3. Математические модели.

Моделью в математике принято называть любое множество объектов, на которых определены те или иные предикаты. Под предикатом понимается функция у = /(х_п х_п), аргументы (х,,х_п) которой принадлежат данному множеству М, а значе­ние (у) может являться либо истиной, либо ложью [11].

То есть предикат представляет собой высказывание, описыва­ющее свойство, которым может обладать или не обладать набор элементов (х,, х_п) множества М. При этом число п элемен­тов этого набора может быть любым. При п=2 возникает особо распространенный тип предиката, который носит наименова­ние бинарного отношения. Наиболее употребительными видами

отношений являются отношения равенства (=) и неравенства (*). Эти отношения вводятся для элементарных данных любого данного типа. Тем самым соответствующий тип данных превра­щается в модель. Применительно к числам могут быть введены отношения ( >, <, >, < ). Тем самым для соответствующих типов данных определяются более богатые модели [52].

Аналитические соотношения используются при построении математических моделей чаще всего как инструмент для их мак­симальной формализации. Однако известные специалисты в мо­делировании отмечают, что: «Требование непременной форма­лизации, как предпосылки построения моделей, лишь сковывало бы возможности научных исследований. Весьма перспективным путём преодоления проблем формализации представляется так­же введение различных ослаблений в формальные определения понятия моделирования, в результате чего возникают «прибли­жённые», «размытые» понятия «квазимодели», «почти модели» и т.п. [8]. Кстати, в современной математике активно развива­ются новые разделы и направления, вызванные подобными про­блемами моделирования, например, теория игр, фракталы, ап­парат нечетких множеств и т. п.

В технических науках и технической литературе, как правило, используются более широкие толкования понятия математиче­ской модели и математического моделирования. Например, сле­дующие:

«Математическая модель» — это приближённое описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики.

«Математическая модель технического объекта» есть сово­купность математических объектов (чисел, переменных, матриц, множеств и т.п.) и отношений между ними, которая адекватно отображает свойства технического объекта, интересующие ин­женера, разрабатывающего этот объект |28|.

В дальнейшем, если нет специальной оговорки, под словом «математическая модель» будем подразумевать именно матема­тическую модель в техническом понимании.

Отдельно выделим следующие важнейшие для техники виды математических моделей, которые могут быть названы: имитационная модель в технике — это алгоритмическая поведен­ческая математическая модель технического объекта, реализуе­мая на ЭВМ. Хотя следует сразу оговориться, что отдельные блоки модельного алгоритма могут составлять аналитические соотношения. То есть подавляющее большинство математиче­ских моделей, используемых для решения реальных задач, являются комбинированными.

• «символическими» (символьными);

• «аналитическими»;

• «численными» или «алгоритмическими».

При использовании символических моделей оперируют не зна­чениями величин, а их символьными обозначениями (иденти­фикаторами). Это удобно на высших уровнях абстрагирования, например, при концептуальном проектировании и логическом описании (моделировании) структуры и поведения технических объектов. Для получения количественных параметров моделиру­емого объекта или явления, в дальнейшем концептуальная модель может уточняться с использованием аналитических выкладок или численных математических методов.

Аналитические математические модели можно представить в виде явно выраженных математическими формулами зави­симостей выходных параметров. У от параметров внутренних О и внешних воздействий X. Многие фундаментальные физиче­ские закономерности состояния и поведения изделий машино­строения на соответствующем уровне абстрагирования можно описать аналитически. Однако большинство реальных, а значит, сложных технических объектов, требует более подробного моде­лирования, которое не может быть реализовано аналитическими методами.

Численные математические модели всегда подразумевают на­личие известного алгоритма вычислений, поэтому их часто на­зывают «алгоритмическими». В алгоритмических математических моделях связь У, X и О задана не явно в виде алгоритма модели­рования. В отличие от аналитического решения, которое может давать явную параметрическую зависимость решения от тех или иных условий задачи, при численном решении требуется много­кратное решение задачи при изменении того или иного параме­тра, причем численное решение может быть получено и для тех задач, для которых аналитического решения нет.

Одними из важнейших частных случаев алгоритмических мо­делей являются «имитационные математические модели», кото­рые чаше называют просто имитационными моделями. При этом алгоритм моделирования имитирует поведение объекта или системы объектов во времени, на компьютере, с исполь­зованием определенных гипотез и аналогий.

Другими словами, имитационная модель в технике — это алгоритмическая поведен­ческая математическая модель технического объекта, реализуе­мая на ЭВМ. Хотя следует сразу оговориться, что отдельные блоки модельного алгоритма могут составлять аналитические соотношения. То есть подавляющее большинство математиче­ских моделей, используемых для решения реальных задач, являются комбинированными.