8 Питання.

Функціональні відношення (означення, образи та прообрази, образи та прообрази множин). Типи відображень (сюр’єкція, ін’єкція, бієкція, приклади). Продовження та звуження функції.

Відношення f ⊂А×В називається функціональним (або просто функцією), якщо кожному a ∈ A: (a, b) ∈ f відповідає один і тільки один елемент b ∈ B.

Координата a впорядкованої пари (a, b) ∈ f є прообразом (аргументом, змінною), а друга b –

образом (значенням).

Якщо для відображення f : A → B будь-який елемент b з B є образом принаймні одного елементу a з A відображення буде мати назву сюр’єкції.

Якщо для відображення f : A → B для будь-яких двох різних елементів a 1 та a 2 з A їх образи b 1 та b 2 також різні, то відображення f називається ін’єкцією.

Відображення, яке одночасно є сюр’єктивним та ін’єктивним називається бієкцією.

Сукупність усіх елементів, образом яких є заданий елемент b, називається повним прообразом елемента b. Сукупність елементів f(а), які є образами всіх елементів множини C ⊂ A, називається образом множини C.

Нехай функцію f : A → B задано на A, f 1 – на множині C ⊂ A, причому для кожного a ∈ C виконується f(a) = f 1 (a). Тоді f 1 називається обмеженням (звуженням) функції f на C, а f – продовженням функції f 1 на A.

9 Питання

Властивості операцій над відображеннями (з доведенням). Композиція функціональних відображень (теореми про властивості композицій, з доведенням).

Нехай f є відображення f : A → B. Тоді справедливі наступні властивості відображень:

а) Якщо X ⊂ Y, то f(X) ⊂ f(Y), f^-1(X) ⊂ f ^-1(Y),

б) f(X ∪ Y) = f(X) ∪ f(Y), f ^-1(X ∪ Y) = f ^-1(X) ∪ f ^-1(Y),

в) f(X\Y) = f(X) \ f(Y), f ^-1(X\Y) = f ^-1(X) \ f^-1(Y),

г) f(X ∩ Y) = f(X) ∩ f(Y), f ^-1(X ∩ Y) = f^-1(X) ∩ f ^-1(Y),

д) f ^–1(X ′) = (f ^–1)′(X).

Доведення:

f(a) ∈ f(X ∪ Y) ⇒ a ∈ X ∪ Y ⇔ a ∈ X або a ∈ Y ⇒ f(a) ∈ f(X) або f(a) ∈ f(Y) ⇔ f(a) ∈ f(X) ∪ f(Y) ⇒ f(X ∪ Y) ⊆ f(X) ∪ f(Y).

Якщо f : A → B, g : B → C, то їх композиція (g◦f) : A → C, причому (g◦f)(а) = g(f(а)). Іншими словами, якщо існує множина пар (a, b) ∈ f та (b,c) ∈ g, то множина пар (a, c) ∈ f◦g утворює композицію (g◦f).

Функція f є взаємно однозначним функціональним відношенням тоді і тільки тоді, коли f ^–1 – взаємно однозначне відношення.

Доведення. Доведемо, що f ^–1 – функція. Нехай (b, a 1 ) ∈ f ^–1, (b, a 2 ) ∈ f ^–1. за означенням оберненого відношення маємо (a 1 , b) ∈ f, (a 2 , b) ∈ f. Оскільки f за умовою є взаємно однозначною функцією, дістанемо a 1 = a 2 , а це означає, що f ^–1 – функціональне відношення. Покажемо, що f ^–1 – взаємно однозначне функціональне відношення. Нехай (b 1 , a) ∈ f ^–1,(b 2 , a) ∈ f ^–1. Це означає, що (a, b 1 ) ∈ f, (a, b 2 ) ∈ f. Оскільки f – функція, маємо b 1 = b 2 , а це означає, що f ^–1 є взаємно однозначним функціональним відношенням.

Композиція двох функціональних відношень є функціональним відношенням.

Доведення. Нехай f : A → B, g : B → C. За означенням композиції відношень h = (g◦f) = {(a, c) | ((a, b) ∈ f та (b, c) ∈ g}. Отже, це за означенням – підмножина декартового добутку A × C. Доведемо, що h – функціональне відношення. Нехай задано дві пари, які належать h: Оскільки f – функціональне відношення, маємо b 1 =b 2 , а оскільки g – функціональне відношення, дістаємо c 1 =c 2 . Отже h – функціональне відношення.

Композиція двох сюр’єкцій – сюр’єкція.

Композиція двох ін’єкцій – ін’єкція.

Композиція двох бі’єкцій – бі’єкція.