Ответы на математику

1. Множества. Точка. Операции над множествами. Алгебра множеств. Множества с заданными на них операциями. Алгебраические структуры: группа, кольцо, поле. Поле комплексных чисел.

Множество - совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое. Множество может быть замкнутым и незамкнутым, полным и пустым, упорядоченным и неупорядоченным, счётным и несчётным, конечным и бесконечным. В  математике то́чкой называют абстрактный объект в пространстве, не имеющий ни объёма, ни площади, ни длины, ни каких-либо других измеримых характеристик. Точка является одним из фундаментальных понятий в математике; любая геометрическая фигура считается состоящей из точек.

Операции над множествами:

Множества обозначаются заглавными латинскими буквами, а их элементы – строчными. Запись  a   R  означает, что элемент  а  принадлежит множеству R , то есть  а  является элементом множества R . В противном случае, когда  а  не принадлежит множеству  R , пишут  a   R .  

 

Два множества А и В называются  равными ( А = В ), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества  А  является элементом множества  В  и наоборот, каждый элемент множества  В  является элементом множества  А .

 

Говорят, что множество А содержится в множестве В ( рис.1 ) или  множество А  является подмножеством множества  В ( в этом случае пишут А   В), если каждый элемент множества  А одновременно является элементом множества  В . Эта зависимость между множествами называется включением. Для любого множества  А имеют место включения:      А  и  А   А .

Сумма ( объединение ) множеств  А и В ( пишется  А   В ) есть множество элементов, каждый из которых принадлежит либо А , либо В. Таким образом,  е   А   В  тогда и только тогда, когда либо  е   А ,  либо  е   В .  

 

Произведение ( пересечение ) множеств  А и В ( пишется  А   В , рис.2 ) есть множество элементов, каждый из которых принадлежит и А , и В . Таким образом,  е   А   В  тогда и только тогда, когда   е   А  и  е   В .

Разность множеств А и В ( пишется  А – В , рис.3 ) есть множество элементов, которые принадлежат множеству А , но не принадлежат множеству В.Это множество называется также дополнением множества В относительно множества А.

Симметричная разность множеств А и В ( пишется  А \ В  ) есть множество:

 

А \ В  = ( А – В )   ( В – А ).

 

 Свойства операций над множествами:

Множества с заданными на них операциями называются алгебраической структурой.

Непустое множество   с заданной на нём бинарной операцией   называется группой  , если выполнены следующие аксиомы:

1. ассоциативность:  ;

2. наличие нейтрального элемента:  ;

3. наличие обратного элемента: 

Примерами групп являются действительные числа с операцией сложения, множество вращений плоскости вокруг начала координат и т. п.

Кольцо — это множество R, на котором заданы две бинарные операции: + и × (называемые сложение и умножение), со следующими свойствами:

1.  — коммутативность сложения;

2.  — ассоциативность сложения;

3.  — существование нейтрального элемента относительно сложения;

4.  — существование противоположного элемента относительно сложения;

5.  — ассоциативность умножения (некоторые авторы не требуют выполнения этой аксиомы^[1])

6.  — дистрибутивность.

 Простейшими примерами колец являются алгебры чисел (целых,вещественных, комплексных, …), функций на множестве (всех, непрерывных, гладких, аналитических, …) и матриц.

По́лем называется множество F с двумя бинарными операциями   (сложение) и   (умножение), если оно (вместе с этими операциями) образует коммутативное ассоциативное кольцо c единицей  , все ненулевые элементы которого обратимы.

Примеры поля: рациональные числа, вещественные, комплексные.

Ко́мпле́ксные^[1] чи́сла — расширение поля вещественных чисел, обычно обозначается  . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма  , где   и   — вещественные числа,   — мнимая единица.