20 Питання.

Ґратки. Підґратки та півґратки. Теореми про властивості операцій в ґратках (ізотонність об’єднання та перетину, нерівності дистрибутивності та модулярності, з доведенням).

Ґратками називається частково впорядкована множина, в якій два елемента x та y мають точну нижню межу, яка називається перетином (позначається x ∧ y), та точну верхню межу, яка називається об’єднанням (позначається x ∨ y).

Підґратками ґраток L називається підмножина X ⊂ L така, що якщо a ∈ X, b ∈ X, то a ∧ b ∈ X та a ∨ b ∈ X.

Система з однією операцією, для якої виконуються закони самопоглинання, комутативності та асоціативності, називається півґратками.

В довільних ґратках операції об’єднання та перетину ізотонні: якщо y ≤ z, то x ∧ y ≤ x ∧ z та x ∨ y ≤ x ∨ z.

Доведення. Згідно законів з теореми 8.1, якщо y ≤ z, то x ∧ y = (x ∧ x) ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ (x ∧ z). Враховуючи, що x ∧ x = x та y ∧ z = y, за умовою сумісності отримуємо x ∧ y ≤ x ∧ z. ►

В довільних ґратках мають місце наступні нерівності дистрибутивності:

x ∧ (y ∨ z) ≥ (x ∧ y) ∨ (x ∧ z), x ∨ (y ∧ z) ≤ (x ∨ y) ∧ (x ∨ z).

Доведення. Очевидно, що x ∧ y ≤ x та x ∧ y ≤ y ≤ y ∨ z, звідки маємо x ∧ y ≤ x ∧ (y ∨ z). Аналогічно, x ∧ z ≤ x та x ∧ z ≤ z ≤ y ∨ z, звідки x ∧ z ≤ x ∧ (y ∨ z). Таким чином, x ∧ (y ∨ z) є верхньою межею для x ∧ y та x ∧ z, тобто виконується x ∧ (y ∨ z) ≥ (x ∧ y) ∨ (x ∧ z). Аналогічно доводиться друга нерівність. ►

Елементи довільних ґраток задовольняють нерівності модулярності: якщо x ≤ z, то x ∨ (y ∧ z) ≤ (x ∨ y) ∧ z.

Доведення. x ≤ x ∨ y та x ≤ z, значить x ≤ (x ∨ y) ∧ z. Аналогічно, y ∧ z ≤ y ≤ x ∨ y та y ∧ z ≤ z, відповідно, y ∧ z ≤ (x ∨ y) ∧ z, звідки x ∨ (y ∧ z) ≤ (x ∨ y) ∧ z. ►

Якщо ґратки є дистрибутивними, то вони є й модулярними.

21 Питання

Дистрибутивні ґратки та модулярні ґратки. Теореми про дистрибутивні ґратки (з доведенням). Булеві ґратки (доповнення елементу в ґратках). Теорема про властивості булевих ґраток (з доведенням).

Ґратки називаються дистрибутивними, якщо в них для всіх x, y, z виконуються тотожності:

x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z), x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z).

Ґратки називаються модулярними, якщо в них виконується модулярний закон:

якщо x ≤ z, то x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ z.

Якщо ґратки є дистрибутивними, то вони є й модулярними.

Модулярний закон може бути отриманий з тотожності x ∨ (z ∧ y) = [x ∨ (z ∧ x) ∨ (z ∧ y)], якщо x ≤ z. Таким чином, модулярний закон виконується в будь-яких дистрибутивних ґратках.

У повних ґратках елемент a′ називається доповненням елемента a, якщо a ∧ a′ = 0 та a ∨ a′ = 1.

У булевих ґратках довільний елемент x має одне й тільки одне

доповнення x′. При цьому виконується:

1) інволюція: (x′)′ = x,

2) межі доповнюють одна одну: 1′ = 0, 0′ = 1,

3) виконуються закони де Моргана: (x ∧ y)′ = x′∨ y′, (x ∨ y)′ = x′∧ y′.

Доведення. Нехай y, z – доповнення x. Тоді x ∧ y = 0, x ∨ y = 1, x ∧ z = 0, x ∨ z = 1. Маємо:

y = y ∧ 1 = y ∧ (x ∨ z) = (y ∧ x) ∨ (y ∧ z) = 0 ∨ (y ∧ z) = y ∧ z,

z = z ∧ 1 = z ∧ (x ∨ y) = (z ∧ x) ∨ (z ∧ y) = 0 ∨ (z ∧ y) = z ∧ y = y ∧ z.

Звідки отримуємо, що z = y. З 1 ∧ 0 = 0 та 0′∧ 0 = 0 випливає 1 = 0′. Аналогічно, з 1 ∨ 0 = 1 та 1′∨ 1 = 1, 1′ = 0.

Доведемо (3). Якщо елементи x та y мають доповнення x′ та y′ відповідно, то елемент x ∧ y має доповнення (x ∧ y) ′, а елемент x ∨ y – (x ∨ y) ′. Через те, що доповнення єдине для доведення першої рівності з (3) досить показати, що (x ∧ y) ∨ (x′∨ y′) = 1 та (x ∧ y) ∧ (x′∨ y′) = 0. Дійсно, (x ∧ y) ∨ (x′∨ y′) = (x′∨ y′∨ x) ∧ (x′∨ y′∨ y) = 1 ∧ 1 = 1, (x ∧ y) ∧ (x′∨ y′) = (x ∧ y ∧ x′) ∨ (x ∧ y ∧ y′) = 0 ∨ 0 = 0.