Метод семантических таблиц

Рассматривается интерпретация M формул языка УИП сигнатуры .

Семантической таблицей называется упорядоченная пара множеств формул , где – множество истинных для рассматриваемой интерпретации M формул и – множество ложных для рассматриваемой интерпретации M формул.

Семантическая таблица называется выполнимой, если существует такая интерпретация M и такая оценка предметных переменных , что

• для любой формулы

• для любой формулы

Примеры.

1. Семантическая таблица

Выполнима для двухэлементной интерпретации.

2. Семантическая таблица

невыполнима.

Теорема (о табличной проверке общезначимости формул).

Для любой формулы  языка УИП сигнатуры  условие выполняется тогда и только тогда, когда семантическая таблица невыполнима.

Семантическая таблица называется

• закрытой, если

• атомарной, если множества состоят из атомарных формул.

Предложение. Каждая закрытая семантическая таблица невыполнима и каждая незакрытая атомарная семантическая таблица выполнима.

Следствие. Если для формулы  языка УИП сигнатуры  выполнимость семантической таблицы сводится к выполнимости некоторой закрытой семантической таблицы, то формула  общезначима.

Правила корректного преобразования семантических таблиц, сохраняющие выполнимость этих таблиц, называются правилами табличного вывода.

Для семантических таблиц такие правила символически записываются выражениями вида или , которые означают, что таблица выполнима в том и только том случае, если выполнима таблица (или, соответственно, одна из таблиц ). Основные правила табличного вывода

где в правилах формула (t) – результат замены всех вхождений переменной x в формулу (x) термом t, переменные которого не попадают в формуле в области действия кванторов по этим переменным,

и в правилах формула (c) – результат замены всех вхождений переменной x в формулу (x) постоянным символом c, который не содержится ни в формуле ни в формулах из множеств

Лемма (корректность основных правил табличного вывода).

Для всех основных правил табличного вывода вида или таблица выполнима в том и только том случае, если выполнима таблица (или, соответственно, одна из таблиц ).

Табличным выводом для семантической таблицы называется корневое дерево, корнем которого является таблица и вершинами являются такие семантические таблицы, что из вершины в вершину (и в вершину ) идет дуга в том и только том случае, если или являются правилами табличного вывода. При этом листьями такого дерева являются закрытые или атомарные таблицы.

Табличный вывод называется успешным, если он является конечным деревом, все листья которого являются закрытыми таблицами.

Теорема полноты табличного вывода. Семантическая таблица невыполнима в том и только том случае, если для этой таблицы существует успешный табличный вывод.

Следствие. Формула  языка УИП сигнатуры  общезначима в том и только том случае, если для семантической таблицы существует успешный табличный вывод.