14 Питання.

Число алеф-нуль. Операції над кардинальними числами (властивості та теореми, з доведенням). Теореми про об’єднання зліченних та скінченних множин.

Потужність зліченої множини позначається кардинальним трансфінітним числом ℵ ₀ (читається: алеф-нуль).

Додавання. Нехай α та β кардинальні числа, а множини A та B мають відповідно потужності cardA = α та cardB = β.Іншими словами, якщо множини A та B не перетинаються, то потужність їх об’єднання дорівнює α + β.

Добуток. Через α⋅β позначається потужність декартового добутку A × B. Іншими словами, добуток α⋅β – це кардинальне число об’єднання α частин, які не перетинаються між собою та кожна з яких має потужність β.

Піднесення у степінь. Через α ^β позначається потужність множини A^B, тобто потужність множини усіх функціональних відображень із B в A: card(B → A) = card(A^B) = cardА ^cardB.

Об’єднання скінченої або зліченої кількості скінчених або злічених підмножин множини A скінчене або злічене.

Якщо A – нескінчена множина, а B скінчене або злічене, то A ∪ B ~ A (рівнопотужні), тобто card(A∪B) = cardA.

15 Питання.

Незліченні множини (теорема про потужність булеану множини). Теорема Кантора (з доведенням). Потужність континууму (властивості операцій над трансфінітними кардинальними числами). Континуум-гіпотеза (її узагальнення).

Якою б не була множина A, множина її підмножин має потужність, яка строго більша потужності A. Ця теорема показує, що послідовність трансфінітних кардинальних чисел не обмежена.

(Кантора). Множина дійсних чисел з інтервалу (0, 1) незлічена.

Доведення. Не існує таких двох чисел на даному проміжку, що між ними не можна поставити ще одне число.

Потужність множини (0, 1) називається потужністю континууму. Потужність континууму позначається ℵ ₁ (алеф-один).

Континуум-гіпотеза. Кардинальне число 2^ℵ0 безпосередньо слідує за ℵ ₀ .Узагальнення континуум-гіпотези. Для будь-якого кардинального числа α кардинальне число 2^α безпосередньо слідує за α.

m ⋅ℵ ₁ = ℵ ₀ ⋅ℵ ₁ = ℵ ₁ ⋅ℵ ₁ = ℵ ₁^m=ℵ ₁^ℵ0 = ℵ 1 , де m ≥ 1 – ціле.

16 Питання.

Алгебри (закон композиції, операції, операнди). Замкнення операції, підалгебри, таблиці Келі. Замкнення множини (властивості замкнення). Системи твірних. Властивості операцій.

У математиці та її застосуваннях велике значення мають відношення, що ставлять у відповідність парі яких-небудь об’єктів (a, b) третій об’єкт c, тобто тернарні відношення, наприклад, дії над числами.

Запис a ⊥ b = c означає, що a в композиції з b дає c, де ⊥ - операція; a, b – операнди; c – результат операції або композиції об’єктів a і b.

Позначимо множини операндів A та B (a ∈ A, b ∈ B) і множину результатів операції C (c ∈ C); тоді операцію (композицію) можна означити як відображення A × B → C. Її часто називають законом композиції.

Будь-який закон композиції A × B → C над скінченними множинами можна задавати прямокутною матрицею (таблицею Келі):

b 1 b 2 b 3 …

a 1 c 11 c 12 c 13 …

a 2 c 21 c 22 c 23 …

a 3 c 31 c 32 c 33 …

… … … … …

Тут рядки – це елементи множини A, стовпці – елементи множини B. На перетині рядка та стовпця, що відповідають (а i , b j ), розташовується елемент c ij = а i ⊥ b j .

Підмножина X ⊂ S називається замкненою відносно операції ϕ, якщо ∀ x ₁ ,…,x _n ∈ X | ϕ( x ₁ ,…,x _n ) ∈ X.Якщо X замкнена відносно всіх ϕ∈Σ , то 〈X; Σ _X 〉 називається підалгеброю 〈S; Σ〉, де Σ _X – множина операцій ϕ₁ , …, ϕ_m , які розглядаються як операції над X.

Замкнення множини X ⊂ S відносно сигнатури Σ (позначається [X]Σ) називається множина всіх елементів (включаючи самі елементи X), які можна отримати з X, застосовуючи операції з Σ .

Властивості замкнення: 1. X ⊂ Y ⇒ [X] ⊂ [Y]

2. X ⊂ [X]

3. [[X]] = [X]

4. [X] ∪ [Y] ⊂ [X ∪ Y]

Множина X ⊂ S називається системою твірних алгебри 〈S; Σ〉, якщо [X]Σ= S.

1. Асоціативність: (a ⊥ b) ⊥ c = a ⊥ (b ⊥ c).

2. Комутативність: a ⊥ b = b ⊥ a

3. Дистрибутивність зліва: a ◊ (b ⊥ c) = (a◊b) ⊥ (a◊c).

4. Дистрибутивність справа: (a ⊥ b) ◊ c = (a◊c) ⊥ (b◊c).

5. Поглинання: (a ⊥ b) ◊ a = a.

6. Ідемпотентність (самопоглинання): a ⊥ a = a.