2.2 Сигналы с угловой модуляцией

1. Общая запись сигналов с чм и фм.

1) фазовая модуляция (ФМ), при которой

2) частотная модуляция (ЧМ), при которой

2. Спектр при тональной модуляции.

Спектр АМ колебания при тональной модуляции состоит из трех гармонических составляющих ωо, ωо-Ω и ωо+Ω. Составляющая с частотой ωо - несущая частота. Составляющая с частотой ωо-Ω называется левой (нижней) боковой, составляющая с частотой ωо + Ω- правой (верхней) боковой. Амплитуды боковых составляющих в М/2 раз меньше амплитуды несущей, где М - коэффициент глубины модуляции. При увеличении амплитуды ωо в 4 раза,амплитуда несущей увеличится в 4 раза, а амплитуды составляющих ωо-Ω и ωо+Ω вырастут в 2 раза. При увеличении ωо в 4 раза весь спектр перенесется по оси частот вправо.

На осциллограмме модулированного колебания при увеличении частоты несущего колебания в 4 раза произойдет сгущение частоты заполнения в 4 раза, т.е. в одном периоде модулирующего сигнала будет в 4 раза больше периодов несущего колебания. При увеличении ампллитуды несущего колебания в 4 раза размах осциллограммы увеличится в 4 раза, огибающая несущего колебания увеличится в 2 раза.

3.Ширина спектра (техническая).

Ширина спектра- это частотный интервал расположенный в области положительных значений частот в пределах которого модуль спектральной плотности больше некоторого заданного уровня. Например таким может быть уровень численно равный или нулю или 0.1 где - максимальное значение значение модуля спектральной плотности.

4.?

5. Узкополосная угловая модуляция.

Как уже говорилось, фазовая и частотная модуляция тесно взаимосвязаны и вместе называются угловой модуляцией. Сигнал с угловой модуляцией имеет вид колебания, начальная фаза которого зависит от времени:

s_УМ(t) = A₀ cos(ω₀ + φ(t)).

Различие между фазовой и частотной модуляцией заключается лишь в том, как именно начальная фаза j(t) связана с модулирующим сигналом.

При фазовой модуляции (ФМ) начальная фаза колебания прямо пропорциональна модулирующему сигналу:

φ(t) = ks_M(t).

Сам сигнал с фазовой модуляцией, таким образом, имеет вид

s_ФМ(t) = A₀ cos(ω₀t + ks_M(_t)).

Для сигналов с угловой модуляцией вводится понятие мгновенной частоты, определяемой как производная от полной фазы (то есть всего аргумента косинуса):

.

При частотной модуляции (ЧМ) мгновенная частота связана с модулирующим сигналом линейным соотношением:

ω(t) = ω₀ + ks_M(t).

Сам сигнал с частотной модуляцией записывается так:

.

Итак, в случае сигнала с угловой модуляцией любого типа от времени зависят и начальная фаза, и мгновенная частота, а полная фаза является нелинейной функцией времени. Формулы, показывающие зависимость этих параметров от времени для фазовой и частотной модуляции, приведены в следующей таблице.

Параметр	ФМ	ЧМ
Начальная фаза	&966;(t) = ksM(t)
Полная фаза	ω0t + ksM(t)
Мгновенная частота		ω(t) = ω0 + ksM(t)

При произвольном модулирующем сигнале спектр сигнала с угловой модуляцией не удается рассчитать аналитически. Проанализируем спектр сигнала с угловой модуляцией для случая гармонического модулирующего сигнала:

s(t) = A₀ cos(ω₀ t + β sin(Ωt)).

Параметр β называется индексом угловой модуляции. Мгновенная частота такого сигнала меняется по закону

ω(t) = ω₀ + βΩ cos(Ωt).

Максимальное отклонение мгновенной частоты от значения ω₀ называется девиацией частоты и обозначается Δω:

Δω = βω, .

Сигнал с гармонической угловой модуляцией можно представить в виде ряда:

.

Здесь J_k(β) - функция Бесселя порядка k от аргумента β. Таким образом, спектр сигнала с угловой модуляцией содержит бесконечное количество составляющих. Однако при фиксированной величине аргумента значения функций Бесселя с ростом порядка убывают по абсолютной величине. Если β >> 1 (при этом Δω >> Ω и угловую модуляцию называют широкополосной), то можно пренебречь составляющими с номерами |k| > b. Эффективная ширина спектра сигнала с широкополосной угловой модуляцией, таким образом, равна 2βΩ = Δω, то есть равна удвоенной девиации частоты.

Если β << 1 (при этом Δω << Ω и угловую модуляцию называют узкополосной), то можно приближенно считать, что в спектре сигнала с угловой модуляцией присутствуют только компоненты с k = -1, 0 и 1. Эффективная ширина спектра сигнала с узкополосной угловой модуляцией, таким образом, равна 2Ω, то есть удвоенной частоте модулирующего сигнала.