Надайте загальну характеристику аналітичних, графічних і чисельних методів визначення реакції нрк на задану вхідну дію.

Суть графічного методу визначення реакції f₂(t) по заданому сигналу на вході кола f₁(t) і відомій характеристиці НРК зрозуміла із рис. 3.2. Тут зображена характеристика кола – графік залежності вихідної реакції f₂ від діючого на вході сигналу f₁, побудовані залежності від часу заданого сигналу f₁ (внизу) і шуканої реакції кола f₂ (справа). Для простоти форма вхідного сигналу прийнята гармонійною. Для отримання необхідної точності аналізу при побудові слід використати достатньо велику кількість точок, особливо в тих місцях, де характеристика кола або вхідний сигнал мають ділянки з великою крутизною. Недоліки побудов, наведених на рис. 3.2, полягають у тому, що діючий сигнал і шукана реакція розташовуються в різних місцях креслення, що утрудняє їх порівняння. Зручніше розташовувати графіки f₁(t) і f₂(t) один під одним, як це зроблено на рис. 3.3.

Рисунок 3.2 – Визначення реакції НРК графічним методом

Гідність графічного методу: наочність, простота, можливість знаходження характеристики, що забезпечує необхідне перетворення сигналу.

Для аналітичного визначення реакції f₂(t) необхідно мати аналітичні вирази як для вхідного сигналу f₁(t), так і вхідної або передаточної характеристики НРК. Якщо характеристика кола задана у вигляді графіку, то вона попередньо шляхом апроксимації повинна бути приведена до аналітичного виду. Хай характеристика НРК у аналітичному вигляді вже представлена наступною залежністю:

f₂(t)=g(f₁). (3.2)

Якщо вхідний сигнал змінюється за законом f₁= f₁(t), то шукану реакцію можна одержати підстановкою f₁ у залежність (3.2):

f₂(t)=g[f₁(t]).

Таким чином, аналітичне визначення дає вихідну реакцію f₂ у вигляді явної функції часу t. Головна гідність аналітичного методу визначення реакції кола – можливість робити висновки про деякі загальні властивості НРК, що мають принциповий характер. Розв’язання системи нелінійних функціональних рівнянь, що описує НРК, може бути виконане чисельними методами. Для цього всі коефіцієнти рівнянь повинні бути задані чисельно. В процесі рішення система рівнянь шляхом підстановок і перетворень повинна бути приведена до одного рівняння з одним невідомим або, якщо це неможливо, до мінімального числа рівнянь. Найчастіше чисельне рішення функціональних рівнянь виконується в два етапи. Спочатку визначається груба оцінку коріння (рішення). Потім виконується уточнення значення коріння (рішення) на основі прийнятого уточнюючого алгоритму до отримання результату необхідної точності. Робиться це, як правило, за допомогою ЕОМ.

Визначте спектри амплітуд і фаз вихідної реакції нрк, передаточна характеристика якого задана поліномом другого ступеня, на вхідну дію:

1. а) у вигляді гармонійного сигналу u(t)=U·cos(t +₀);

2. Б) у вигляді суми двох гармонік.

1

розглянемо дію на вході кола гармонійного сигналу амплітудою U, частотою  і початковою фазою ₀ :

u(t)=U·cos(t +₀). (3.4)

Для отримання реакції кола „i” необхідно функцію (3.4) звести в ступені (k=1, 2, 3 …n) і виконати сумування з урахуванням коефіцієнтів B_k. З метою спрощення аналізу обмежимось ступенем поліному n =3. Для k=2 і k=3 будемо мати:

;

,

З наведеного видно, що гармонійна функція ступеня n еквівалентна сумі гармонік кратних частот, тобто тригонометричному поліному. При цьому парному значенню n відповідає сума парних гармонік, включаючи і нульову, а непарному – сума непарних гармонік. Щонайвища частота гармонік визначається ступенем полінома, тобто _max = n.

Якщо (3.4) підставити в (3.3), то після відповідних перетворень можна записати, що:

. (3.5)

Тобто, реакція НРК при дії гармонійного сигналу на вході є негармонійною періодичною функцією, що складається з суми гармонік до n-ої включно, де n – ступінь полінома, що задає характеристику кола.