16. Представление чисел в нормальной форме
Для
представления чисел с плавающей точкой
(ЧПТ) используется полулогарифмическая
форма записи числа:
,
где q-
основание системы счисления, p
- порядок числа, m
- мантисса числа N.
Положение точки определяется значением порядка p. С изменением порядка точка перемещается (плавает) влево или вправо.
Для установления однозначности при записи чисел принята нормализованная форма записи числа. Мантисса нормализованного числа может изменяться в диапазоне: 1/q ≤ | m | < 1. Таким образом, в нормализованных числах цифра после точки должна быть значащей.
Нормальной
формой числа с плавающей запятой
называется такая форма, в которой
мантисса (без учёта знака) находится на
полуинтервале [0; 1)
.
Число с плавающей запятой, находящееся
не в нормальной форме, теряет точность
по сравнению с нормальной формой. Такая
форма записи имеет недостаток: некоторые
числа записываются неоднозначно, поэтому
распространена (особенно в информатике)
также другая форма записи — нормализованная,
в которой мантисса десятичного числа
принимает значения от 1 (включительно)
до 10 (не включительно), а мантисса
двоичного числа принимает значения от
1 (включительно) до 2 (не включительно)
(
).
В такой форме любое число (кроме 0)
записывается единственным образом.
Недостаток заключается в том, что в
таком виде невозможно представить 0,
поэтому представление чисел в информатике
предусматривает специальный признак
(бит) для числа 0.
Так как старший разряд (целая часть числа) мантиссы двоичного числа (кроме 0) в нормализованном виде равен «1», то при записи мантиссы числа в ЭВМ старший разряд можно не записывать, что и используется в стандарте IEEE 754. В позиционных системах счисления с основанием большим, чем 2 (в троичной, четверичной и др.), этого свойства нет.
50. JK-триггер. Схема и таблица истинности JK-триггера
JK-триггер
– универсальный
триггер, который совмещает в себе
свойства D-,
RS-,
T-триггеров.
Он позволяет раздельную установку
состояний 0 и 1, но способен при одновременном
воздействии входных сигналов
функционировать, как Т-триггер. Входы
J
и K
JK-триггера
аналогичны входам R
и S
RS-триггера.
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
17. Выполнение арифметических операций над числами в нормальной форме
Сложение.
Так как числа с разными порядками суммировать нельзя, то для сложения двух чисел в нормальной форме представления необходимо выполнить операцию выравнивания порядков.
Г
де
– мантиссы,
порядки.
Н
еобходимо
предварительно привести их к общему
порядку, то есть преобразовать одно из
слагаемых следующим образом:
Преобразованная мантисса должна быть правильной дробью, поэтому преобразованию всегда подвергается меньшее слагаемое, так как в противном случае может произойти переполнение разрядной сетки мантиссы преобразованного числа.
Мантисса может переполнить разрядную сетку, при этом использование модифицированных кодов позволяет не только отметить факт переполнения, но и восстановить правильный результат. Это обеспечивается сдвигом мантиссы на одну позицию в сторону младших разрядов и увеличением порядка на 1.
При сложении чисел в нормальной форме можно выделить 4 этапа:
Уравниваются порядки слагаемых. Меньший порядок увеличивается до большего, а мантисса преобразуемого числа сдвигается вправо на соответствующее число разрядов. С этой целью производится вычитание порядков чисел. Знак и модуль разности будут определять, соответственно, какое из слагаемых нужно преобразовать и на сколько нужно сдвинуть мантиссу.
Производится преобразование мантисс слагаемых в один из модифицированных кодов, дополнительный или обратный, затем производится сложение мантисс по правилу сложения чисел с плавающей точкой.
В случае необходимости производится нормализация результатов.
Результат переводится в прямой код, ему приписывается общий порядок и округляется.
Умножение.
В двоичной системе счисления таблицы умножения описывают функцию конъюнкции:
При умножении конъюнкция составляет матрицу размером N*N.
Пусть N = 4:
Разряды
сомножителей конъюнкции (с 1-го по 4-ый)
обозначены двузначными числами,
состоящими из номеров разряда сомножителей,
а для произведения С указаны веса его
разрядов от
до
.
Матрица имеет симметричный вид.
Наклонные
линии, содержащие конъюнкции, являются
произведением одного сомножителя на
разряд другого. Умножение может
выполняться, к примеру, по схеме:
Здесь А и В - множители, N - их разрядность. Начальное значение суммы S устанавливается в блоке 3. В блоке 4 организуется цикл из N итераций (повторений), выполняемых за N тактов . Блок 5 разрешает работу блока 6 лишь при значении В(1)= 1 и реализует функцию конъюнкторов, умножающих разряды множимого А на первый младший разряд В(i) множителя В. Блок 7 сдвигает на 1 позицию вправо числа В и S, при этом место младшего разряда В(1) множителя занимает следующий по старшинству разряд. По окончанию всех итераций блок 8 выводит S - результат умножения.
В данном способе вычисления выполняются начиная с младшего разряда множителя В с изменением взаимного положения чисел S и А путём сдвига суммы S.
Деление.
Операция деления выполняется над числами А - делимым и В - делителем. Её результатом является частное С и остаток D. А = ВС + D, |D| < В.
Операция деления реализуется через многократное вычитание делителя В из делимого А. Это достигается сложением чисел в обратном и дополнительном кодах. Наиболее простой способ деления описывает алгоритм последовательного вычитания:
Е
сли
условие А < В не выполняется, то число
А умножается на величину В, при этом
значение частного увеличивается на 1 и
происходит возврат к блоку 4. Если
выполняется условие А < В, мы выводим
частное С и остаток D.
Описанный алгоритм относится к целочисленному делению и применяется для выполнения операций над числами в естественной форме представления (то есть с фиксированной точкой). Числа с плавающей точкой обрабатываются с использованием точностного деления, которое выполняется над нормализованными мантиссами чисел.
Точностное деление определяет частное с заданным количеством разрядов, а остаток игнорируется. Такое деление характеризуется алгоритмом с восстановлением остатка.
