Исчисление предикатов

Множество аксиом Ax(ИП) исчисления предикатов описывается пятью схемами аксиом – тремя определенными в предыдущем разделе схемами , в которых являются произвольными формулами исчисления предикатов, и двумя новыми схемами:

для произвольной формулы в которую y не входит связно;

для таких формул , что x в формулу не входит свободно.

Исчисление предикатов имеет два правила вывода – правило modus ponens (сокращенно, MP) и правило обобщения (сокращенно, Gen), которые для произвольных формул исчисления предикатов символически записываются следующими схемами:

и .

Определение. Формула  называется теоремой исчисления предикатов, если найдется такая последовательность , в которой = и каждая формула либо является аксиомой, либо получается из некоторых предыдущих формул этой последовательности по одному из правил вывода MP или Gen. При этом называется выводом или доказательством формулы .

Вывод формулы  обозначают | и говорят, что « есть теорема». Множество всех таких теорем обозначается символом Th(ИП) и называется теорией исчисления предикатов.

Цель построения исчисления предикатов - определение такой теории Th(ИП), которая совпадает с множеством тавтологий T_АП.

Лемма 1.

Справедливы следующие утверждения:

1. всякая аксиома ИП является тавтологией;

2. результат применения правил вывода MP и Gen к тавтологиям является тавтологией;

3. любая теорема ИП является тавтологией АП, т.е. имеет место включение Th(ИП)T_АП.

Доказательство T_АПTh(ИП) было получено австрийским математиком К.Геделем в 1930 году.

Теорема полноты ИП.

Формула исчисления предикатов в том и только том случае является тавтологией, если она есть теорема ИП, т.е. выполняется равенство T_АП=Th(ИП).

Таким образом, ИП является адекватным инструментом получения логических законов.

Теорема о непротиворечивости ИП.

В исчислении предикатов невозможно доказать никакую формулу  вместе с ее отрицанием .

С другой стороны, английский математик А.Черч в 1936 году доказал следующий принципиально важный результат.

Теорема о неразрешимость ИП.

Не существует универсальной эффективной процедуры (алгоритма), которая для любой формулы определяет, является ли эта формула теоремой ИП.

Таким образом, исчисление предикатов в отличие от исчисления высказываний является не только адекватным, но и безальтернативным инструментом получения логических законов.

Аксиоматические теории первого порядка

При исследовании конкретной математической теории фиксируют некоторые наборы исходных предикатных символов соответствующей арности , исходных функциональных символов соответствующей арности и исходных предметных символов .

Множество называется алгебраическим типом или сигнатурой математической теории.

Принципиальное отличие УИП от ИП заключается в следующем.

1. Алфавит УИП состоит из предметных переменных, логических и вспомогательных символов, а также некоторых исходных предикатных символов соответствующей арности , некоторых исходных функциональных символов соответствующей арности и некоторых исходных предметных символов .

В результате элементы области интерпретации такого языка будут описываться не только с помощью предметных переменных, но и с помощью так называемых термов – специальных выражений языка, которые индуктивно определяются следующим образом:

а) все предметные переменные и предметные символы являются термами,

б) если f – сигнатурный n-арный функциональный символ и – термы, то выражение является термом.

2. Формулы УИП определяются по аналогии с формулами ИП за исключением исходного шага индукции – определения атомарных формул, которые в данном случае имеют вид выражений , для любых термов и сигнатурных n-арных предикатных символов P.

Записывают , если в формулу  входят предметные переменные .

Формула без свободных вхождений переменных называется замкнутой формулой или предложением.

3. Множество аксиом УИП описывается пятью определенными в предыдущем разделе схемами аксиом , в которых теперь являются произвольными формулами УИП, и дополнительной системой формул  специальных аксиом рассматриваемой математической теории. Аксиомы первого вида называются логическими и аксиомы второго вида – нелогическими аксиомами УИП.

4. Правилами вывода УИП являются правило modus ponens (MP) и правило обобщения (Gen).

5. Формула  называется теоремой УИП, если найдется такая конечная последовательность формул , в которой = и каждая формула либо является логической аксиомой из схем , либо является нелогической аксиомой из множества , либо получается из некоторых предыдущих формул этой последовательности по одному из правил вывода MP или Gen.

Последовательность формул называется выводом или доказательством формулы .

Вывод формулы  сокращенно обозначают символом | и говорят, что « есть теорема». Множество всех таких теорем обозначается символом Th_() и называется элементарной теорией (или теорией первого порядка) узкого исчисления предикатов сигнатуры  с множеством аксиом .

Принципиальное отличие интерпретации формул языка УИП от описанной ранее интерпретации формул алгебры предикатов заключается в том, что определение истинности формул УИП сигнатуры  вводится с помощью интерпретации этого языка в конкретных алгебраических системах с первоначально фиксированными предикатными, функциональными и предметными символами сигнатуры .

Для придания содержательного смысла формулам УИП сигнатуры  сначала задается область интерпретации – непустое множество M, которое является областью возможных значений всех предметных переменных, и затем на этом множестве M для каждого символа сигнатуры фиксируется соответствующий математический объект: для каждого предикатного символа арности фиксируется -арное отношение на множестве M, для каждого функционального символа арности фиксируется -арная алгебраическая операция на множестве M и для каждого предметного символа фиксируется элемент в множестве M.

В результате получается алгебраическая система с основным множеством M, которая называется алгебраической -системой и обозначается или просто . Такая система называется также интерпретацией языка УИП сигнатуры .

Конкретные значения предметным переменным по-прежнему присваиваются с помощью оценок предметных переменных, т.е. отображений  таких переменных в область интерпретации M.