Довжину вектора будемо позначати таким чином:

.

1. Додавання векторів.

Щ

Рис. 3.1

об побудувати суму даних векторів і , треба відкласти ці вектори від довільної точки та побудувати на них паралелограм. Сумою векторів буде діагональ, що виходить з початку векторів і (рис. 3.1).

Цей спосіб побудови називається правилом паралелограма.

Суму двох векторів можно побудувати ще й за правилом трикутника.

В

Рис. 3.2

ідкласти вектор від кінця вектора . Сумою векторів і буде вектор, що з’єднує початок з кінцем (рис. 3.2).

Щ

Рис. 3.3

об побудувати суму n даних векторів , треба від довільної точки відкласти , потім від його кінця відкласти і т.д., нарешті від кінця відкласти . Сумою векторів буде вектор, напрямлений від початку до кінця (рис. 3.3).

2. Віднімання векторів.

Щ

Рис. 3.4

об побудувати різницю векторів , треба відкласти ці вектори від довільної точки, з’єднати їх кінці та вибрати на цьому відрізку напрямок від кінця до кінця (рис. 3.4).

3. Множення вектора на число.

Добутком ненульового вектора на число k називається вектор, який має напрям вектора , якщо , і протинапрям, якщо (при , ).

Ці три операції називаються лінійними операціями з векторами.

4. Проекція вектора на вісь.

П

Рис. 3.5

роекцією вектора на вісь називається довжина направленого відрізка, початок якого є проекція початку вектора і кінець – проекція його кінця, яка береться із знаком плюс, якщо напрями відрізка і осі збігаються, і зі знаком мінус, якщо їх напрями протилежні (рис.3.5).

, .

Властивості проекції.

1. ;

б) ;

в) .

5. Прямокутна система координат.

Нехай у просторі задано три попарно перпендикулярні осі OX, OY, OZ. Координатами вектора на осі називаються проекції вектора на ці осі:

, , .

Якщо - одиничні вектори, що напрямлені по OX, OY, OZ, то .

Якщо , то координати вектора .

6. Правила дій над векторами, заданими своїми координатами.

Якщо , , то

;

;

.

7. Довжина вектора. Напрямлені косинуси вектора.

;

; ; ,

де - кути між та осями OX, OY, OZ.

Для напрямлених конусів справедливо співвідношення:

8. Поділ відрізка в даному відношенні.

Нехай точки А, В мають координати , .

Якщо відрізок АВ поділимо точкою М у відношенні: , то координати точки М знаходять за формулами:

; .

Якщо , то отримуємо формули для знаходження координат середини відрізка.

Поняття про лінію та її рівняння.

Лінія на площині розглядається (задається) як множина точок, що має певні і притаманні тільки їм геометричні властивості. Наприклад, коло радіусом R це безліч всіх точок площини, віддалених на відстань R від деякої фіксованої точки О (центра кола).

Введення на площині системи координат дозволяє визначати положення точки площини завданням двох чисел — її координат, а положення лінії на площині визначається за допомогою рівняння (тобто рівність, що зв'язує координати точок лінії).

Рівняння лінії (або кривої) на площині Оху називається таке рівняння F(х;у)=0 з двома змінними, якому задовольняють координати х і у кожної точці лінії і не задовольняють координати будь-якої точки, які не лежать на цій лінії.

Змінні x і у в рівнянні лінії називаються поточними координатами точок лінії.

Рівняння лінії дозволяє вивчення геометричних властивостей лінії замінити дослідженням його рівняння.

Так, для того, щоб встановити чи лежить точка A(x₀; y₀) на даній лінії, досить перевірити (не вдаючись до геометричних побудов), чи задовольняють координати точки А рівнянню цієї лінії у вибраній системі координат.

Приклад: Чи лежать точки К(—2; 1) і L(1; 1) на лінії ?

○ Підставивши в рівняння замість xіу координати точки К, отримаємо . Отже, точки К лежить на даній лінії. Точка L не лежить на даній лінії, оскільки .●

Завдання про знаходження точок перетину двох ліній, заданих рівняннями F₁(х; у)=0 і F₂(х; у)=0, зводиться до відшукування точок, координати яких задовольняють рівняння обох ліній, тобто зводиться до розв’язку системи двох рівнянь з двома невідомими:

Якщо ця система не має дійсних розв’язок, то лінії не перетинаються.

Аналогічним чином вводиться поняття рівняння лінії в полярній системі координат.

Рівняння F( ; )=0 називається рівнянням даної лінії в полярній системі координат, якщо координати будь-якої точки, лежать на цій лінії, і лише вони, задовольняють це рівняння. Пряму на площині можна задати за допомогою двох рівнянь:

(2.1)

де х і у — координати довільної точки М(х; у), які лежать на даній лінії, а t — змінна, називається параметром; параметр t визначає положення точки (х; у) на площині.

Наприклад, якщо , у, то значенню параметра відповідає на площині точка з координатами (3; 4), оскільки , .

Якщо параметр t змінюється, то точка на площині переміщається, описуючи дану лінію. Такий спосіб завдання прямої називається параметричним, а рівняння (2.1) — параметричними рівняннями лінії.

Щоб перейти від параметричних рівнянь лінії до рівняння виду F(х;у)=0, треба яким-небудь чином з двох рівнянь виключити параметр t. Наприклад, від параметричних рівнянь шляхом підстановки в друге рівняння, легко отримати рівняння або , тобто виду F(х; у)= 0. Проте, відмітимо, такий перехід не завжди доцільний і не завжди можливий.

рис. 9.

Лінію на площині можна задати векторним рівнянням, де t — скалярний змінний параметр. Кожному значенню t₀ відповідає певний вектор площини. При зміні параметра t кінець вектора опише деяку лінію (див. рис. 9).

Векторному рівнянню лінії в системі координат Оху відповідають два скалярні рівняння (2.1), тобто рівняння проекцій на осі координат векторного рівняння лінії є її параметричні рівняння.

Векторне рівняння і параметричне рівняння лінії мають механічний сенс. Якщо точка переміщається на площині, то вказані рівняння називаються рівняннями руху, а пряма — траєкторією точки, параметр t при цьому є час.

Отже, всякій лінії на площині відповідає деяке рівняння виду F(х; у)= 0.

Всякому рівнянню виду F(х; у)= 0 відповідає, взагалі кажучи, деяка лінія, властивості якої визначаються даним рівнянням (вираз «взагалі кажучи» означає, що сказане допускає виключення. Так, рівнянню (х-2)²+(у-3)²=0 відповідає не лінія, а точка (2;3); рівнянню на площині не відповідає ніякий геометричний образ).

У аналітичній геометрії на площині виникають два основні завдання. Перше: знаючи геометричні властивості кривої, знайти її рівняння; друге: знаючи рівняння кривої, вивчити її форму і властивості. На малюнках 10-18 приведені приклади деяких кривих і вказані їх рівняння.

або

рис. 10. Коло радіусом R

рис. 11. Лемніската Бернуллі рис. 12. Трьохпелюсткова роза Рівняння в прямокутних координатах: У полярних координатах її рівняння (х²+у²)²– ²(х²–у²)=0, > 0; має вигляд, де >0.

у полярних координатах: .

рис. 13. Равлик Паскаля

Рівняння в полярних координатах має вигляд .

рис. 14. Напівкубічна парабола рис. 15. Астроїда

Рівняння кривої у² = х³ або Рівняння в прямокутних координатах: ; параметричні рівняння:

рис. 16. Кардіоїда рис. 17. Спіраль Архімеда

Рівняння в полярних координатах рівняння кривої в полярних

має вигляд , координатах,

де . Кардіоїда — окремий випадок де - постійне.

равлика Паскаля ( ).

рис. 18. Циклоїда

Параметричні рівняння циклоїди мають вигляд де а > 0.

Циклоїда — це крива, яку описує фіксована точка кола, що котиться без ковзання по нерухомій прямій.

Кут між двома прямими. Умови паралельності і перпендикулярності двох прямих

Нехай прямі L₁ і L₂ задані рівняннями з кутовими коефіцієнтами і (див. рис. 24).

П отрібно знайти кут, на який треба повернути в позитивному напрямі пряму L1 навколо точки їх перетину до збігу з прямій L2.

○ Маємо (теорема про зовнішній кут трикутника) або . Я

рис. 24.

кщо , то

.

Але , , тому

, (2.12)

звідки легко отримаємо величину шуканого кута.

Якщо потрібно обчислити гострий кут між прямими, не враховуючи, яка пряма є першою, яка — другою, то права частина формули (2.12) береться по модулю, тобто .

Якщо прямі L₁ і L₂ паралельні, то і . З формули (2.12) виходить , тобто . і навпаки, якщо прямі L₁ і L₂ такі, що , то прямі паралельні. Отже, умовою паралельності два прямих є рівність їх кутових коефіцієнтів: .

Якщо прямі L₁ і L₂ перпендикулярні, то . Отже . Звідси, тобто (або ) . Справедливо і зворотне твердження. Таким чином, умовою перпендикулярності прямих є рівність .●