Вступ до теорії функції комплексного змінного. Тригонометрична і показникова форми комплексних чисел.
Геометричним
образом комплексного числа
є точка на координатній площині з
відповідними декартовими координатами.
Полярні координати цієї точки також є
важливими характеристиками комплексного
числа. Відповідний полярний радіус
називається модулем
комплексного числа, а полярний кут –
його аргументом:
,
.
Дійсна
та уявна частини комплексного числа
зв’язані з його модулем та аргументом
співвідношеннями
,
.
Як
відомо, кожній точці координатної
площини відповідає безліч значень
полярного куту, які відрізняються одне
від одного на
,
де
– ціле число.
Для
однозначного визначення аргументу
комплексного числа будемо обирати його
з певного проміжку довжиною
.
Таке значення аргументу називається
його головним
значенням
та позначається
.
Будемо вважати, що
належить проміжку
(досить часто також використовують
проміжок
).Тоді модуль та головне значення
аргументу комплексного числа доцільно
обчислювати за формулами
;
або
.
З урахуванням наведених вище співвідношень комплексне число можна представити у вигляді
.
Така форма запису комплексного числа називається тригонометричною, а множення, ділення та піднесення до натурального степеня виконуються за формулами
;
;
.
З
урахуванням формули Ейлера
комплексне число може бути записано у
показниковій
формі
.
Якщо комплексні числа записані у показниковій формі, то дії множення, ділення та піднесення до натурального степеня виконуються за правилами
;
;
.
Коренем
-го
степеня з комплексного числа
називається таке число,
-ий
степінь якого дорівнює
.
Обчислення кореня виконується за
формулою
,
,
тобто корінь -го степеня має значень.
Дії над комплексними числами заданими в тригонометричній і показниковій формі
Дійсна та уявна частини комплексного числа зв’язані з його модулем та аргументом співвідношеннями , .
Як відомо, кожній точці координатної площини відповідає безліч значень полярного куту, які відрізняються одне від одного на , де – ціле число.
Для однозначного визначення аргументу комплексного числа будемо обирати його з певного проміжку довжиною . Таке значення аргументу називається його головним значенням та позначається . Будемо вважати, що належить проміжку (досить часто також використовують проміжок ).Тоді модуль та головне значення аргументу комплексного числа доцільно обчислювати за формулами
;
або .
З урахуванням наведених вище співвідношень комплексне число можна представити у вигляді
.
Така форма запису комплексного числа називається тригонометричною, а множення, ділення та піднесення до натурального степеня виконуються за формулами
;
;
.
З урахуванням формули Ейлера комплексне число може бути записано у показниковій формі
.
Якщо комплексні числа записані у показниковій формі, то дії множення, ділення та піднесення до натурального степеня виконуються за правилами
;
;
.
Коренем -го степеня з комплексного числа називається таке число, -ий степінь якого дорівнює . Обчислення кореня виконується за формулою
, ,
тобто корінь -го степеня має значень.
Приклад. Записати комплексні числа у показниковій та тригонометричній формах.
а)
.
Розв’язок. Обчислимо модуль та головне значення аргумента комплексного числа.
,
.
;
,
або
.
Тоді
– тригонометрична форма,
та
– показникова форма.
б)
.
Розв’язок.
,
;
;
,
або
.
Тоді
– тригонометрична форма,
та
– показникова форма.