12 Питання.

Структура впорядкованих множин (мінімальні, максимальні, найбільші, найменші елементи, з відповідними теоремами). Теорема про принцип подвійності у відношення порядку (з доведенням). Діаграма Гассе (відношення домінування; верхні, нижні межі).

Мінімальним (максимальним) елементом множини A, на якій задано відношення порядку ≤ , називається такий елемент x ∈ A, що для всякого елемента y ∈ A, що порівнюється з x, має місце x ≤ y (y ≤ x).

Елемент x ∈ A називається найменшим (найбільшим), якщо для кожного елемента y ∈ A виконується x ≤ y (y ≤ x).

В кожній частково упорядкованій множині існує не більше одного найменшого (а в силу принципу подвійності і найбільшого) елементу.

Доведення. Припустимо, що x і y – два найменші елементи в множині A, тоді x ≤ y в силу того, що x – найменший елемент і y ≤ x в силу того, що y – найменший елемент. Але тоді із антисиметричності відношення ≤ випливає, що x=y.

Будь-яка скінчена непорожня впорядкована множина має мінімальні та максимальні елементи.

Відношення, обернене до відношення часткового порядку, теж буде відношенням часткового порядку.

Доведення. Нехай R^-1 – відношення, обернене до відношення часткового порядку R.

Покажемо, що R^-1 є відношенням часткового порядку.

1) рефлексивність: оскільки I ⊆ R, то I = I^-1 ⊆ R^-1.

2) транзитивність: якщо R◦R ⊆ R, R^-1 ◦R^-1 = (R◦R)^-1 ⊆ R^-1.

3) антисиметричність: якщо R ∩ R^-1 ⊆ I (умова антисиметричності), то R^-1 ∩ R ⊆ I R^-1∩ (R^-1)^-1 ⊆ I.

Нехай А – частково впорядкована множина з відношенням порядку ≤ і x, y ∈ A. Говорять, що елемент y домінує над елементом x, якщо y>x і ні для якого елементу z ∈ A невірно, що y>z>x. Граф будується знизу-вгору: якщо елемент y домінує над x, то він розташовується вище елементу x і з’єднується з ним прямою. Незрівнянні елементи розташовуються на одному рівні. Отриманий граф називається діаграмою Гассе.

Нехай A – множина на якій визначено порядок < або ≤ . Верхньою межею або гранню підмножини B ⊆ A називають такий елемент m ∈ A, що для будь-якого елемента x ∈ B справджується відношення x<m або x ≤ m. Нижньою межею або гранню підмножини B ⊆ A називають такий елемент n ∈ A, що для будь-якого елемента x ∈ B справджується відношення n<x або n ≤ x.

13 Питання

Потужність множин (рівнопотужні множини, кардинальні числа). Теорема Кантора-Бернштейна (з наслідком). Зліченні множини (теореми про зліченність раціональних та цілих чисел, з доведенням).

Потужність множин – кількість елементів, з яких складається множина. Рівнопотужні множини – множини,які складаються з однакової кількості елементів. Кардинальні числа – потужність множини.

(Кантора-Бернштейна) (без доведення).

Нехай A та B – дві довільні нескінченні множини. Тоді:

а) або існує ін’єкція із A в B, або існує ін’єкція із B в A (одно не виключає інше),

б) якщо існують ін’єкції A → B та B → A, то існує бієкція із A в B.

Іншими словами, якщо множина A рівнопотужна деякій підмножині множини B, а множина B рівнопотужна деякій підмножині множини A, то A та B рівнопотужні.

Ця теорема має наступні наслідки.

1) Якщо існує ін’єкція A → B, але не існує ін’єкція B → A, то множина B має потужність, яка строго більша потужності A: cardB > cardA.

2) Якщо існує ін’єкція B → A, але не існує ін’єкція A → B, то множина B має потужність, яка строго менша потужності A: cardB < cardA.

3) Якщо існує бієкція із A в B, то множини A та B рівнопотужні: cardB = cardA.

Потужністю зліченої множини називається потужність множини натуральних чисел N. Зліченою називається всяка множина A, рівнопотужна множині натуральних чисел N.

Множина додатних раціональних чисел Q+ злічена.

Доведення. Будь-яке раціональне число можна представити у вигляді дробу m/n, де m, n – натуральні числа, n ≠ 0. Запишемо раціональні числа у вигляді таблиці:

Потужність зліченої множини ℵ 0 є найменшим трансфінітним кардинальним числом.

Доведення. Припустимо, що для деякої нескінченої множини A відношення cardA > ℵ0 не виконується, тобто cardA ≤ ℵ 0 . Це означає, по теоремі Кантора-Бернштейна, що існує ін’єкція A → N, тобто в N існує нескінчена частина P, така що між A та P існує бієкція. Але між множиною N і її нескінченою частиною P також існує бієкція. Відображення n → x _n , де x _n є (n+1)-й за порядком зростання елемент P, визначає бієкцію N на P. Тобто отримали, що cardA = ℵ 0 .