Матричные методы решения задачи выбора портфеля в модели Блека.

В этом параграфе для простейших двумерных моделей мы проиллюстрируем, как используется матричная техника в решении задач выбора портфеля. Достоинство матричного подхода состоит в его общности, так что решения задач для моделей с различным числом активов осуществляется по одним и тем же матричным формулам, причем сами формулы наглядны и просты.

Замечание об обозначениях. Ниже мы будем использовать матричные и векторные обозначения. Если a = (a₁,…, a_n) и b = (b₁,…, b_n) два вектора (столбца или строки), то через (a, b) будем обозначать их скалярное произведение:

(a, b) = a₁b₁ + a₂b₂ + … + a_n b_n..

В частности если х = (х₁,…, х_n) – портфель, е = (1,1,…,1) – единичный вектор , то основное портфельное ограничение х₁ + х₂ + … + х_n = 1, можно записать в виде (е,х) = 1, доходность Е(х) = m₁х₁ + m₂х₂ + … + m_nх_n портфеля х в виде Е(х) = (m,х), а риск V(х) в виде (Cx,х), где Cx – произведение матрицы ковариаций С на столбец х, представляющий портфель.

Нахождение портфеля с минимальным риском.

Эта задача формально описывается следующим образом:

Найти минимум квадратичной функции V(х) = (Cx,х), при условии (е,х) = 1 (портфельное ограничение).

Отметим что это классическая задача условной оптимизации. Решим ее с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа. Функция Лагранжа для данной задачи имеет вид

L(x,) = (Cx,x) + (1-(e,x))

Поэтому необходимые условия минимума можно записать в виде

(1)

Заметим, что оператор дифференцирования д/дx, ставит в соответствие функции V(x)= (Cx,x) ее градиент, т.е. вектор (столбец) частных производных. Легко показать, что

и (2)

где вектор e - есть единичный вектор столбец (т.е все элементы этого столбца равны 1).

Замечание. Скалярное умножение (e,x) вектора x на единичный вектор e равносильно суммированию всех компонент этого вектора!

Таким образом, условия оптимальности можно записать в векторном (матричном) как

2Сx-e = 0, (e,x) = 1

или (игнорируя в силу неопределенности  коэффициент 2 при Сx)

Сx = e, (e,x) = 1. (3)

Для разрешимости матричного уравнения Сx = e достаточна обратимость матрицы С. Известно что (квадратная) матрица обратима тогда и только тогда когда она невырождена, т.е. ее определитель отличен от нуля.

В нашем изложении мы всегда будем предполагать матрицу ковариаций С является невырожденной, (в этом случае она является положительно определенной), поэтому она обратима. Отсюда немедленно следует, что

x = С^-1e, (4)

где С^-1 – матрица обратная к матрице С.

Введем вектор

h = С^-1e (5)

который будем называть первым базисным вектором, тогда

x =  h.

Напомним, что все вектора - столбцы, поэтому при матричной реализации произведения С^-1e, дающей портфель x, следовало бы, строго говоря, писать

x = С^-1e  = h

Подставляя это выражение в основное ограничение (x,e) =1, получим

(x,e) = (h, e) =1

откуда немедленно следует

(6)

и, следовательно, получаем выражение для портфеля с минимальным риском

Обозначим число (С^-1e, e) равное, очевидно, сумме всех элементов обратной матрицы С^-1 или сумме всех элементов столбца С^-1e = h через :

 =(h, e). (7) Тогда

 =1/ и =1/.

Из (4) и (5) следует

V_min = (Cx_min, x_min) = (e, x_min) = 

так что коэффициент  представляет собой риск минимального портфеля и из (6) получаем

=1/ . . (8)

Ожидаемая доходность этого портфеля будет равна

E_min = (m, x_min) = (m,  h) =  (m, h)

и, значит,

. (9)

где e - единичный вектор.

Заметим, что из симметричности матрицы C следует симметричность обратной матрицы C^-1 а тогда

(С^-1e, m) = (e, С^-1m).

Вектор g = С^-1m называют вторым базисным вектором , он как и первый будет играть важную роль в задачах оптимизации портфелей. Скалярное произведение

(С^-1e, m) = (e, С^-1m)

обозначим через :

 = (h, m) = (e, g). (10)

В этих обозначениях получаем

E_min = = /.

Рассмотрим более детально случай двух активов А₁ и А₂ с параметрами

m = , C =

Напомним, что в двумерном случае произведение матрицы С на вектор x - есть вектор Cx, вычисляемый по правилу

Cx = .

скалярное произведение двух двумерных векторов x и y вычисляется по формуле

(x,y) = x₁y₁ +x₂ y₂, а

обратная матрица для ковариационной матрицы С имеет вид

,

где =_С = с₁₁с₂₂ - с₁₂² - определитель матрицы С.

В этом случае первый базисный вектор имеет вид

h =C^-1e =

и

 =(h, e) = с₁₁ -2с₁₂ + с₂₂

и, значит,

, .

Пример 1. Пусть рынок состоит из двух активов состоит из двух активов A₁, A₂. Параметры рынка m = (2, 1) и . Найдем портфель с минимальным риском.