
- •Матричные методы решения задачи выбора портфеля в модели Блека.
- •Нахождение портфеля с минимальным риском.
- •Решение: Найдем матрицу обратную к матрице с.
- •Нахождение портфеля с минимальным риском при заданной доходности.
- •Уравнение минимальной границы в модели Блека.
- •Нахождение портфеля с наибольшей полезностью.
- •Нахождение портфеля с наибольшей доходностью при заданном риске.
Матричные методы решения задачи выбора портфеля в модели Блека.
В этом параграфе для простейших двумерных моделей мы проиллюстрируем, как используется матричная техника в решении задач выбора портфеля. Достоинство матричного подхода состоит в его общности, так что решения задач для моделей с различным числом активов осуществляется по одним и тем же матричным формулам, причем сами формулы наглядны и просты.
Замечание об обозначениях. Ниже мы будем использовать матричные и векторные обозначения. Если a = (a1,…, an) и b = (b1,…, bn) два вектора (столбца или строки), то через (a, b) будем обозначать их скалярное произведение:
(a, b) = a1b1 + a2b2 + … + an bn..
В частности если х = (х1,…, хn) – портфель, е = (1,1,…,1) – единичный вектор , то основное портфельное ограничение х1 + х2 + … + хn = 1, можно записать в виде (е,х) = 1, доходность Е(х) = m1х1 + m2х2 + … + mnхn портфеля х в виде Е(х) = (m,х), а риск V(х) в виде (Cx,х), где Cx – произведение матрицы ковариаций С на столбец х, представляющий портфель.
Нахождение портфеля с минимальным риском.
Эта задача формально описывается следующим образом:
Найти минимум квадратичной функции V(х) = (Cx,х), при условии (е,х) = 1 (портфельное ограничение).
Отметим что это классическая задача условной оптимизации. Решим ее с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа. Функция Лагранжа для данной задачи имеет вид
L(x,) = (Cx,x) + (1-(e,x))
Поэтому необходимые условия минимума можно записать в виде
(1)
Заметим, что оператор дифференцирования д/дx, ставит в соответствие функции V(x)= (Cx,x) ее градиент, т.е. вектор (столбец) частных производных. Легко показать, что
и
(2)
где вектор e - есть единичный вектор столбец (т.е все элементы этого столбца равны 1).
Замечание. Скалярное умножение (e,x) вектора x на единичный вектор e равносильно суммированию всех компонент этого вектора!
Таким образом, условия оптимальности можно записать в векторном (матричном) как
2Сx-e = 0, (e,x) = 1
или (игнорируя в силу неопределенности коэффициент 2 при Сx)
Сx = e, (e,x) = 1. (3)
Для разрешимости матричного уравнения Сx = e достаточна обратимость матрицы С. Известно что (квадратная) матрица обратима тогда и только тогда когда она невырождена, т.е. ее определитель отличен от нуля.
В нашем изложении мы всегда будем предполагать матрицу ковариаций С является невырожденной, (в этом случае она является положительно определенной), поэтому она обратима. Отсюда немедленно следует, что
x = С-1e, (4)
где С-1 – матрица обратная к матрице С.
Введем вектор
h = С-1e (5)
который будем называть первым базисным вектором, тогда
x = h.
Напомним, что все вектора - столбцы, поэтому при матричной реализации произведения С-1e, дающей портфель x, следовало бы, строго говоря, писать
x = С-1e = h
Подставляя это выражение в основное ограничение (x,e) =1, получим
(x,e) = (h, e) =1
откуда немедленно следует
(6)
и, следовательно, получаем выражение для портфеля с минимальным риском
Обозначим число (С-1e, e) равное, очевидно, сумме всех элементов обратной матрицы С-1 или сумме всех элементов столбца С-1e = h через :
=(h, e). (7) Тогда
=1/ и =1/.
Из (4) и (5) следует
Vmin = (Cxmin, xmin) = (e, xmin) =
так что коэффициент представляет собой риск минимального портфеля и из (6) получаем
=1/
. . (8)
Ожидаемая доходность этого портфеля будет равна
Emin = (m, xmin) = (m, h) = (m, h)
и, значит,
.
(9)
где e - единичный вектор.
Заметим, что из симметричности матрицы C следует симметричность обратной матрицы C-1 а тогда
(С-1e, m) = (e, С-1m).
Вектор g = С-1m называют вторым базисным вектором , он как и первый будет играть важную роль в задачах оптимизации портфелей. Скалярное произведение
(С-1e, m) = (e, С-1m)
обозначим через :
= (h, m) = (e, g). (10)
В этих обозначениях получаем
Emin = = /.
Рассмотрим более детально случай двух активов А1 и А2 с параметрами
m =
,
C =
Напомним, что в двумерном случае произведение матрицы С на вектор x - есть вектор Cx, вычисляемый по правилу
Cx
=
.
скалярное произведение двух двумерных векторов x и y вычисляется по формуле
(x,y) = x1y1 +x2 y2, а
обратная матрица для ковариационной матрицы С имеет вид
,
где =С = с11с22 - с122 - определитель матрицы С.
В этом случае первый базисный вектор имеет вид
h
=C-1e
=
и
=(h, e) = с11 -2с12 + с22
и, значит,
,
.
Пример
1.
Пусть рынок состоит из двух активов
состоит из двух активов A1,
A2.
Параметры рынка m
=
(2, 1) и
.
Найдем портфель с минимальным риском.