38.Возрастание и убывание функций. Понятие об экстремуме.

Определение1. Функция y=f(x) называется возрастающей в промежутке (a,b), если для любых x₁, x₂(a,b) большему из них соответствует и большее значение функции.

x₁(a,b), x₂(a,b), x₂>x₁  f(x₂)>f(x₁)

Определение 2. Функция y=f(x) называется убывающей на (a,b), если для любых x₁, x₂(a,b) большему x соответствует меньшее значение f(x).

x₁(a,b), x₂(a,b), x₂>x₁  f(x₂)<f(x₁)

Значения x, при которых f(x) достигает своих наибольших или наименьших значений по сравнению с соседними, называют точками максимума и минимума.

Определение 3. x=x₀ - точка максимума f(x), а f(x₀) - максимум функции, если существует некоторая окрестность x₀ (т.е. x₀-, x₀+) такая, что значение функции в любой точке x₁(x₀-, x₀+) будет меньше, чем ее значение в x₀, то есть меньше, чем максимум f(x₀)

f(x₀+x)<f(x₀) при любом |x|<

Аналогично определяются точки максимума и минимума функции

f(x₀+x)>f(x₀) при любом |x|<. Точки минимума и максимума объединяются под общим названием – точки экстремума (экстремальные точки), а минимум и максимум функции – экстремумы функции.

39.Признак возрастания и убывания функции.

Теорема 1) Если f(x), дифференцируемая на отрезке [a,b], возрастает на этом отрезке, то f(x) неотрицательна на [a,b], то есть

f(x)0, x[a,b], если f(x),

2) Если f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема в (a,b), причем f(x)>0, x(a,b),  f(x) возрастает на [a,b].

Доказательство. 1-я часть. Пусть f(X) на [a,b]. Придадим X приращение X и рассмотрим

т.к. f(x)  f(x+x)>f(x), если x>0

f(x+x)<f(x), если x<0 Но в обоих случаях и следовательно , что и следовало доказать.

2-я часть. Пусть f(x)>0, x(a,b). Рассмотрим x₁ и x₂, x₁>x₂, x₁,x₂[a,b]. По теореме Лагранжа f(x₁)-f(x₂)= (x₁-x₂). По условию теоремы f()>0, x₁-x₂>0 и f(x₁)-f(x₂)>0  f(x) возрастает.

Аналогично формулируется теорема для убывающей функции:

Теорема. Если f(x), дифференцируемая на отрезке [a,b], убывает на этом отрезке, то f(x)0 на [a,b], то есть f(x)0, x[a,b], если f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема в (a,b), причем f(x)<0, x(a,b),  f(x) убывает на [a,b].

Геометрический смысл. Если f(x), касательная к кривой образует острый угол  с ОХ, или в некоторых точках угол =0  касательная параллельна оси ОХ, так как tg0. Если f(x), угол  - тупой (или =180^о в отдельных точках  параллельна оси ОХ), так как tg=f(x)0.

Таким образом, теоремы позволяют судить о возрастании или убывании функций по знаку производных.

40.Необходимое и достаточное условие существования экстремума.

Экстремальные значения f(x) и расположение точек экстремума характеризуют, в некотором смысле, изменение функции в зависимости от изменения аргумента.

Теорема 1. (Необходимое условие существования экстремума).

Если f(x) дифференцируема на (a,b) и при x=x₁ имеет max или min (x₁(a,b)), ее производная обращается в нуль в этой точке, то есть f(x₁)=0 .

Доказательство: Пусть x₁ - точка максимума, …При достаточно малых x, точка x₁+x независимо от знака x.(х₀ заменяем везде на х₁)

2. Пусть x>0  , переходя к пределу при x+0 получим: , как предел неположительной величины.

b) x<0 

Так как для дифференцируемой в x₀ функции производная слева равна производной справа  f(x₀)=0, теорема доказана.

Замечание. Если f(x) определена на [a,b], то она может достигать max или min только на (a,b). Так как ее поведение при x<a или x>b неизвестно.

Геометрический смысл: в точках min и max касательная параллельна ОХ.

Следствие. Если f(x) дифференцируема при любом x, то она может иметь экстремумы только в тех точках, в которых ее производная обращается в нуль. Обратное же, вообще говоря, неверно. То есть max или min не обязательно достигаются в точках, в которых f(x)=0.

функция может иметь экстремум лишь в 2-х случаях: либо в точках, где производная существует и равна 0, либо в точках, где f не существует (терпит разрыв).

Определение. Значения аргумента, при которых f(x)=0, или f(x) терпит разрыв, называются критическими точками или критическими значениями.

Поэтому для нахождения эктремумов находят все крит. точки, затем исследуют каждую из них, опираясь на теорему

Теорема 2. (Достаточные условия существования экстремума). Пусть f(x) непрерывна в некоторой окрестности критической точки x₁(a,b) и дифференцируема в этой окрестности, за исключением может быть самой x₁. Если при переходе слева направо через крит. т. производная меняет знак с + на -, то в x=x₁ функция достигает максимального значения, если же с - на + - минимум f(x).

Таким образом, если

Доказательство. Пусть f(x) изменяет знак с + на -, то есть рассмотрим случай a). Применим теорему Лагранжа:

f(x)-f(x₁)=f()(x-x₁), где (x,x₁)

1). Пусть далее x<x₁.  < x₁, f()>0, f()(x-x₁)<0 и следовательно f(x)-f(x₁)<0 или f(x)<f(x₁) (*)

2). x>x₁.  > x₁, f()<0, f()(x-x₁)<0 и следовательно f(x)-f(x₁)<0 или f(x)<f(x₁) (**)

Соотношения (*) и (**) показывают, что для любого x₁(a,b) f(x)<f(x₁)  f(x₁)=max f(x), x₁(a,b).

Аналогично доказывается вторая часть теоремы о достаточном условии минимума.

Геометрический смысл. Пусть x₁ достигается max f(x)  x< x₁, касательная к кривой образует острый угол , а при x< x₁,  - тупой. То есть до x₁ f(x) возрастает, а после x₁ f(x) убывает, таким образом в x₁ происходит переход от возрастания к убыванию.

Аналогично для минимума  f(x) убывает до x₁, а затем возрастает.

Если же f(x₃)=0, но и для x< x₃ и x< x₃ f(x) не изменяет знака  f(x) возрастает или убывает и до и после x₃ и экстремум не достигается.