Лабораторная работа №5

Изучение защищающих от ошибок кодов

Цель работы: изучение кодов, защищающих от ошибок, используемых в системах распределенной обработки данных.

1 Общие теоретические сведения

1. Принцип контроля с использованием корректирующих кодов

Принцип обнаружения ошибок при контроле с использованием корректирующих кодов заключается в следующем. Каждому входному слову контролируемого устройства по определенным правилам ставится в соответствие контрольное слово (группа контрольных символов). Совокупность двух этих слов можно рассматривать как новое слово, состоящее из информационной и контрольной частей. Если при передаче произошло искажение значений разрядов слова, то соответствие между информационной и контрольной частью слова нарушается, что и свидетельствует о возникновении ошибки.

Для анализа свойств корректирующих кодов важное значение имеет понятие кодового расстояния. Под ним понимают количество разрядов, в которых значения одного слова отличаются от значений другого слова. В общем виде кодовое расстояние между словами A_i и A _j выражается формулой

,

где a_ik- значение k-го разряда в слове A_i;

 - символ сложения по модулю 2.

Для каждого кода существует минимальное кодовое расстояние d=min(d_ij), которое определяет свойства этого кода.

Известна следующая зависимость между числом обнаруживаемых ошибок t и минимальным кодовым расстоянием dt+1.

Для того, чтобы код обеспечил исправление t ошибок, его минимальное кодовое расстояние должно удовлетворять условию d2t+1.

Минимальное кодовое расстояние определяется избыточностью кода, под которой понимают отношение числа m контрольных разрядов к числу информационных n: d=m/n.

2. Код с проверкой на четность

Пусть требуется передать информационный набор a₁...a_k. Кодовый набор получается в результате дописывания к последовательности символа a_k+1, который назначается так, чтобы число единиц в последовательности a₁...a_k a_k+1 было четным. Если при передаче произошла одна ошибка , то число единиц в принятом наборе b₁...b_k b_k+1 станет нечетным. Это и указывает на наличие ошибки. Место ошибки найти не удается, поэтому декодирование не производится. Таким образом, код с проверкой на четность обнаруживает (но не исправляет) одну ошибку. Он также обнаруживает любое нечетное число ошибок.

Кодовые слова a₁...a_k a_k+1 содержит четное число единиц, поэтому для них справедливо соотношение

которое называется проверочным.

3. Код Хэмминга для исправления одиночных ошибок

Код Хэмминга представляет собой блочный код, который позволяет выявить и исправить ошибочно переданный бит в пределах переданного блока. Обычно код Хэмминга характеризуется двумя целыми числами, например, (11,7) используемый при передаче 7-битных ASCII-кодов. Такая запись говорит, что при передаче 7-битного кода используется 4 контрольных бита (7+4=11). При этом предполагается, что имела место ошибка в одном бите и что ошибка в двух или более битах существенно менее вероятна. С учетом этого исправление ошибки осуществляется с определенной вероятностью. Например, пусть возможны следующие правильные коды (все они, кроме первого и последнего, отстоят друг от друга на расстояние 4):

00000000

11110000

00001111

11111111

При получении кода 00000111 не трудно предположить, что правильное значение полученного кода равно 00001111. Другие коды отстоят от полученного на большее расстояние Хэмминга.

Рассмотрим пример передачи кода буквы s = 0x073 = 1110011 с использованием кода Хэмминга (11,7).

Номера разрядов	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1
Контрольные разряды	1	1	1	*	0	0	1	*	1	*	*

Символами * помечены четыре позиции, где должны размещаться контрольные биты. Эти позиции определяются целой степенью 2 (1, 2, 4, 8 и т.д.). Контрольная сумма формируется путем выполнения операции XOR (исключающее ИЛИ) над кодами позиций ненулевых битов. В данном случае это 11, 10, 9, 5 и 3. Вычислим контрольную сумму:

11=	1011
10=	1010
9=	1001
5=	0101
3=	0011
Сумма =	1110

Таким образом, приемник получит код:

Номера разрядов	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1
Контрольные разряды	1	1	1	1	0	0	1	1	1	1	0

Просуммируем снова коды позиций ненулевых битов и получим нуль:

11=	1011
10=	1010
9=	1001
8=	1000
5=	0101
4=	0100
3=	0011
2=	0010
Сумма =	0000

Ну а теперь рассмотрим два случая ошибок в одном из битов посылки, например, в бите 7 (1 вместо 0) и в бите 5 (0 вместо 1). Просуммируем коды позиций ненулевых бит еще раз:

11=	1011
10=	1010
9=	1001
8=	1000
7=	0111
5=	0101
4=	0100
3=	0011
2=	0010
Сумма =	0111

11=	1011
10=	1010
9=	1001
8=	1000
4=	0100
3=	0011
2=	0010
Сумма =	0101

В обоих случаях контрольная сумма равна позиции бита, переданного с ошибкой. Теперь для исправления ошибки достаточно инвертировать бит, номер которого указан в контрольной сумме. Понятно, что если ошибка произойдет при передаче более чем одного бита, код Хэмминга при данной избыточности окажется бесполезен.