Нахождение портфеля с наибольшей полезностью.

Напомним, что полезностью портфеля x по Марковицу называется число

где  –коэффициент неприятия риска.

Таким образом, задача максимизация полезности есть задача условной оптимизации

U(x)  max

при условии .

Функция Лагранжа для этой задачи имеет вид:

L(x,) = U(x) +(1-(e,x)) .

Условия оптимальности запишутся как

, . (15)

Поскольку в нашем случае

,

то условия (12) можно переписать в виде

m -  Cx - e = 0, . (16)

Предполагая невырожденной матрицу ковариаций С, из первого равенства получим

 x = C ^-1m - C ^-1e или x = (g -  h)/ (17)

где, как и выше h = C ^-1e, g = C ^-1m, откуда, учитывая основное ограничение

получим выражение для :

 = ((g, e) -  )/(h,e) = ( -  )/,

где,  = (h, e),  = (g, e) и окончательное выражение для оптимального (т.е. с наибольшей полезностью) вектора

x^* = (g -  h)/ (18)

Пример 4. Рассмотрим снова рынок из примера 1. Пусть функция полезности имеет вид U = E-(1/2) V. Найти оптимальный портфель, если коэффициент неприятия риска  = 2.

Решение. Обратная матрица для матрицы ковариаций С имеет вид:

C ^–1 = = .

Тогда

h = C ^-1e = , g =C ^-1m =

и

 = (C ^-1e, e) =7/5= 1,4  = (C ^-1m, e) = 11/5 =2,2.

Наконец,

 = ( -  )/ = (2,2 - 2)/1,4 = 1/7 = 0,1429

Подставляя в

x^* = (g -  h)/

полученные значения коэффициента  и векторов h и g, получим соответствующий оптимальный вектор:

x^* = = = (0,643; 0,357). █

Нам осталось разобрать последнюю задачу максимизации доходности при заданном риске.

Нахождение портфеля с наибольшей доходностью при заданном риске.

Эта задача формально описывается следующим образом: Найти максимум линейной функции E(х) = (m,х), при условиях

(е,х) = 1 (портфельное ограничение).

и

V(х) = (Cx,х) =V₀ (ограничение на риск)

Функция Лагранжа для этой задачи имеет вид

L(x,,) = (m,x) + (1-(e,x)) + (E₀ -(Cx,x)).

Соответственно условия оптимальности запишутся в виде

(е,х) = 1

(Cx,х) = V₀.

Из первого уравнения следует (при условии обратимости матрицы ковариаций С)

 Cx = m -e (19)

и

 x = C^-1m - C^-1e = g -h

Умножая скалярно второе уравнение на единичный вектор e, получим первое уравнение для коэффициентов  и:

 =  - . (20)

Наконец, перемножая скалярно оба уравнения из (19) и, учитывая ограничение на риск,

получим второе определяющее уравнение

 ²V₀ =  ²-2 + .

Таким образом, определяющая система уравнений для коэффициентов  и имеет вид:

  +  = 

 ²- 2 +  - V₀ ² = 0 (21)

Подставляя выражение (18) для  во второе уравнение системы (19) получим квадратное уравнение для 

 (1-V₀) ² -2(1-V₀) +  - V₀ ² = 0. (22)

Это уравнение имеет, вообще говоря, два решение ₁ и ₂ . Каждое этих решений определяет соответствующее значение  =  - ., а они, в свою очередь, определяют два решения x₁ и x₂ из которых надо выбрать одно с максимальной доходностью.

Пример 5. Рассмотрим снова активы из задачи 1. Найдем портфель с максимальной доходностью среди портфелей с вариацией V₀ = 5.

Решение. Поскольку для данных активов

h = C ^-1e = , g =C ^-1m =

и

 = (h, e) =7/5= 1,4  = (g, e) = 11/5 =2,2.  =(g, m) = 18/5,

То уравнение (19) для коэффициента  после несложных преобразований примет вид

42 ² -132 + 103 = 0.

Это уравнение имеет два корня

₁= 1,7018 и ₂ = 1,4410.

Этим значения соответствуют значения коэффициента 

₁= -0,1826 и ₂ = 0,1826.

В свою очередь, первая пара значений дает решение

x₁ =

с доходностью E(x₁) = 0,789. Вторя пара значений дает решение

x₂ =

с доходностью E(x₂) = 2,354. Естественно оба решения имеют вариацию равную 5.

Таким образом, оптимальным будет второе решение с большей доходностью. █

Матричные методы нахождения оптимальных портфелей имеют общий характер и могут применяться в многомерных случаях, т.е. для рынков состоящих из 3 и более активов.

Пример 6. Рассмотрим рынок с тремя рисковыми активами А₁, А₂ и А₃ с параметрами: m₁ = 2, m₂ = 4, m₃ = 5; с₁₁ = 4, с₂₂ = 5, с₃₃ = 8, с₁₂ = с₁₃ = с₂₃ = 0. Коэффициент неприятия риска  = 2. Найти оптимальный портфель в модели Блека.

Решение. Обратная матрица С ^-1 для матрицы ковариаций С имеет вид

=

Тогда

h = C ^-1e = (1/4; 1/5; 1/8), g = C ^-1m = (1/2; 4/5; 5/8),

и

 = (h, e) = 23/40 = 0,575,  = (g, e) = 77/40 = 1,925,

и, наконец,

 = ( -  )/ = (77/40 - 2 )/(23/40) = -3/23 = -0,1304.

Подставляя в уравнение (11.15) значения  , g , h и , получим соответствующий оптимальный вектор

x* = (0,266; 0,413; 0,321). █

Формула (15) дает параметрическое представление оптимальных портфелей. Варьируя коэффициент неприятия риска, мы будем получать различные оптимальные портфели лежащие на эффективной границе критериального множества. Нетрудно показать, что вообще любой эффективный портфель может быть представлен в виде линейной комбинации двух векторов h = C ^-1e и g = C ^-1m. Это замечание позволяет решать и другие постановки задач об оптимальном выборе портфеля, в частности этот подход позволяет решить задачу о нахождении портфеля с заданной доходностью E₀ и наименьшим риском. Поскольку такой портфель заведомо эффективный, то представляя его в виде

x =  h +  g (23)

можно получить систему уравнений для неопределенных коэффициентов  и  из основного (x, e) =1 и критериального (x, m) =E₀ ограничений, умножая равенство (21) скалярно на векторы e и m:

  +   = 1 и   +   = E₀. (24)

где снова

 = (h, e),  = (g, e) и  = (g, m) .

Пример 7. Для рынка из предыдущего примера найдем портфель с наименьшим риском и требуемой доходностью 5. Найти также уравнение для минимальной границы.

Решение. Поскольку в этом случае

h = C ^-1e = (1/4; 1/5; 1/8), g = C ^-1m = (1/2; 4/5; 5/8),

и

 = (h, e) = 23/40 = 0,575,  = (g, e) = 77/40 = 1,925,  = (g, m) =293/40=7,325.

то получаем систему уравнений для  и :

Решая это уравнение получаем

 = -20/27,  = 20/27

и, соответственно,

x =  h +  g = (5/27; 12/27; 10/27) = (0,185; 0,444; 0,371).

Как было показано выше (см. ф-лу (14) уравнение минимальной границы имеет вид

V =

Подставляя в это равенство найденные выше значения для коэффициентов получим

V = █

Этим же методом можно решить задачу о нахождении портфеля с максимальной доходностью при заданном риске V₀. Снова представляя искомый портфель в виде

x =  h +  g

мы получим из заданных ограничений (x, e) =1 и (Cx, x) = V₀ систему уравнений

  +   = 1 и a² + 2 +  ² = V₀

для определения коэффициентов  и . Выражая из первого уравнения  через :

 = (1-)/ (25)

и подставляя это выражение во второе уравнение системы получим уравнение

( - ²)² = ² =V₀. (26)

Заметим, что  =( - ²) есть определитель квадратичной формы a² + 2 +  ². Решая обозначая его через, получим два решения для коэффициента :

₁= и ₂ = - (27)

Каждое из этих решений определяет соответствующее значение  =(1- )/, а они, в свою очередь определяют два решения x₁ и x₂ из которых надо выбрать одно с максимальной доходностью. Умножая x= h + g скалярно на m и учитывая (21), получим выражение для доходности E(x) портфеля:

E(x) =   +   = (28)

В силу положительной определенности матрицы С и ее обратной матрицы С^-1 коэффициенты  и  положительны, так что большему значению  соответствует большая доходность. Это означает, что в (25) следует выбирать положительное значение корня, т.е. ₁.

Пример 7. Для рынка из примера 5 найти портфель с наибольшей доходностью и риском (вариацией) равной 6.

Решение. Для заданных активов имеем

h = C ^-1e = (1/4; 1/5; 1/8), g = C ^-1m = (1/2; 4/5; 5/8),

и

 = (h, e) = 23/40 = 0,575,  = (g, e) = 77/40 = 1,925,  = (g, m) =293/40 =7,325.

и

=  -  ² = 81/160

По формуле (24) находим

₁= = 2,2

затем

₁ = (1-₁)/ = -5,626

и, наконец, получаем искомый портфель

x= ₁h + ₁g =(-0,306; 0,634; 0,672).

Его доходность равна

E(x₁) = 2,354,

а риск (вариация) естественно равен 6. █

Приведенный выше метод «косвенный» определения портфеля с наибольшей доходностью имеет преимущество перед описанным выше «прямым» методом множителем Лагранжа, поскольку во, во-первых, квадратное уравнение (24) намного проще чем уравнение (20) и, во-вторых, этот метод сразу указывает какое из двух решений нужно выбрать в качестве определяющего, тогда как в прямом методе приходится находить оба корня уравнения (20) и для каждого из них строить портфель и, наконец, из этих портфелей выбирать тот, что имеет большую доходность.

14