47.Асимптоты функции.
Довольно
часто требуется исследовать форму
кривой
при неограниченном возрастании
.
Важным частным случаем является тот,
когда исследуемая кривая при удалении
её переменной точки в бесконечность
(т.е. при
расстояния от начала координат до этой
точки) неограниченно приближается к
некоторой прямой.
Определение.
Прямая А
называется асимптотой кривой, если
расстояние
от точки
до этой прямой стремится к нулю.
Различают вертикальные асимптоты – т.е. параллельные OY, горизонтальные – т.е. параллельные OX и наклонные, т.е. не параллельные OY или OX.
Вертикальные асимптоты. Из определения следует, что если
,
то
прямая
есть асимптота кривой
,
и обратно, что если
есть асимптота, то выполняется одно из
написанных равенств.
Следовательно,
для нахождения вертикальных асимптот
нужно найти такие
,
чтобы при
.
Тогда
и будет асимптотой.
Горизонтальные асимптоты.
Если функция такова, что предел f(x) при х стремящемся в бесконечность равен b, сл-но, y = b – горизонтальная асимптота.
Наклонные асимптоты. Пусть имеет наклонную асимптоту
.
Определим
коэффициенты
и
.
Пусть
и
.
расстояние
от
до
.
По условию
Пусть
- угол наклона
к оси
из
;
т.к.
,
то
(2’)
.
При
этом из (2)
(2’)
и наоборот. С другой стороны,
и (2’) приобретает вид:
.
Итак, если (1) есть асимптота, то выполняется (3) и, наоборот, если выполняется (3), то (1) – уравнение асимптоты.
Определим теперь и . Вынося за скобки, получим
Т.к.
или
Зная
теперь
можно найти и
из (3)
Итак,
если
есть асимптота,
(*)
Обратное
также справедливо. Если существуют
пределы (*), то
есть асимптота. Если же хотя бы один из
пределов не существует, то
асимптоты не имеет.
48.Исследование кривых, заданных параметрически (астроида, циклоида)
и в полярной системе координат ( спираль Архимеда, логарифмическая спираль).
Пусть , исследуем аналогично .
Находим ОДЗ, периодичность, чётность.
Находим
,
при которых хотя бы одна из
или
обращается в нуль или терпит разрыв,
следовательно,
- критические точки.
Затем
в любом интервале
,
(а следовательно, и в любом
)
определяем знак
и тем самым находим области возрастания
и убывания
.
Это даёт также возможность определить
характер точек, соответствующих
.
Далее находим
(вторую производную) и, исследуя на
знак, определяем направления выпуклости
кривой на любом интервале. Для нахождения асимптот находим такие
,
что при
или
или
,
или и
и
.
Пример. 
(1’)
и
опр. для
,
но в силу периодичности Т=2П
.
Х – чётная, y - нечётная
Тогда
и
кривая
асимптот не имеет.
Далее (*)
при
(**)
-
обл. изм. t
x
y
Знак
убыв., возр.
-
убыв.
+
возр.
-
убыв.
+
возр.
Далее
:
при
- кривая вогнутая,
при
- кривая выпуклая. (астроида)
Циклоида |
x = t – sin t, y = 1 – cos t |
|
