Свойства:
I. Величина определенного
интеграла не зависит от обозначения
переменной интегрирования, т.е. 
,
где х, t – любые буквы.
II. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю.
III. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный.
IV. Если промежуток интегрирования [a,b] разбит на конечное число частичных промежутков, то определенный интеграл, взятый по промежутке [a,b], равен сумме определенных интегралов, взятых по всем его частичным промежуткам.
V. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.
VI. Определенной интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций.
Интеграл с переменным верхним перделом. Формула Ньютона-Лейбница.
Рассмотрим функцию y = f(x), интегрируемую на отрезке [а, b]. Если х на промежутке [a, b], то функция f(x) интегрируема также на любом отрезке [а, х]. Предположим, что х меняется на отрезке [а, b], тогда на этом отрезке определена функция
(Переменную интегрирования обозначили буквой t, переменный верхний предел - буквой х).
Теорема 1. Если функция у = f(x) интегрируема на отрезке [а, b], то функция Ф(х) непрерывна на этом отрезке.
Теорема 2. Если подынтегральная функция непрерывна, то производная определенного интеграла с переменным верхним пределом существует и равна значению подынтегральной функции для этого предела. т.е.
Следствие 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то при любом х
Следствие 2. Определенный интеграл с переменным верхним пределом является одной из первообразных для непрерывной подынтегральной функции.
Другими словами, для любой непрерывной функции существует первообразная.
Эти функции не являются элементарными; первообразные указанных подынтегральных функций не выражаются через элементарные функции.
Все приведенные функции хорошо изучены, для них составлены таблицы значений, эти функции находят широкое применение.
Связь между определенными и неопределенными интегралами выражает следующая теорема Ньютона - Лейбница, называемая основной теоремой интегрального исчисления.
Теорема 3. Определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений любой ее первообразной для верхнего и нижнего предела интегрирования:
где F'(x)=f{x).
Эта формула называется формулой Ньютона - Лейбница; ее можно переписать в виде
левая часть второй формулы читается так: «двойная подстановка от а до b для функции F(x).
Замена переменной в определенном интеграле
При вычислении определенных интегралов с использованием формулы Ньютона-Лейбница предпочтительно жестко не разграничивать этапы решения задачи (нахождение первообразной подынтегральной функции, нахождение приращения первообразной). Такой подход, использующий, в частности, формулы замены переменной и интегрирования по частям для определенного интеграла, обычно позволяет упростить запись решения.
ТЕОРЕМА. Пусть функция φ(t)
имеет непрерывную производную на отрезке
[α,β], а=φ(α), в=φ(β) и функция f(х) непрерывна
в каждой точке х вида х=φ(t), где t
[α,β].
Тогда справедливо следующее равенство:
Эта формула носит название формулы замены переменной в определенном интеграле.
Подобно тому, как это было в случае неопределенного интеграла, использование замены переменной позволяет упростить интеграл, приблизив его к табличному (табличным). При этом в отличие от неопределенного интеграла в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования. Достаточно лишь найти пределы интегрирования α и β по новой переменной t как решение относительно переменной t уравнений φ(t)=а и φ(t)=в. На практике, выполняя замену переменной, часто начинают с того, что указывают выражение t=ψ(х) новой переменной через старую. В этом случае нахождение пределов интегрирования по переменной t упрощается: α=ψ(а), β=ψ(в).
ТЕОРЕМА. Пусть функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [а,b]. Тогда
(4)
где 
Формула (4) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.