2. Спектральная плотность мощности стационарного процесса, её связь с функцией корреляции.

4.Функция корреляции и спектральная плотность мощности узкополосного процесса.

О пределим теперь корреляционную функцию узкополосного случайного процесса со спектральной плотностью (рис. 3.18)

Вводя вместо новую переменную интегрирования ,получим

Так как для узкополосных процессов ширина спектра мала по сравнению с , а функция расположена в области низких частот, то верхние пределы интегрирования можно распространить до бесконечности (здесь рассматривается только положительная ветвь исходного процесса). Вводя обозначение

(3.3.17)

для корреляционной функции узкополосного процесса окончательно находим . Так как энергетический спектр сосредоточен в узкой полосе частот около , а спектр расположен в низкочастотной области, то функции и будут медленно меняющимися функциями по сравнению с и . Если дополнительно предположить, что энергетический спектр узкополосного процесса симметричен относительно центральной частоты , то энергетический спектр будет симметричен относительно начала координат. В этом случае функция , так как для нее подынтегральное выражение в (3.3.17) является нечетной функцией, и Следовательно , корреляционная функция узкополосного случайного процесса с симметричным относительно средней частоты энергетическим спектром равна умноженной на корреляционной функции , которая соответствует низкочастотному процессу со спектром , полученному из исходного процесса смешением спектра на величину в область низких частот. Сказанное иллюстрируется рис. 3.18 6.

Интервал корреляции узкополосного процесса согласно (3.3.11) будет равен .

p_ошАМкг = , (2.12)

где – отношение сигнал/шум по мощности.

Зависимость p_ошАМ = f(h) при когерентном приёме показана на рисунке 2.3 (кривая 2).

При когерентном приеме достигается потенциальная помехоустойчивость, если в приемнике осуществить оптимальную фильтрацию сигнала. При этом достигается максимальное отношение сигнал/шум h₀ (отношение энергии элемента сигнала к спектральной плотности мощности помехи)

,

при этом в формуле (2.12) h заменяется на h₀.

Конец формы

7. Функция корреляции и спектральная плотность мощности дискретных случайных процессов.

6.2 Преобразования случайных процессов линейными системами

1.Временной и частотный методы анализа стационарных линейных систем при случайных воздействиях.

Будем рассматривать линейные динамические системы вида:

(4.1)

где xEⁿ – n-мерный вектор фазовых переменных; uÎE^m – m-мерный вектор управляющих воздействий (детерминированный); xÎE^k – k-мерный вектор случайных возмущений с заданными главными вероятностными характеристиками Mx(t), Rx(t₁,t₂); x_0ÎEⁿ – n-мерный вектор случайных начальных условий с заданными главными вероятностными характеристиками M_X0, K_X0; A(t) – матрица размера nxn, B(t) – матрица размера nxm, D(t) – матрица размера nxk.

Если матрицы A(t), B(t), D(t) не изменяются во времени, то система (4.1) называется линейной стационарной системой . В этом случае её удобно описывать с помощью матричных передаточных функций

(4.2)

где s – аргумент Лапласа; W_xu(s) – матрица передаточных функций, связывающих вход u с выходом x; W_xx(s) – матрица передаточных функций, связывающих вход xс выходом x.

Решение системы (4.1) можно представить в квадратурах с помощью формулы Коши на основании свойства суперпозиции линейных систем [2]

, (4.3)

где G_xu(t,s) = Ф(t,s)B(s), G_xx(t,s) = Ф(t,s)D(s) – матрицы весовых функций, преобразования по Лапласу которых приводят к матрицам передаточных функций W_xu(s), W_xx(s), соответственно; Ф(t,t₀) – матрица фундаментальных решений, которая описывается матричным дифференциальным уравнением

(4.4)

где E – единичная матрица размера nxn.

Матрица фундаментальных решений для аргументов t и t₀ может быть выражена через промежуточные моменты времени t=t_n< t_n-< … < t₁< t₀ :

где Dt=t_i+1- t_i – малый временной интервал разбиения, на котором исходная линейная система может рассматриваться как стационарная .

В выражении (4.3) каждое слагаемое определяет вклад в формирование выходной переменной x(t) соответственно начального состояния системы, управляющих и возмущающих воздействий.