Метод найменших квадратів

1. Лінійна залежність

Нехай , , ... , — послідовність значень незалежної змінної, а , , ... , — послідовність відповідних значень залежної змінної.

Необхідно дібрати пряму, яка «найліпше» виражала б за- лежність між і . Це означає, що відхилення фак- тичних значень функції від дібраної прямої мають бути мінімальними.

Нехай є рівняння цієї прямої. Маємо , , ... , .

Відхилення від фактичних значень функцій становлять:

.

Ці відхилення мають бути додатними або від’ємними, тому пряма добирається так, щоб сума квадратів відхилень

була найменшою. Отже, треба визначити і так, щоб функція f досягала мінімуму. Необхідна умова існування мінімуму полягає в тому, що , .

Маємо , отже,

Обчислимо , звідки і , звідки .

Таким чином, ми дістанемо два рівняння з двома змінними — і :

, .

Розв’язування цих двох рівнянь дає значення і , які визначають пряму, що найліпше відбиває хід змінювання функції.

Приклад. Виробництво цементу (у сотнях тонн) і витрати електроенергії (на 1 тонну цементу за рік) за визначений період роботи цементної промисловості характеризуються значеннями, які зведено в такій таблиці:

1	8	80
2	10	72
3	12	65
4	13,5	70
5	14	68

Знайти пряму, яка відбиває залежність від .

 Складаємо таку таблицю:

1	8	80	640	64
2	10	72	720	100
3	12	65	780	144
4	13,5	70	945	182,25
5	14	68	952	196
Сума	57,5	355	4037	686,25

Рис. 5.22

, , , .

Отже, необхідна умова існування мінімуму суми квадратів відхилень подається так:

,

.

Таким чином, шукана пряма є (рис. 5.22).

Знаходження найбільшого та найменшого значень неперервної функції на замкненій обмеженій множині

Як випливає з теореми, функція, що неперервна на замкненій обмеженій множині , досягає на ній найбільшого та найменшого значень. Цих значень вона може набувати як у внутріш­ніх точках множини (кожна така точка є точкою екстремуму функції, у цій точці перші частинні похідні дорівнюють нулю або не існують), так і на її межі, тобто необхідне спеціальне дослідження межових точок множини .

Приклад. Знайти найбільше та найменше значення функції в області, обмеженій прямими , , , (рис. 5.20).

Рис. 5.20

 1. Дослідимо поводження функції всередині області KLMP. Знайдемо перші частинні похідні функції : : , . Прирівнявши їх до нуля, дістанемо стаціонарні точки та .

2. Дослідимо поводження функції на межі області. Відрізок має рівняння , . Підставивши у задану функцію, дістанемо . Треба знайти найбільше та найменше значення цієї функції на відрізку .

Маємо , отже, функція зростає і тому досягає найбільшого значення на кінцях відрізка, тобто в точках і .

Відрізок має рівняння , . Підставивши у задану функцію, дістанемо функцію z як функцію від змінної у: . Маємо на відрізку .

Отже, функція досягає найбільшого та найменшого значень на кінцях відрізка, тобто в точках і .

Відрізок має рівняння , . Підставивши у задану функцію, дістанемо функцію z як функцію від змінної х: , тобто . Маємо , звідки при . Отже, на відрізку функція може досягати найбільшого та найменшого значень у точках , та .

Відрізок має рівняння , . Підставивши у задану функцію, дістанемо . Маємо , отже, функція досягає найбільшого та найменшого значень на кінцях відрізка, тобто в точках , .

Таким чином, функція може досягти найбільшого та найменшого значень тільки в таких точках: , , , , , , .

Знаходимо , , , , , , .

Отже, , і це значення досягається в точці , , і це значення досягається в точці .