10 Питання.

Відношення еквівалентності (приклади). Класи еквівалентності (властивості, з доведенням). Зв’язок між розбиттям множини та відношенням еквівалентності. Матриця та граф відношення еквівалентності. Відношення толерантності.

Бінарне відношення на множині A називається відношенням еквівалентності, якщо це відношення є рефлексивним, симетричним та транзитивним.

Прикладом відношення еквівалентності є відношення рівності чисел чи множин. Відношення “жити в одному місті” є також відношенням еквівалентності.

Нехай ≡ - відношення еквівалентності на A і x ∈ A. Тоді підмножина елементів множини A, які еквівалентні x, називається класом еквівалентності для x: [x]_≡ = {y | y ∈ A, x ≡ y}.

∀ a ∈ A, a ∈ [a].

a ≡ b ⇔ [a] = [b]. Нехай a не є еквівалентним b, тобто ці елементи не можуть належати одному класу еквівалентності, що суперечить умові [a] = [b].

a ≡/ b ⇔ [a] ∩ [b] = ∅ . Доведення. Від супротивного. Нехай [a] ∩ [b] ≠ ∅ , тоді існує елемент c ∈ [a] ∩ [b], тобто c ∈ [a] та c ∈ [b]. Звідси отримуємо, що c ≡ a та c ≡ b. Використовуючи властивість

симетричності маємо: a ≡ c та c ≡ b. А за властивості транзитивності отримуємо a ≡ b, що суперечить припущенню.

Всяке відношення еквівалентності на множині A визначає розбиття множини A, притому серед елементів розбиття немає порожніх. Це розбиття єдине. Зворотно, всяке розбиття множини A, яке не містить порожніх елементів, визначає відношення еквівалентності на множині A.

Стовпці матриці відношення еквівалентності для елементів одного класу еквівалентності однакові та містять одиниці у всіх рядках, які відповідають цим елементам. Оскільки класи еквівалентності не

перетинаються, у стовпцях, які відповідають елементам різних класів, не буде одиниць в одних і тих самих рядках.

Граф відношення еквівалентності: кожна компонента з’єднання якого, що відповідає класу еквівалентності, є повним підграфом із петлями на кожній вершині.

Відношення R на множині A, що задовольняє властивості рефлексивності та симетричності, називається відношенням толерантності. Як приклад можна навести відношення “відстань між двома точками на площині не перевищує деякого заданого числа a”.

11 Питання.

Відношення порядку (строгого та нестрогого, приклади). Лінійно, частково впорядковані множини (ланцюг). Вагові функції та відношення квазіпорядку.

Бінарне відношення на множині A називається відношенням нестрогого порядку, якщо воно рефлексивне, антисиметричне та транзитивне. Як приклад відношення нестрогого порядку в множині людей можна назвати відношення “бути не старшим”

Бінарне відношення на множині A називається відношенням строгого порядку, якщо воно асиметричне та транзитивне. Як приклад відношення строго порядку можна навести відношення строгої нерівності.

Множина A називається лінійно (абсолютно) впорядкованою, якщо для будь-яких двох її елементів x та y виконується x<y або y<x (x ≤ y або y ≤ x). Лінійно впорядкована множина зі строгим порядком також називається ланцюгом.

Може виявитись, що для деяких пар (x, y) жодне зі співвідношень x<y або y<x не виконується. Такі елементи x та y називаються незрівнянними. У цьому випадку кажуть, що множина є частково впорядкованою.

Нехай f : A → R є функціональним відображенням, заданим на множині A. Це означає,

що кожному елементу x ∈ A відповідає деяке дійсне число y = f(x), яке називається вагою.

Відображення f при цьому має назву вагової функції.

Строгий порядок на множині класів еквівалентності {A 1 , A 2 , ...} множини A індукує квазіпорядок на цій множині.