4. Определение модели. Классификация моделей (в зависимости от сложности объекта, от оператора модели, от целей моделирования, от параметров задачи, от методом реализации).

Под моделью мы будем понимать систему, неотличимую от моделируемого объекта в отношении некоторых свойств, полагаемых существенными, и отличимую по всем остальным свойствам, которые полагаются несущественными; при этом отсутствие в модели несущественных элементов не менее важно, чем присутствие в ней существенных. Модель - упрощенное представление о реальном объекте, процессе или явлении.

Моделирование - построение моделей для исследования и изучения объектов, процессов, явлений. «Модель является представлением объекта в некоторой форме, отличной от формы его реального существования».

1. Классификация от сложности объекта моделирования.

В качестве объекта моделирования может выступать как некоторое материальное тело или оператор, так и природный, технологический или социальный процесс или явление. Все объекты моделирования можно разделить на две группы: простые и объекты-системы (рисунок 11.1). В первом случае при моделировании не рассматривается внутреннее строение объекта, не выделяются составляющие его элементы или подпроцессы. В качестве примера подобного объекта можно привести материальную точку в классической механике.

2. Классификация от оператора модели (подмодели).

В зависимости от оператора математические модели можно разделить как на линейные и нелинейные, так и в соответствии с конкретным видом оператора Любая математическая модель может рассматриваться как некоторый оператор А, который является алгоритмом или определяться совокупностью уравнений (алгебраических, обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), систем ОДУ (СОДУ), дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП), интегро-дифференциальных уравнений (ИДУ) и других).

Если оператор обеспечивает линейную зависимость "выходных" параметров Y от значений "входных" параметров Х, то математическая модель называется линейной. Линейные модели более просты для анализа.

В зависимости от вида оператора математические модели можно разделить на простые и сложные.

В случае, когда оператор модели является алгебраическим выражением, отражающим функциональную зависимость выходных параметров У от входных Х, модель будем называть простой моделью.

Сложная модель, включающая системы дифференциальных и интегральных соотношений, для своего исследования требует применения довольно сложных математических методов.

3. Классификация в зависимости от входных и выходных параметров модели.

В общем случае параметры, описывающие состояние и поведение объекта моделирования, разбиваются на ряд непересекающихся подмножеств:

- совокупность входных (управляемых) воздействий на объект;

- совокупность воздействий внешней среды (неуправляемых);

- совокупность внутренних (собственных) параметров объекта;

- совокупность выходных характеристик.

При построении моделей реальных объектов и явлений очень часто приходится сталкиваться с недостатком информации. Как правило, для любого исследуемого объекта распределение свойств, воздействия и начальное состояние известны с той или иной степенью неопределенности. Это связано с множеством трудно учитываемых факторов, с ограниченностью числа используемых параметров модели, с конечной точностью экспериментальных измерений.

При построении модели описание неопределенности параметров может быть осуществлено следующими способами:

1. Детерминированное - значения всех параметров модели определяются детерминированными величинами (т.е. каждому параметру соответствует конкретное целое, вещественное или комплексное число или соответствующая функция). Данный способ соответствует полной определенности параметров.

2. Стохастическое - значения всех или отдельных параметров модели определяются случайными величинами, заданными плотностями вероятности. В литературе наиболее полно исследованы случаи нормального (гауссова) и показательного распределения случайных величин.

3. Случайное - значения всех или отдельных параметров модели устанавливаются случайными величинами, заданными оценками плотностей вероятности, полученными в результате обработки ограниченной экспериментальной выборки данных параметров. Данная форма описания тесно связана с предыдущей. Однако в данном случае получаемые результаты моделирования будут существенным образом зависеть от точности оценок моментов и плотностей вероятности случайных параметров, от постулируемых законов распределения, объема выборок. 4. Интервальное - значения всех или отдельных параметров модели описываются интервальными величинами, заданными интервалом, образованным минимальным и максимально возможными значениями параметра.

5. Нечеткое - значения всех или отдельных параметров модели описываются функциями принадлежности соответствующему нечеткому множеству. Такая форма используется, когда информация о параметрах модели задается экспертом на естественном языке, а, следовательно, в "нечетких" (с позиции математики) терминах типа "много больше пяти", "около нуля".

4. Классификация от способа исследования модели.

Метод исследования модели относят к аналитическим, если он позволяет получить выходные величины в виде аналитических выражений, т.е. выражений, в которых используется не более чем счетная совокупность арифметических операций и переходов к пределу по натуральным числам. На практике для оценки величины параметра моделирования приходится ограничивать количество членов совокупности арифметических операций в аналитических выражениях некоторым конечным числом. Поэтому величина оценки параметра в этом случае получается приближенной, а модели, использующие подобный прием, называются приближенными.

В большинстве случаев при исследовании моделей приходится использовать алгоритмические подходы, позволяющие получить лишь приближенные значения искомых параметров.

При численном подходе совокупность математических соотношений модели заменяется конечномерным аналогом. Это чаще всего достигается дискретизацией исходных соотношений, то есть переходом от функций непрерывного аргумента к функциям дискретного аргумента. После дискретизации исходной задачи выполняется построение вычислительного алгоритма, то есть последовательности арифметических и логических действий, выполняемых на ЭВМ и позволяющих за конечное число шагов получить решение дискретной задачи. Полученное решение дискретной задачи принимается за приближенное решение исходной математической задачи.

5. Классификация в зависимости от целей моделирования.

Целью дескриптивных моделей (от лат. descriptio - описание) является построение законов изменения параметров модели. В качестве примера такой модели можно привести модель движения материальной точки под действием приложенных сил, использующая второй закон Ньютона. Задавая положение и скорость точки в начальный момент времени (входные параметры), массу (собственный параметр) и закон изменения прикладываемых сил (внешние воздействия), можно определить скорость и координаты материальной точки в любой момент времени (выходные параметры). Полученная модель описывает зависимость выходных величин от значений входных параметров. Поэтому дескриптивные модели являются реализацией описательных и объяснительных содержательных моделей на формальном уровне моделирования.