3 Параметрическая оптимизация системы с пи-регулятором

3.1 Метод расширенных амплитудно-фазовых характеристик

Расширенная амплитудно-фазовая характеристика (РАФХ) получается из передаточной функции путем замены . Задаемся степенью колебательности замкнутой системы m. Если разомкнутая система имеет степень колебательности не ниже , то замкнутая система будет обладать , если РАФХ разомкнутой системы проходит через критическую точку . В том случае, если РАФХ разомкнутой системы не охватывает критическую точку, то степень колебательности замкнутой системы выше, чем . Для того чтобы замкнутая система обладала заданной степенью колебательности должно выполняться условие [2]:

(18)

где

(19)

где — расширенная передаточная функция объекта;

— расширенная передаточная функция регулятора.

Передаточная функция ПИ-регулятора определяется по формуле [2]:

(20)

где — коэффициент усиления регулятора;

— время интегрирования.

Расчетные формулы для настроек ПИ-регулятора [2]:

(21)

где — коэффициент усиления регулятора, ;

— передаточный коэффициент интегральной составляющей, ;

m=0.29— степень колебательности;

— расширенная амплитудно-частотная характеристика (РАЧХ) объекта (рисунок 7), определяется по формуле:

(22)

где Р = Re(Wоб) - действительная часть;

Q = Im(Wоб)- мнимая часть.

(23)

— расширенная фазо-частотная характеристика (РФЧХ) объекта. Определяется по формуле:

— рабочая частота.

Таким образом, мы имеем систему (21) двух уравнений с тремя неизвестными , и . Это означает, что существует множество пар , которые обеспечивают требуемое качество переходного процесса, т.е. требуемое значение степени колебательности, в данной системе. При этом каждая пара значений соответствует своей рабочей частоте .

Для нахождения оптимальных настроек необходимо выбрать рабочую частоту, а затем по формулам (17) рассчитать оптимальные , . С этой целью строят кривую равной колебательности (рисунок 10). Расчеты для различных процессов при постоянной степени колебательности показали, что минимуму интегрального квадратичного критерия соответствует точка на кривой равной колебательности вблизи ее вершины по правой ветви. На практике рекомендуется выбирать рабочую частоту из соотношения:

(20)

где — частота, соответствующая вершине кривой .

Рисунок 9 - Кривая равной колебательности для ПИ-регулятора

Рабочей точке соответствуют следующие параметры:

Определим параметры ПИ-регулятора:

1. коэффициент усиления:

2. время интегрирования:

3. время изодрома:

Подставив полученные настройки в (16), получим передаточную функцию ПИ-регулятора:

Передаточная функция замкнутой системы с ПИ-регулятором определяется как:

(24)

Из передаточной функции путем обратного преобразования Лапласа получаем переходную характеристику hs(t).

Рисунок 10 - Переходная характеристика замкнутой системы с ПИ-регулятором

Определим параметры качества переходного процесса:

1. время регулирования:

2. интегральный квадратичный критерий:

(25)

3. статическая ошибка: равна нулю из-за наличия интегральной составляющей.

4. динамическая ошибка:

(26)

где — первый максимум переходной характеристики.

5. степень затухания:

(27)

где — второй максимум переходной характеристики.

6. степень колебательности:

(28)

Таким образом, значение коэффициента 1,22 в формуле является приближенным, поэтому для нахождения оптимальных настроек исследуем переходные процессы при , и ,

Для сравнения переходных процессов построим переходные характеристики при , , , и на одном графике.

Таблица 4 Сравнительный анализ настроек ПИ-регулятора (РАФХ)

Рабочая частота	1,14	1,18	1,22	1,26	1,30
Коэффициент усиления	5,174	6,023	6,326	6,623	6,913
Время интегрирования , с	36,886	36,857	38,143	73,084	100,323
Интегральный квадратичный критерий	0,297	0,264	0,259	0,268	0,283
Степень затухания	0,988	0,8705	1	1	1
Степень колебательности	0,365	0,325

При внимательном рассмотрении изложенной выше таблицы, можно сделать вывод о том, что реальным оптимумом обладают настройки полученные при Частоты выше не соответствуют критерию оптимальности.

Рисунок 11 – Сравнение переходных характеристик замкнутой системы при различных

рабочих частотах

Программная реализация алгоритма в среде MathCAD представлена в приложении 2,3