Приближенное решение уравнений. Метод Ньютона (касательных) Действительные корни .

Пусть дано уравнение , где дифференцируемая функция. Требуется найти все действительные корни с заданной точностью.

Графический способ. Приведём к виду где Оба эти уравнения равносильны, т.е. имеют одни и те же корни. Распределение членов выполняется с учётом простоты построения графиков и . Например: где и Для где и

После этого строятся графики и на одной координатной плоскости. Абсциссы точек пересечения этих кривых будут корнями уравнения а следовательно, и т.к. в общей точке и Отсутствие общих точек означает отсутствие действительных корней Т.о. это построение даёт возможность определить число действительных корней и их приближённые числовые значения.

В случае (1) мы имеем 2 действительных корня и , в (2) – нет. Мы нашли приближённые корни.

Для их уточнения можно использовать Метод деления отрезка пополам.

Методы уточнения приближённого корня.

Метод Ньютона (касательных). Пусть имеет корень , отделённый промежутком и пусть дважды дифференцируема на . Рассмотрим график . Проведём в касательную имеющую уравнение Эта касательная пересечёт ОХ в точке с абсциссой Докажем, что если возрастает, т.е и т.е. вогнута. При этих условиях, учитывая, что на получим

Т.к. также возрастает. Из имеем

а по формуле Лагранжа где а Т.к. т.е. или

Следовательно, и поэтому более точное приближение , чем Заменяя на можно повторить эту процедуру и найти которое находится между и Продолжая процесс, получим последовательность где (*)

Теорема. Последовательность имеет предел - точный корень уравнения

Метод уточнения корня с помощью формулы (*) называют методом Ньютона.

Итак метод Ньютона применим, если в промежутке содержится только 1 корень уравнения не должна иметь экстремумов и точек перегиба, т.е. и Кроме того, график должен пересекать ось Х, т.е. При этих условиях гарантируется существование области , которая распологается слева или справа от , в зависимости от того, где будут одинаковы знаки и

Эти условия являются достаточными. Т.е. при их нарушении может случиться так, что корень всё же находится по методу Ньютона.

52.Приближенное решение уравнений. Методы хорд, итераций и

комбинированный метод уточнения корня

Метод хорд.

Пусть точный корень и Если построить хорду , то абсцисса точки пересечения этой хорды с ОХ будет более близко к , чем нулевые приближения и .

Уравнение хорды

полагая получим

из двух отрезков и выберем тот, на концах которого имеет противоположные знаки, т.е. тот, который содержит Продолжая процесс, получим последовательность при

Абсолютная погрешность го приближения оценивается по формуле

где наименьшее значение на отрезке

Метод итерации. Пусть имеет корень Разрешим относительно

(*)

Пусть и

(А) где

Геометрически эти требования значат, что график должен быть монотонно возрастающим или убывающим в промежутке и притом должен располагаться более «полого» чем биссектриса 1-го координатного угла (если возрастает) и более «полого» чем если убывает.

Приводя к виду (*) мы преобразуем тождество к виду т.е. корнем

будет абсцисса точки , пересечения графика с

Метод итераций заключается в следующем:

(*)

Теорема. Если знакопостоянна на и по абсолютной величине строго меньше 1, т.е. где то последовательность (*) при имеет своим пределом точный корень , где

Комбинированный способ уточнения корня. Суть метода заключается в одновременном применении метода хорд и метода касательных на отрезке Метод основан на том, что при выполнении условий применимости метода касательных методы хорд и касательных дают приближения по разные стороны от точного значения. Поэтому после любого шага мы получаем корень с избытком и с недостатком и эти значения могут быть использованы в качестве новых приближений или и дающих новый отрезок выделения.