21. Обратная функция

Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.

Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение   относительно  . Если оно имеет более чем один корень, то функции обратной к   не существует. Таким образом, функция   обратима на интервале   тогда и только тогда, когда на этом интервале она инъективна.

Для непрерывной функции   выразить   из уравнения   возможно в том и только том случае, когда функция   монотонна (см. теорема о неявной функции). Тем не менее, непрерывную функцию всегда можно обратить на промежутках её монотонности. Например,   является обратной функцией к   на  , хотя на промежутке   обратная функция другая:  .

22. Дифференциал

Дифференциа́л - линейная часть приращения функции.

Дифференциал функции   в точке   может быть определён как линейная функция

где   обозначает производную   в точке  .

Таким образом   есть функция двух аргументов  .

Дифференциал может быть определён напрямую, т.е., без привлечения определения производной как функция   линейно зависящая от   и для которой верно следующее соотношение

23. Производные высших порядков.

Производной  n-го порядка от функции     называется производная от производной (n - 1)-го порядка:

24. Основные теоремы дифферинциального исчисления

Кольцо непрерывных на   и гладких на   функций обладает рядом важных свойств:

• Теорема Ролля: если  , то имеется точка   максимума или минимума, в которой   обращается в нуль.

• Теорема Лагранжа: существует такая точка  , что

• Теорема Коши: если   на  , то существует такая точка  , что

25. Правило Лопиталя

Правило Бернулли^[1]-Лопита́ля — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида   и  . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Из теоремы Коши выводят правило Лопиталя: если   или  , и   на  , то

причём существование второго предела влечёт существование первого.

26. Формула Тейлора. Оценка остатка

Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции вокрестности некоторой точки.

Из теоремы Лагранжа выводят формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа: на любом отрезке   найдутся такие точки  , что

где

Оценка остатка

;

27. Применение формулы Тейлора.

В определении функции   не говорится о том, при помощи каких средств находятся значения   по значению  . В тех случаях, когда функция является в виде многочлена, её значения найти легко с помощью арифметических действий. Но как найти значения, например, функций   при любых (допустимых) значениях аргумента?

Для того чтобы вычислить значения такой функции, её заменяют многочленом   степени  , значения которого всегда и легко вычислимы.  С этой целью производится разложение функции по формуле Тейлора:

 

или

                              ₍₇₎

где   остаточный член формулы Тейлора