33. Производные высших порядков.

Пусть задана любая дифференцируемая f(x). y=f(x) есть также функция x. Поэтому можно ставить вопрос об отыскании производной и от этой функции.

Определение. Производную от производной данной функции, если она существует, называют производной второго порядка или второй производной и обозначают символом y=f(x). Таким образом (y)=y=f(x).

В связи с этим y=f(x) в дальнейшем будем называть производной первого порядка или первой производной.

Вторая производная имеет простой механический смысл. Вторая производная от пути по времени, как производная от скорости, есть скорость изменения скорости движения, то есть ускорение =v=S=f(t).

Аналогично можно ввести производные более высоких порядков: y- производная 3-го порядка, y^(IV) - 4-го и так далее.

Вообще говоря производной порядка n+1 от f(x) называют производную от производной n-го порядка для f(x): (y⁽ⁿ⁾)=y⁽ⁿ⁺¹⁾= f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)

При дифференцировании неявно заданных функций F(x,y) мы установили, что

y=Ф(x,y) Так как y=(y)  y= Ф(x,y(x)), то есть нужно взять производную от Ф по x, считая y=y(x). В результате мы получим y=(x,y,y)=(x,y,Ф(x,y))=(x,y), то есть опять y будет функцией только x и y. Этот процесс, при условии существования всех производных, может быть продолжен.

Пусть теперь функция задана параметрически: y=(y), x=(t)  . Так как y_xx=(y_x)_x, то вопрос сводится к отысканию производной по x от y_x=F(t), когда x=(t), то есть опять от функции, заданной параметрически: Применяя правило вторично, получим

34.Дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница .

Дифференциалы высших порядков определяются аналогично производным высших порядков.

Определение. Дифференциалом 2-го порядка (d²y) от f(x) называют дифференциал от ее дифференциала: d²y=d(dy)

Найдем его выражение через производную. Так как dy=ydx  (dx не зависит от x и следовательно dx есть постоянная относительно x и (dx)=0)

d²y=d(dy)=d(ydx)=(ydx)dx=(y)dxdx=y dx².

Таким образом второй дифференциал от f(x) есть произведение f(x) на квадрат dx -- dx²

d²y=ydx²

Аналогично вводятся дифференциалы высших порядков.

d⁽ⁿ⁺¹⁾y=d(dⁿy)

Отсюда находим, что

d⁽ⁿ⁾y= y⁽ⁿ⁾(dxⁿ) 

Дифференциалы, начиная со 2-го порядка, не обладают свойством инвариантности. Пусть y=f(u) и u=(x)  dy=y_u du

Так как u=(x)  du=u_xdx есть также функция x 

d²y=d(y_u)=d(y_u)du+y_ud(du)=y_udu²+y_ud²u

Таким образом в выражении d²y появляется дополнительное слагаемое.

Формула Лейбница

Формула Лейбница позволяет вычислить производную или дифференциал n-го порядка от произведения 2-х функций.

y=uv

y=uv+vu

y=uv+2uv+vu

y=uv+3uv+3uv+vu

…..

Отсюда вытекает общее формальное правило:

Чтобы найти производную (дифференциал) от (uv)⁽ⁿ⁾ , надо по формуле бинома Ньютона разложить n-ю степень суммы (u+v)ⁿ и затем заменить показатели степеней u и v указателями порядка производных, причем нулевые степени (u⁰ и v⁰), входящие в крайние члены разложения заменить самими функциями u и v (то есть, «производными нулевого порядка»).

Для дифференциала n-го порядка справедлива формула

dⁿ (uv)=(uv)⁽ⁿ⁾dxⁿ