Формальные грамматики

Определение. Грамматикой называется алгебраическая система , состоящая из непустых конечных множеств А,G и конечного бинарного отношения  между словами из множества G⁺ и словами из множества (AG)* . Множество А называется алфавитом грамматики и множество V=AG – полным словарем грамматики. Элементы множества G не принадлежат алфавиту А и называются грамматическими (или металингвистическими) символами грамматики. Элементы (u,v) отношения  называются правилами грамматики и символически обозначаются uv . В этом случае говорят, что слово v получается из слова u по правилу .

Правила грамматики позволяют преобразовать слова ее полного словаря. Для любого g₀G образуется некоторое множество слов .

Определение. Пусть у,z V* – слова над полным словарем V грамматики . Будем говорить, что:

• слово z непосредственно выводится из слова у и писать ,если z можно получить из у заменой некоторого его подслова u на слово w по некоторому правилу грамматики uw,;

• слово z выводится из слова у и писать ,если z можно получить из слова у конечным числом замен некоторых подслов по некоторым правилам грамматики.

Определение. Для произвольно фиксированного грамматического символа g₀G множество всех слов над алфавитом А, которые выводятся из g₀, обозначается и называется языком, порождаемым грамматикой и начальным символом g₀G.

Таким образом, по определению

.

Примеры.

1. Пусть грамматика имеет однобуквенный алфавит А = {a}, один грамматический символ g₀G, g₀ а и два правила: g₀а, g₀аg₀.

Схематически процесс построения языка можно изобразить на следующей диаграмме:

		a		aa		aaa	aaaa
g0		ag0		aag0		aaag0	…

={a, aa, ааа, aaaa,…}=A⁺.

2. Пусть грамматика имеет двухбуквенный алфавит А={a,b}, один грамматический символ g₀G, g₀ а,b и три правила: g₀а, g₀аba, g₀аg₀a.

	a		aaa		aaaaa
g0		ag0a		aag0aa		aaag0aaa
	aba		aabaa		aaabaaa

={a,aba, а³, ,a⁵, ,…}.

В качестве еще одного применения грамматик рассмотрим общепринятый подход к языкам программирования на примере построения известного языка ALGOL 60.

Алфавит А такого языка состоит из букв, цифр, алгебраических символов и специальных зарезервированных слов, его грамматическими символами являются некоторые подмножества множества А* и, наконец, имеются определенные грамматические правила, по которым строятся программы этого языка.

Грамматика с алфавитом

А={А,В,...,Z,а,b,...,z,0,1,…,9,+,,*,/,,,=,,<,,>,,,,,;,,:,(,),[,], BEGIN, TRUE, FALSE, GOTO, FOR, STEP, UNTIL, END}

и множеством грамматических символов G, состоящим из множеств I,U,R,В,D,L,… подмножеств множества A^*, которые обозначаются символами <идентификатор>, <целое без знака>, <вещественное>, <булево>, <цифра>, <буква>,… и неявно определяются последовательностью уравнений вида:

I = L  IL  ID, U = D  UD и т.д.,

где IL,ID,UD – произведения подмножеств в полугруппе слов А*.

Эти уравнения определяются соответствующими правилами языка ALGOL:

<идентификатор> ::= <буква> | <идентификатор><буква> | <идентификатор><цифра>,

<число без знака> ::= <цифра>|<число без знака><цифра>, …

Пусть g₀ – произвольный начальный символ, удовлетворяющий условию g₀A и  – множество правил грамматики вида: g₀I, g₀g₀D, g₀g₀7 и т. п. Языки, порождаемые такими грамматиками с произвольным конечным алфавитом А и определяемым уравнениями множеством грамматических символов GА^*, называются языками типа ALGOL.

Определение. Язык LA⁺ называется языком, порожденным грамматикой (или языком типа 0), если для некоторой грамматики с начальным символом g₀.

Теорема 1. Язык LA⁺ в том и только том случае порождается некоторой грамматикой, если он последовательно порождается некоторой эффективной процедурой (алгоритмом) P, т.е. , где каждый элемент является результатом применения процедуры P к последовательным значениям .

Такие языки называются рекурсивно перечислимыми.

Определение. Грамматика называется:

• контекстно-зависимой (или типа 1), если любое ее правило имеет вид для некоторых , , ;

• контекстно-свободной (или типа 2), если любое ее правило имеет вид для некоторых и ;

• праволинейной (или рациональной, или типа 3), если любое ее правило имеет вид или для некоторых и .

Для каждого типа обозначим K_i класс всех языков, порожденных грамматиками типа i. Известно, что , причем все эти включения строгие.

Теорема 2. Язык LA⁺ в том и только том случае порождается некоторой контекстно-зависимой грамматикой, если найдется такая эффективная процедура (алгоритм), которая для любого слова wA⁺ позволяет определить, принадлежит ли это слово языку L или нет.

Такие языки называются рекурсивными.

Теорема 3. Язык LA⁺ в том и только том случае порождается некоторой контекстно-свободной грамматикой, если он является языком типа языка программирования ALGOL.

Теорема 4. Язык LA⁺ в том и только том случае порождается некоторой праволинейной грамматикой, если он получается из однобуквенных языков с помощью алгебраических операций сложение +, умножение  и итерация ⁺.

Такие языки называются рациональными, поскольку они определяются формулами с постоянными символами и символами трех алгебраических операций +,  и ⁺. Например, рациональный язык в примере 2 определяется формулой .

Так как конструктивные объекты можно кодировать словами конечного множества A (например, состоящего из двоичных символов 0 и 1), то алгоритм моделируется устройством, перерабатывающим слова алфавита A.

Пусть А – произвольное конечное множество, называемое алфавитом.

Элементы aА называются буквами.

Словом над алфавитом А называется конечная последовательность букв алфавита А.

Слово без букв называется пустым словом и обозначается символом .

Обозначим символом множество всех непустых слов над алфавитом и символом – множество слов .

На этих множествах определена операция умножения слов по следующему правилу:

любым двум словам , ставится в соответствие слово

,

полученное в результате приписывания к первому слову второго слова .

Подмножества множества называются языками над алфавитом А. Для языков K,L определяются алгебраические операции:

1. сложение K+L = { u : u  K или u  L };

2. умножение и ;

итерация для всех nN}. Примеры.

1. Для однобуквенного алфавита A={a} словами являются последовательности: a, aa, aaa, …

В этом случае множества слов и являются бесконечными множествами, которые позволяют кодировать сколь угодно большие конечные множества B с помощью отображений .

Языками над алфавитом A={a} являются всевозможные множества слов, образованных из одной буквы a.

2. Для двухэлементного алфавита A={a,b} словами являются последовательности: a, b, aa, ab, ba, bb,…

В этом случае множество слов и также бесконечны.

Языками над алфавитом A={a,b} являются всевозможные множества слов, образованных из двух букв a,b.