35. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. Их геометрический смысл.

Теорема Ферма. Если f(x) непрерывна на (a,b) и в x₀(a,b) достигает максимума (минимума) и дифференцируема в x₀, то ее производная в этой точке равна 0:

f(x₀)=0

Доказательство. Допустим, что f(x₀) – максимум (минимум) функции. При достаточно малых x, точка x₀+x независимо от знака x.

1. Пусть x>0  , переходя к пределу при x+0 получим: , как предел неположительной величины.

b) x<0 

Так как для дифференцируемой в x₀ функции производная слева равна производной справа  f(x₀)=0, теорема доказана.

Аналогично проводится доказательство и для x₀ - точки минимума, и для случая строгих неравенств.

Геометрический смысл очевиден: касательная к графику f(x) в точке экстремума, в которой f(x) дифференцируема, параллельна оси OX.

Теорема Ролля. Если f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема в (a,b), а на концах [a,b] принимает равные значения: f(a)=f(b)=c, то в промежутке (a,b) найдется точка x₀ (по крайней мере одна), в которой f(x₀)=0.

Доказательство. Рассмотрим случай f(x)c, x[a,b], удовлетворяющий условиям теоремы:  f(x)=(c)=0 для любых x₀.

Если же f(x)c будучи непрерывной на [a,b], она достигает своих наибольших и наименьших значений – M и m (см. свойства непрерывной функции). При этом возможны 3 случая:

a) f(a)=f(b)=m,  f(x) достигнет наибольшего M в x₀(a,b), то есть внутренней точке [a,b]. В точке x₀ функция дифференцируема и тогда по теореме Ферма  f(x₀)=0.

b) f(a)=f(b)=M,  f(x) достигнет минимума в некоторой x₀(a,b), и снова, по теореме Ферма  f(x₀)=0.

c) Пусть теперь f(x) такова, что f (x₀)=M и  f (x₀)=m, x₀,x₀(a,b),  f(x₀)=0 и f( x₀)=0 по теореме Ферма.

Геометрический смысл теоремы Ролля: при выполнении условий теоремы Ролля на графике f(x) найдется хотя бы одна точка x₀, касательная в которой будет параллельна оси ОХ.

В частном случае, когда f(a)=f(b)=0 теорема Ролля имеет очень полезное для приложений толкование: Между двумя нулями дифференцируемой функции всегда заключен по крайней мере один нуль ее производной, то есть эта точка может оказаться max или min.

Теорема Коши. Если f(x) и (x) непрерывны на [a,b] и дифференцируемы в (a,b), при чем (x)0 на (a,b), то отношение конечных приращений этих функций на отрезке [a,b] равно отношению их производных в некоторой точке, которая может быть не единственной:

(b)(a) т.к. (x) 0 на (a,b)  т.Ролля.

Доказательство. Введем вспомогательную F(x)=f(x)-(x), где =const. Выберем теперь  такое, чтобы F(x) удовлетворяла условиям теоремы Ролля. Достаточно потребовать, чтобы F(a)=F(b). Другими словами:

F(a)-(a)=f(b)-(b)  - конечное значение, т.к. (b)(a)

Тогда хотя бы в одной точке c(a,b) F(c)=0  

Теорема Лагранжа (частный случай теоремы Коши). Пусть f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема в (a,b). Тогда конечное приращение f(x) на [a,b] равно произведению длины отрезка [a,b] на значение производной в некоторой внутренней точке (a,b):

f(a)-f(b)=f(c)(b-a) Полагая в теореме Коши (x)=x получим: (b)-(a)=b-a, (x)1  (c)=1 Поэтому (*) т.е. f(b)-f(a)=f(c)(b-a)

Геометрический смысл теоремы Лагранжа :

на произвольной дуге графика дифференцируемой функции всегда найдется хотя бы одна точка, в которой касательная будет параллельна хорде, стягивающей концы дуги.

Тот же геометрический смысл можно придать и теореме Коши, если рассматривать y=f(t) и x=(t) как параметрические уравнения кривой в плоскости XOY, а x считать параметром этой кривой.

36.Раскрытие неопределенностей вида (0/0) при х—>а и при x—> .. Правило Бернулли-Лопиталя.

правило Лопиталя  гласит, что для двух данных функций   и  , непрерывных и  дифференцируемых в точке  , таких, что  , предел при  , стремящемся  к  , отношения   равен пределу при   отношения производных,

Раскрытием неопределенности в математическом анализе называют нахождение предела , когда f(x) непрерывна вблизи a, или при х -> , если когда функция F(x) непрерывна в окрестности т. Х=а или на , но возможно не определена в самой этой точке, а непосредственная подстановка в функцию x=a приводит к выражению неопределенного вида , , 0, -, 1^,0^,⁰.

Основными видами неопределенностей являются две: и ,

раскрытие которых сводится к нахождению предела отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших величин. Остальные виды сводятся к двум последним.

1. Рассмотрим предел отношения б.м. двух величин , когда f(x) и (x) стремятся к 0 при х->а. Примем f(a)=(a)=0. Тогда f(x) и (x) будут непрерывными в x=a. Предположим также, что f(x) и (x) дифференцируемы вблизи x=a причем (a)0. В этом случае: , (L - конечно или нет)

Доказательство. Применим к f(x) и (x) теорему Коши на отрезке [x₀,a), где x₀ окрестности a, в которой f и  непрерывны и дифференцируемы (может за исключением a). Тогда

В силу того, что f(a)=(a)=0  , где c(x₀,a)

Если теперь x₀a,  и ca, поэтому

Теперь, если положить x₀=x, c=x 

то есть в данном случае правило Бернулли-Лопиталя выполняется.

2. Неопределенность (x). Докажем справедливость правила Бернулли-Лопиталя и в этом случае.

Итак требуется найти , если и .

Док-во. Перейдем к новому аргументу . Тогда, x  u0.

Тогда, принимая правило Бернулли-Лопиталя, получим

Возвращаясь к x, получим:

Правило остается в силе при x+ или x-.

37. Раскрытие неопределенностей вида (/) при х—>а и при х—>.. Правило

Бернулли-Лопиталя

3. Неопределенность (xa). Пусть теперь нужно найти , если .

Как и в случае 1., пусть f и  дифференцируемы вблизи a, и (x)0.

Тогда, если существует (конечный или бесконечный) , то

Доказательство. Пусть x₁ и x₂  окрестности x=a, и пусть x₁<x₂<a, если точки берутся слева от a, или x₁>x₂>a - если справа. Тогда на отрезке [x₁,x₂] или [x₂,x₁] к отношению f(x) и (x) применима теорема Коши:

c[x₁,x₂]

Далее пусть

Зададим теперь >0 и найдем ()>0 такое, что при |x-a|<() 

(*)

Выберем теперь x так, чтобы |x₁-a|<() и зафиксируем его. Тогда, согласно условию выбора x₂  |x₂-a|<() и |c-a|<(), так как c[x₁,x₂]. Поэтому, в силу (*) будем иметь:

или

Заменяя в этом неравенстве отношение производных отношением конечных приращений функций, получим

 (1)

Если теперь x₂a, не изменяя x₁, то, так как ,

другими словами при заданном , найдется ₁(), что при |x₂-a|<₁() 

или

Перемножая теперь почленно неравенства (1) и (2) (что возможно , так как все члены неравенства (2) положительны), получим

и

Другими словами разность между и постоянной A будет бесконечно малой величиной.

Следовательно и следовательно (3)

Пусть теперь . Тогда f(x)0 в некоторой малой окрестности a (иначе не было бы бесконечно большой величиной). С другой стороны , а поэтому к обратному отношению применимо предыдущее правило:

Из последней формулы вытекает справедливость и формулы (3).

4. Неопределенность (x). Правило применимо, если f(x) и (x) дифференцируемы при любом x, |x|<M, причем (x)0 и при условии, что существует (конечный или бесконечный) .

Для доказательства достаточно перейти к новому * и использовать правило для случая 3.

!!!!! Правило Бернулли-Лопиталя иногда приходится применять несколько раз, если появляется неопределенность в отношении . Для этого необходимо соблюдение условий применимости теоремы Коши к производной

.

Правило Лопиталя не применимо, если не существует . Однако это еще не означает, что не существует . Просто в этом случае правило Лопиталя нельзя использовать.