6.4 Непрямые умозаключения логики высказываний

Непрямые умозаключения представляют собой косвенные рассуждения. Они имеют довольно сложную структуру, потому что состоят не из суждений, а из умозаключений. В них одно умозаключение следует из другого. К непрямым умозаключениям относятся опровержение «путем сведения к абсурду», рассуждение «от противного» и рассуждение по случаям.

Опровержение «путем сведения к абсурду» представляет собой непрямое умозаключение, в котором ложность некоторого суждения обосновывается на основании того, что из данного суждения можно при помощи правильных умозаключений вывести противоречие.

Упрощенно форму этого вывода можно представить в следующем виде:

А ├ В Ù ùВ

ùА

где «├» – знак выводимости (можно читать как «выводимо» или «следовательно»).

Пример. Представим себе, что на некотором острове живут только рыцари и лжецы. Причем лжецы всегда только лгут, а рыцари всегда говорят только правду. Приехавший на остров человек встречает двух местных жителей и спрашивает, кто они такие. На что один из них отвечает: «По крайней мере, один из нас лжец». Необходимо узнать, кем является отвечавший.

Предположим, что он является лжецом. Суждение «Ответивший – лжец» обозначим А. Но тогда он сказал неправду, следовательно, ни один из них не является лжецом, и оба они – рыцари. Мы получили противоречие: отвечавший в одно и то же время рыцарь (В) и не рыцарь (В). Значит, наше предположение неверно, и тот, кто отвечал, на самом деле является не лжецом, а рыцарем.

Рассуждение «от противного» близко к опровержению «путем сведения к абсурду». Однако направлено на обоснование истинности некоторого суждения. Структура умозаключения следующая. Временно предполагаем истинным суждение, противоречащее данному (его отрицание). Из этого предположения, так же как в опровержении «путем сведения к абсурду», пытаемся вывести противоречие. Если это удается сделать, значит суждение, противоречащее данному, ложно, а истинно само исходное суждение. В виде схемы рассуждение «от противного» можно представить так:

ùА ├ В Ù ùВ

А

Пример. Можно использовать ту же самую ситуацию с рыцарями и лжецами, если изменить исходные предположения. Допустим, мы решили, что отвечавший – рыцарь, и хотим доказать это. Тогда временно допускаем, что он лжец, и выводим из этого противоречие. Тем самым мы доказываем истинность первоначального утверждения.

Рассуждение по случаям применяется тогда, когда необходимо сделать вывод из разделительного суждения (дизъюнкции). Принцип его состоит в следующем. Сначала смотрим, не следует ли интересующее нас суждение из всех альтернатив (случаев) дизъюнкции, и если следует, то его можно утверждать как следствие из всей дизъюнкции. Форма данного умозаключения:

А ├ С, В ├ С

А Ú В ├ С

Пример. «Кондотьеры³ по-разному владеют своим ремеслом: одни - превосходно, другие – посредственно. Первым нельзя довериться, потому что они сами будут домогаться власти… Вторым нельзя довериться, потому что они проиграют сражение» (Н. Макиавелли). В этом рассуждении Макиавелли перебирает альтернативы (случаи): «Кондотьеры владеют своим ремеслом превосходно» или «Кондотьеры владеют своим ремеслом посредственно» и показывает, что по разным причинам, как бы наемники ни владели своим оружием, им нельзя довериться.