Первый достаточный признак локального экстремума.
Теорема: Пусть функция задана в некоторой окрестности точки х0 (х нулевое) . Если точка х0 является точкой экстремума функции f, то ее производная равна 0 или не существует.
Действительно, производная в точке х0 либо существует , либо нет. Если она существует, то по теореме Ферма она равна 0.
Оба
случая , указанных в теореме , могут
быть реализованы. Например, в точке х =
0 , у = х^2 (х в квадрате) и у = х (модуль х!
) имеют строгий минимум, причем у первой
из них производная в этой точке существует
и равна 0, а у второй – не существует.
Отметим , что условия равенства нулю производной или ее несуществования в данной точке, будучи необходимыми условиями экстремума , не являются достаточными условиями для наличия экстремума в этой точке. Например функции f(x) = x^3 производная равна 3х^2 в точке х = 0 равна 0 , а экстремума в этой точке нет.
Достаточное условие выпуклости и вогнутости графика функции.
Если функция f(x) дважды дифференцируема на интервале (a,b) и ее производная f’’(x)>0 на интервале (a,b) то график функции y = f(x) выпуклый вниз на интервале (a,b).
Если на промежутке a<x<b вторая производная f’’(x) положительна (отрицательна), за исключением отдельных точек, в которых она равна 0, то кривая y = f(x) в этом промежутке вогнута вверх(вниз).
Действительно, если в промежутке a<x<b вторая производная f’’(x), например, положительна , за исключением отдельных точек, в которых она равна 0 , то первая производная f’(x) – возрастающая, а кривая y=f(x), согласно предыдущему, является вогнутой вверх.
Если f’’(x) = 0 не в отдельных точках, а в некотором промежуткеf’(x) – постоянная функция, а f(x) – линейная функция, график ее – прямая линия , и говорить о вогнутости не имеет смысла.
Критерий существования наклонной асимптоты.
Для того чтобы
прямая y
= kx
+ b
была наклонной асимптотой необходимо
и достаточно, чтобы существовали пределы
;
Доказательство:
Точка
Мо(хо,уо) и прямая L:
Аx
+By
+ Cz
= 0 ,То расстояние d(Mo,L)
П
усть
y=kx+b
асимптота => d(M,L)
0 => kx
– f(x)
+b
0 , тогда f(x)-kx
b
( при х стремящемуся к плюс бесконечности)
существует предел: lim
(f(x)
– kx)
=b,
(при х стремящемуся к 0 ) . (
+ здесь нада начертить график)
21 Теорема об инвариантности формы первого дифференциала
Если функция z
= f(x,
y)
удовлетворяет условиям, что функции
x
= x(u,
v)
и y=
y(u,
v)
дифференцируемы в точке (u0,
v0)
и, следовательно, имеют в этой точке
частные производные x¢u
, x¢v
, y¢u
, y¢v
, а функция z
= f(x,
y)
дифференцируема в точке (x0,y0),
где x0
= x(u0, v0),
y0 = y(u0, v0).
Тогда в точке (u0, v0)
существуют и частные производные z¢u
, z¢v
сложной функции z
= f(x(u,
v),
y(u,
v))
и
,
то
Доказательство:
найдем 
= (
)
(
)
=
+
=
чтд
22 Теорема о дифференцируемости сложной ф-ии(1 композиция)
Если функции x = x(t) и y = y(t) дифференцируемы в точке t0Î(a, b), а функция z = f(x, y) дифференцируема в точке (x0,y0)ÎD, где x0=x(t0), y0= y(t0), то сложная функция z = f(x(t),y(t)) дифференцируема в точке t0 и в этой точке
Доказательство:
т.к. z
= f(x,
y)
дифференцируема в 
(x0,y0)
то
где 
и 
при 
.
Выберем Δx
и Δy
специальным образом зависящие от Δt
и 
в силу непрерывности
функции x(t)
и y(t)
По условию
:
Функции
и 
дифференцируемы в точке 
и
непрерывные 
то 
тогда
.
При
получаем
