Решение.

Var[R_А] = [(r_A,1 -r_A)² + (r_A,2 -r_A)²+ (r_A,3 -r_A)² + (r_A,4 -r_A)² + (r_A,5 -r_A)²]/4

= [(-12,24% -16,18%)² + (23,59% -16,18%)² + (35,45% -16,18%)² + (5,82% -16,18%)² + (28,30% -16,18%)²]/4 = = 372,17 (%%)

_A = [R_A]= V[R_A] = 372,17 =19,29%

Var[R_B] =[(r_B,1 -r_B)² + (r_B,2 -r_B)²+ (r_B,3 -r_B)² + (r_B,4 -r_B)² + (r_B,5 -r_B)²]/4 =

= [(5,00% -16,17%%)² + (19,46%-16,17%%)² + (44,10% -16,17%%)² + (1,19% - 16,17%%)² + (21,11% - 16,17%%)²]/4 = 372,02 (%%)

_В = [R_В]= V[R_В] = 372,02 = 19,29%

Var[R_] = [(r_,1 -r_ )²+ (r_,2 -r_ )²+ (r_,3 - r_ )² + (r_,4 - r_ )² + (r_,5 - r_ )²]/4 =

[(-8,692% -16,18%%)² + (21,52% -11,41%)²+ (39,78% -16,18%%)² + (-3,50% -16,18%%)² + (24,71% -16,18%%))²]/4 = 358,51 (%%)

_ = [R_]= V[R_] = 358,51 = 18,93%

г) Основываясь на том, что риск портфеля меньше, чем риск составляющих его активов, рассматриваемых индивидуально, можете ли вы предположить, к какой величине ближе коэффициент корреляции между доходностью акций - к +0,9 или -0,9?

Решение.

При коэффициенте корреляции близком к –0.9 риск равновзвешенного портфеля из акций с близкими доходностями и риском должен быть близким к нулю. Поскольку снижение риска портфеля очень незначительно то коэффициент корреляции ближе к 0,9 чем к -0,9. (Прямым вычислением можно убедиться что коэффициент корреляции доходностей акций А и В равен 0,93).

7. Пусть рынок состоит только из двух ценных активов. Актив A имеет ожидаемую доход­ность 8%, и стандартное отклонение - 40%. Актив B имеет ожидаемую доходность 20%, и стандартное отклонение - 120%.

а) если Ваш капитал распределен поровну между этими активами, то какова ожи­даемая доход­ность Ваших инвестиций?

б) если 40% капитала вложено в актив A, и 60% в актив B. Какова ожидаемая до­ходность такого портфеля?

в) Какова должна быть структура портфеля, чтобы его ожидаемая доходность со­ставляла 10%?

Решение.

а) Ожидаемая доходность портфеля = 0,58% + 0,520% = 14%

б) Ожидаемая доходность портфеля = 0,48% + 0,620% = 15,2%

в) Искомый вариант описывается системой двух уравнений:

x_А + x_В = 1

0,08 x_А + 0,2x_В = 0,1

откуда последовательно получаем

x_А = 1 – x_В

0,08(1 – x_В) + 0,2x_В = 0,1

0,12 x_В = 0,02

12 x_В = 2

x_В = 2/12=1/6=0,1667

x_А = 5/6=0,8333.

7. Пусть коэффицент корреляции доходностей ценных бумаг из задачи 7 равен 0,8. Какова вариация и стандартное отклонение каждого из трех портфелей, упомянутых в этой за­даче?

Решение.

Вариация портфеля x =(x_А,x_В) из двух активов А и В вычисляется по формуле

V(x) = _A²x_А² + 2_AB_A_B x_А x_B + _B²x_B²

где _A ,_B – стандартные отклонения акций А и В, а _AB - коэффициент корреляции этих акций.

Таким образом получаем

для портфеля x =(1/2,1/2)

V(x) = 0,4²(1/2)²+ 2 0,8 0,41,2 1/2 1/2 + 1,2 ²(1/2)² = 0,592

(x) =0,592 =0,769

для портфеля x =(0,4;0,6)

V(x) = 0,4²(0,4)²+ 2 0,8 0,41,2 0,4 0,6 + 1,2 ²(0,6)² = 0,728

(x) =0,728 = 0,853

для портфеля x =(5/6,1/6)

V(x) = 0,4²(5/6)²+ 2 0,8 0,41,2 5/6 1/6 + 1,2 ²(1/6)² = 0,258

(x) =0,258 =0,508.

7. Есть ли среди портфелей задачи 7 портфель, лучший чем два остальные портфеля и лучше портфелей, состоящих из активов только одного вида (A или B)?

Решение.

Поскольку оценки активов и портфелей в координатах (е, ) имеют вид :

актив А - (0,08; 0,4) ; актив В - ( 0,2; 1,2); портфель x = (1/2,1/2) - (0,14; 0,769);

портфель x = (0,4; 0,6) - (0,152; 0,853) ; портфель x =(5/6,1/6) - (0,1; 0,508 ),

то легко видеть что портфель x = (0,4; 0,6) имеет большую доходность и меньший риск чем актив В, так что этот портфель лучше чем портфель состоящий только из актива В.

7. Пусть рынок состоит только из двух активов. Актив C имеет ожидаемую доходность 6% и стандартное отклонение 2,5%. Актив D имеет ожидаемую доходность 15% и стандартное отклонение 8%. Пусть коэффицент корреляции между доходностями этих активов равен -1.

а) Как нужно распределить инвестиционный капитал между этими активами, чтобы полученный портфель имел нулевой риск?

б) Какова доходность такого портфеля?

в) Будет ли портфель с нулевым риском лучше, чем портфели, состоящие из активов только одного вида (только из A или B)?

Решение:

а) Дано r_C=E(R_C) = 0,06, _C= (R_C) = 0,025 , V(R_C) = _C² = 0,00063

r_D=E(R_D) = 0,15 = (R_D) = 0,08 , V(R_D) = _D² = 0,0064

cov(R_C, R_D) = _CD_C_D = - 0.002

Найдем портфель x =(x_C,x_D) с нулевым риском. Тогда

V(x)= x_C²_C²+ x_D²_D²+ 2_CDx_Cx_D_C_D =

= x_C²_C² + x_D²_D²- 2x_Cx_D_C_D = (x_C_C - x_D_D)² =

=(0.0025 x_C - 0.08x_D)² = 0.

Учитывая, что x_C + x_D =1, получаем х = (0,7619; 0,2381).

б) E(x) = 0,7619r_C + 0,2381r_D = 0,08.

в) Рассмотрим портфели xⁱ и их оценки Q ⁱ = (E(xⁱ),( xⁱ)).

x^А = (1,0) - Q ^А = (0.06, 0.025)

x^В = (0,1) - Q ^B = (0.15, 0.08)

x = (0.76, 0.24) - Q = (0.08 , 0)

Портфель х лучше, чем портфель , так как его доходность выше доходности портфеля x^A, а риск является нулевым. С другой стороны, портфель x^В имеет более высокую доходность, чем портфель х, но эта доходность достигается за счет увеличения процента риска.

7. Вы рассматриваете вопрос об инвестировании в два актива: E и F. Статистические данные о годовых доходностях этих активов за последние три года имеют вид:

год	доходность E	доходность F
20Х1	rE,1 =13%	rF,1 =1%
20Х2	rE,2 = -6%	rF,2 = 4%
20Х3	rE,3 = 2%	rF,3 =1%

а) Найдите средние (ожидаемые) доходности, вариацию, стандартное отклонение и

коэффицент корреляции этих активов по статистическим данным.

б) Найдите среднюю (ожидаемую) доходность и стандартное отклонение портфеля с

40% вложением в актив E и 60% вложением в актив F.

Решение:

а) Cредняя доходность актива E равна

r_Е = (r_Е,1 + r_Е,2 + r_Е,3 )/3 =3%

Вариация актива Е равна

Var[R_Е] = [(r_Е,1 -r_Е)²+ (r_Е,2 -r_Е)²+ (r_Е,3 -r_Е)² ]/2 =

= [(13% –3%)²+ (-6 %–3%)²+ (2% –3%)²]/2 = 91%%

Стандартное отклонение актива доходности Е равно

_Е = 91 = 9,54%

Cредняя доходность актива F равна

r_F = (r_F,1 + r_F,2 + r_F,3 )/3 = 2%

Вариация актива F равна

Var[R_F] = [(r_F,1 -r_F)²+ (r_F,2 -r_F)²+ (r_F,3 -r_F)² ]/2 =

= [(1% –2%)²+ (4 %–2%)²+ (1% –2%)²]/2 = 3%%

Стандартное отклонение актива доходности F равно

_F =1,73%;

Ковариация E и F:

cov(R_E,R_F) = [(r_Е,1 -r_Е )(r_F,1 -r_F) + (r_Е,2 -r_Е)(r_F,2 -r_F) + (r_Е,3 -r_Е)(r_F,3 -r_F) ]/2 =

=[(13% –3%)(1% –2%) + (-6 %–3%)(4 %–2%) + (2% –3%) (1% –2%)²]/2 = -13,50%%

Коэффициент корреляции Е и F:

cor(R_E,R_F)= cov(R_E,R_F)/_Е_F = - 0,82

б) Рассмотрим портфель х = (0,4; 0,6).

r_x = 0,4r_E + 0,6r_F = 2,4%;

Var(x)= Var(0,4r_E + 0,6r_F) = 0,16Var (E) + 0,36 Var(F) + 0,48Cov(E,F) = 9,16%%.

(x) = 1,963 = 3,03%.