Упражнения

1. Докажите независимость множества аксиом {B₁, B₂, B₃} теории эквивалентности (пример 3.2).

2. Проверьте на независимость системы аксиом

а) теории порядка (упражнение 5.1);

б) теории строгого линейного порядка (упражнение 5.3);

в) теории проективных плоскостей (упражнение 5.4).

г) тории AT (пример 4.1).

Не всегда для той или иной аксиоматической теории целесообразно выбирать независимую систему аксиом: изящество системы аксиом может привести к громоздкости доказательств теорем теории.

Литература

1. Е. П. Емельченков, В. Е. Емельченков. Бинарные отношения. Отношение эквивалентности. // Математическая морфология. Смоленск: Изд-во СГМА, 1997. Том 2, вып. 2. С. 3-20.

2. Столл Роберт Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. М.: Просвещение, 1968.

Кафедра информатики

Смоленский государственный педагогический университет

как может «многовековой опыт человечества» (или какие угодно иные аргументы) подтвердить или опровергнуть тот факт, что слон на шахматной доске ходит исключительно по диагонали, - ведь этот факт представляет собой условное соглашение, входящее в определение слона как шахматной фигуры, и никакой проверке его истинность не подлежит.

Аксиоматическая теория, с успехом осуществляющая формализацию какой-нибудь интуитивной теории, является источником проникновения в природу этой теории, так как аксиоматическая теория строится без обращения к смыслу. Аксиоматическая теория, являющаяся формализацией нескольких теорий, привлекательна еще в известной мере своей «простотой» и "эффективностью". Под "простотой» мы здесь понимаем то, что для любой из конкретных теорий, служащих интерпретациями нашей аксиоматической теории, удается обойтись одним и тем же числом исходных допущений, нужных для получения конкретных теорем любой из этих теорий. Говоря об «эффективности», мы имеем в виду то, что каждая теорема аксиоматической теории может быть автоматически перенесена на любую из ее интерпретаций.

Побочным результатом развития аксиоматической теории, формализующей несколько теорий, является возможности сравнительно простого дальнейшего расширения «обогащения этих аксиоматизированных теорий. Например, теорема какой-нибудь теории может быть выведена из теоремы теории вторичного происхождения, которая, в свою очередь, может быть источником новых результатов для другой родственной теории. Кроме возможности обогащения содержания родственных теорий, обусловленного общей для них аксиоматизацией, здесь возможно также «перекрестное оплодотворение» теорий методами подхода к решению рассматриваемых в них проблем. Скажем, метод доказательства, типичный для какой-нибудь теории, может оказаться совершенно новым и плодотворным для другой теории, а сама мысль о перенесении метода на другую теорию может быть подсказана идеями некоторой третьей теории.

Чему Гансик не научился, того Ганс знать не будет.

Немецкая пословица