Решение.

Поскольку нам известны значения доходностей акции A, B и портфеля  за 5 последовательных лет

r_A,1 , r_A,2 , r_A,3 , r_A,4 , r_A,5

r_B,1 , r_B,2 , r_B,3 , r_B,4 , r_B,5

r_,1 , r_,2 , r_,3 , r_,4 , r_,5

а также оценки ожидаемых доходностей A, B и портфеля , полученные усреднением этих значений

r_A = (r_A,1 + r_A,2 + r_A,3 + r_A,4 + r_A,5)/5 = 11,41%

r_В = (r_B,1 + r_B,2 + r_B,3 + r_B,4 + r_B,5)/5 = 11,40%

r_ = (r_,1 + r_,2 + r_,3 + r_,4 + r_,5)/5 = 11,41%

то мы можем воспользоваться формулой для статистической оценки их дисперсии и средне-квадратичного отклонения :

Var[R_А] = [(r_A,1 -r_A)² + (r_A,2 -r_A)²+ (r_A,3 -r_A)² + (r_A,4 -r_A)² + (r_A,5 -r_A)²]/4

= [(-20%-11,41%)² + (20% -11,41%)²+ (33% -11,41%)² + (-2% -11,41%)² + (26% -11,41%)²]/4 = 480,72(%%)

Var[R_B] =[(r_B,1 -r_B)² + (r_B,2 -r_B)²+ (r_B,3 -r_B)² + (r_B,4 -r_B)² + (r_B,5 -r_B)²]/4 =

= [(-11% -11,40%)² + (19%-11,40%)² + (44% -11,40%)² + (-6% - 11,40%)² + (11% - 11,40%)²]/4 = 479,27(%%)

Var[R_] = [(r_,1 -r_ )²+ (r_,2 -r_ )²+ (r_,3 - r_ )² + (r_,4 - r_ )² + (r_,5 - r_ )²]/4 =

[(-15,5% -11,41%)² + (19,5% -11,41%)²+ (38,5% -11,41%)² + (-4% -11,41%)² + (18,5% -11,41%))²]/4 = 453,92(%%)

Cреднеквадратичные отклонения (оценки стандартных отклонений доходности) будут квадратными корнями из оценок вариаций

_A = [R_A]= V[R_A] = 480,72 = 21,93%

_В = [R_В]= V[R_В] = 479,27 = 21,89%

_ = [R_]= V[R_] = 453,92 = 21,31%

в) Добавьте акцию С к портфелю; за истекшие периоды акция С имела сле­дующие дивиденды и цены:

Год	Дивиденд акции С($)	Цена акции С в конце года ($)
	-	23,40
2008	1,85	23,90
2009	1,95	31,50
2010	2,05	27,20
2011	2,15	32,25
2012	2,25	26,00

Найдите доходность акции С за каждый год, ее ожидаемую доходность, дисперсию и стандартное отклонение.

Решение.

Год	Ценовой доход акции С ($)	Полный доход акции С($)	Полная доходность акции С (%)
1988	23,90 - 23,40 = 0,5	1,85+0,5=2,35	2,35/23,4=10,04%
1989	31,5 - 23,9 = 7,6	1,95+7,6=9,55	9,55/23,9=39,96%
1990	27,2 - 31,5 = -4,3	2,05-4,3=-2,25	-2,25/31,5=-7,14%
1991	32,25 - 27,2 =5,05	2,15+5,05=7,2	7,2/27,2=26,47%
1992	26 - 32,25 = -6,25	2,25-6,25=-4	-4/32,25=-12,40%

Ожидаемая (средняя) доходность акции С равна

r_С = (r_С,1 + r_С,2 + r_С,3 + r_С,4 + r_С,5)/5 =

=(10,04% + 39,96% -7,14%+26,47% -12,40%)/5=11,39%

Вариация доходности (средняя) равна

Var[R_С] = [(r_С,1 -r_С)²+ (r_С,2 -r_С)²+ (r_С,3 -r_С)² + (r_С,4 -r_С)² + (r_С,5 - r_С)²]/4

= [(-10,04%-11,39%)² + (39,96% -11,39%)²+ (-7,14% -11,39%)² + (26,47% -11,39%)² + (-12,40% -11,39%)²]/4 = = 488,74 (%%)

Стандартное отклонение доходности акции С равно

_С = [R_С]= V[R_С] = 488,74 = 22,11%

г) Предположим, что акции А, В и С имеют равный удельный вес в портфеле (1/3). Как это повлияет на доходность портфеля и среднее квадратическое отклонение?

Решение.

Год	wA= wВ= wС	rA	rAwA	rВ	rВwВ	rС	rС wС	r = rAwA+ rВwВ + rС wС
2008	1/3	-20%	-6,67%	-11%	-3,67%	10%	3,33%	-7,01%
2009	1/3	20%	6,67%	19%	6,33%	40%	13,33%	26,46%
2010	1/3	33%	11%	44%	14,67%	-7%	-2,33%	23,24%
2011	1/3	-2%	-0,67%	-6%	-2,0%	26%	8,67%	6,10%
2012	1/3	26%	8,67%	11%	3,67%	-12%	-4,00%	8,21%
Средняя доходность портфеля r =								11,40%

Ожидаемая доходность равновзвешенного портфеля из трех акций А,В,С равна

r_ = r_ = (r_,1 + r_,2 + r_,3 + r_,4 + r_,5)/5 =

= (-7,01%+26,46%+23,24%+6,10%+8,21%)=11,40%.

его вариация равна

Var[R_] = [(r_,1 -r_ )²+ (r_,2 -r_ )²+ (r_,3 - r_ )² + (r_,4 - r_ )² + (r_,5 - r_ )²]/4 =

=[(-7,01% -11,40%)² + (26,46% -11,40%)²+ (23,24% -11,40%)² + (6,10% -11,40%)² + (8,21% -11,40%)²]/4 = 186,08 (%%).

Стандартное отклонение доходности портфеля равно

_ = [ R_]= V[R_] = 186,08 = 13,64%

Добавление акции С к портфелю практически не повлияло на доходность портфеля но существенно снизило его риск с 21,31% до = 13,64%.

д) Произведите некоторые дополнительные изменения в процентном соот­ношении акций в портфеле, обеспечив при этом в сумме 100%. Например, 25% в А, 25% в В, и 50% в С, и т.д. Объясните причины изменения доходности и риска.

Решение.

Год	wA	rA	rAwA	wВ	rВ	rВ wВ	wС	rС	rСwС	r=rAwA+rВwВ+rСwС
2008	0,25	-20%	-5%	0,25	-11%	-2,75%	0,5	10%	5%	-2,75%
2009	0,25	20%	5%	0,25	19%	4,75	0,5	40%	20%	29,84%
2010	0,25	33%	8,25%	0,25	44%	11%	0,5	-7%	-3,5%	15,64%
2011	0,25	-2%	0,5%	0,25	-6%	-1,5%	0,5	26%	13%	11,20%
2012	0,25	26%	6,5%	0,25	11%	2,75%	0,5	-12%	-6%	-3,06%
Ожидаемая (средняя) доходность портфеля r										11,40%

Ожидаемая доходность портфеля  из трех акций А,В,С с вектором весов w = (1/4,1/4,1/2) равна

r_ = (r_,1 + r_,2 + r_,3 + r_,4 + r_,5)/5 =

= (-2,75% + 29,84% + 15,64% + 11,20% - 3,06%)/5=11,40%.

его вариация равна

Var[R_] = [(r_,1 -r_ )²+ (r_,2 -r_ )²+ (r_,3 - r_ )² + (r_,4 - r_ )² + (r_,5 - r_ )²]/4 =

=[(-2,75% -11,40%)² + (29,84% -11,40%)²+ (15,64% -11,40%)² + (11,20% -11,40%)² + (3,06% -11,40%)²]/4 = = 156,96 (%%).

Стандартное отклонение доходности портфеля равно

_ = [ R_]= V[R_] = 156,96 = 12,53%

Таким образом все три портфеля имеют практически одинаковую доходность 11,4% но последний портфель имеет наименьший риск.

6. За истекшие периоды акции А и В имели следующие дивиденды (в $):

Год	Акция А		Акция В
	дивиденд	цена в конце года	дивиденд	цена в конце года
2008	-	12,25	-	22,00
2009	1,00	9,75	2,40	18,50
2010	1,05	11,00	2,60	19,50
2011	1,15	13,75	2,85	25,25
2012	1,30	13,25	3,05	22,50
2008	1,50	15,50	3,25	24,00

а) Подсчитайте фактическую доходность по годам для каждой акции.