Решение: Найдем матрицу обратную к матрице с.
Вектор h =С-1e равен
h
=
.
и скалярное произведение
=
(h, e) =
.
А тогда коэффициент или, что то же самое, риск V* минимального портфеля равен
= V* = -1 = 5/7
Следовательно, минимальный портфель имеет вид
.
Его характеристики
и
Emin = (m, xmin)
= 24/7 +13/7
= 11/7=1,57. █
Нахождение портфеля с минимальным риском при заданной доходности.
Эта задача формально описывается следующим образом: Найти минимум квадратичной функции V(х) = (Cx,х), при условиях
(е,х) = 1 (портфельное ограничение).
и
(m,х) = E0 – заданный уровень доходности
Это также классическая задача нахождения минимума квадратичной функции при двух линейных ограничениях. Функция Лагранжа для этой задачи имеет вид
L(x,,) = (Cx,x) + (1-(e,x)) + (E0 -(m,x)).
Поэтому необходимые условия минимума можно записать в виде
Эта система равносильна системе
При условии невырожденности матрицы C первое уравнение преобразуется к виду
x = C -1e + C -1m = h + g.
Умножая скалярно это равенство на e и m и, учитывая ограничения, получим
1 = (e,x) = (e, h) + (e, g) = +
E0 = (m,x) = (m, h) + (m, g) = + .
где = (g, m). Таким образом, мы получили линейную систему двух уравнений для неизвестных коэффициентов и :
+ =1
+ = E0. (11)
Определитель этой системы
= - 2
будет положительным для положительно определенной матрицы С, и следовательно систем имеет единственное решение
(12)
где
матрица коэффициентов этой системы.
В двумерном случае легко написать явное выражение для обратной матрицы, так что в этом случае получаем решение в виде:
=
=
Пример 2. Для активов из примера 1 найдем портфель с минимальным риском и доходностью равной 3.
Решение. В примере 1 мы получили
Вектор h =С-1e равен
h = .
и
= (h, e) = .
Аналогичным образом получаем
g=
.
=
(g,
e)
=
.
=
(g,
m)
=
.
Система уравнений, определяющая коэффициенты и : имеет вид:
7/5 + 11/5 = 1
11/5 + 18/5 = 3.
или
7 + 11 = 5
11 + 18 = 15.
Решая ее получим
= -15 и = 10
и, значит,
x =
h
+
g
=
.
Полученные выше результаты позволяют не только находить для каждой заданной доходности E не только портфель с минимальным риском для этой доходности, но и получить уравнение параболы - минимальной границы на плоскости (E,V)
Уравнение минимальной границы в модели Блека.
Условие оптимальности для портфелей с минимальным риском и заданной доходностью записывается в виде
Сx = e + m
или
x = h + g
Перемножая скалярно оба эти равенства и учитывая билинейность скалярного произведения получим
V = (Сx, x) = 2 + 2 + 2 (13)
-квадратичную форму от коэффициентов , с невырожденной симметричной матрицей
и определителем
= - 2 .
При решении задачи о минимизации риска при заданной доходности E мы получили систему уравнений (11) для коэффициентов ,
+ = 1
+ = E.
или, в матричном виде
откуда следует
.
Матричное выражение для риска (вариации) имеет вид
V
=
.
Подставляя вместо вектора (, ) его выражение через вектор (1,E) получим (учитывая симметричность Z и Z-1.
V
=
=
Поскольку для матриц второго порядка
То получаем выражение для вариации V в виде квадратичной функции от E.
V
=
(14)
Пример 3. Найти уравнение минимальной границы для примера 2.
Решение. В примере 2 мы нашли
= 7/5, =11/5, =18/5.
Отсюда получаем
= - 2 = 1/5,
так что
V
=
.