Метод резолюций в алгебре высказываний

Определение. Пусть для некоторой переменной X дизъюнкты представимы в виде , . Тогда дизъюнкт называется резольвентой дизъюнктов по переменной X и обозначается Res_X .

Резольвента дизъюнктов по некоторой переменной X называется резольвентой дизъюнктов и обозначается Res . По определению Res =0.

Определение. Резолютивным выводом формулы  из множества дизъюнктов называется такая последовательность формул , что:

1. _n=;

2. каждая из формул _i (i=1,…,n) либо принадлежит множеству S, либо является резольвентой предыдущих формул _j, _k при некоторых 1j,ki.

Теорема. Множество дизъюнктов противоречиво в том и только том случае, если существует резолютивный вывод значения 0 из множества S.

Так как по критерию логического следования соотношение

|=

равносильно условию

|=,

то справедлив следующий результат.

Следствие (Проверка логического следования формул).

Пусть для формул формула имеет КНФ .

Тогда логическое следование |=  равносильно существованию резолютивного вывода значения 0 из множества дизъюнктов .

Алгебра логических значений

Определение. Алгеброй называется непустое множество A с фиксированным набором операций f₁,f₂,…,f_k, имеющих соответствующие определенные арности n₁,n₂,…,n_k. При этом множество A называется базисным множеством алгебры и набор символов операций ={f₁,f₂,…,f_k} соответствующей арности n₁,n₂,…,n_k называется алгебраическим типом (или сигнатурой) алгебры.

Такая алгебра сокращенно обозначается (A;f₁,f₂,…,f_k ), или (A;), или просто буквой A и называется алгеброй типа , или сокращенно -алгеброй.

Пример алгебры дает множество {0,1} истинностных значений высказываний с n-арными операциями , которые являются функциями истинностных значений формул логики высказываний , образованных с помощью n пропозициональных переменных .

Формула определяет унарную операцию , которая обозначается символом и называется отрицанием или дополнением переменной .

Формулы , определяют бинарные операции , , которые обозначаются соответственно символами , и называются дизъюнкцией и конъюнкцией переменных ,y.

Операция иногда называется также объединением или суммой переменных ,y и обозначается соответственно через или .

Операция иногда называется также пересечением или произведением переменных ,y и обозначается соответственно через или .

Алгебра B=({0,1},,,) впервые была введена в 19-ом веке английским математиком Дж.Булем с целью применения в логике математических методов.

Поэтому эта алгебра называется алгеброй Буля или алгеброй логических значений.

Теорема. Алгебра Буля B=({0,1},,,) удовлетворяет свойствам:

1. , – ассоциативность дизъюнкции и конъюнкции;

2. , – коммутативность дизъюнкции и конъюнкции;

3. , – идемпотентность дизъюнкции и конъюнкции;

4. , – дистрибутивность соответственно конъюнкции относительно дизъюнкции и дизъюнкции относительно конъюнкции;

5. – идемпотентность дополнения;

6. , – законы де Моргана;

7. , – законы поглощения;

8. , – характеристическое свойство дополнения,

9. , – характеристическое свойство наибольшего элемента 1,

10. , – характеристическое свойство наименьшего элемента 0.