48 Питання.

Біноміальні коефіцієнти, біном Ньютона (з доведенням, наслідки). Властивості біноміальних коефіцієнтів (з доведенням). Трикутник Паскаля. Поліноміальна теорема (з доведенням).

Кількість сполучень називають також біноміальними коефіцієнтами. Зміст цієї назви встановлює наступна теорема, відома також як формула бінома Ньютона.

Нехай x та y – змінні, n – додатне ціле число. Тоді

Доведення. Розглянемо наступну послідовність, яка складається з чисел 1,…,n. Спочатку виписані всі підмножини довжиною 0, потім всі підмножини довжиною 1 і т.д. Маємо C ^j_nпідмножин потужності j, де кожна підмножина має довжину j, таким чином всього

49 Питання.

Задача про цілочислові розв’язки (формулювання та розв’язок, різні типи формулювань). Принцип включення-виключення (теорема з доведенням, альтернативна форма).

Цю задачу формулюють так: знайти кількість розв’язків рівняння x 1 +x 2 +…+x k = n у цілих невід’ємних числах, де n – ціле невід’ємне число.

- альтернативна форма

50 Питання.

Розбиття. Числа Стірлінга другого роду. Кількість розбиттів множини (з доведенням). Числа Белла.

Сукупність множин A 1 , A 2 , ..., A n називається розбиттям множини A, якщо

Підмножини A 1 , A 2 , ..., A n множини A називаються блоками розбиття.

Кількість розбиттів n-елементної множини на k-блоків називається числом Стірлінга другого роду і позначається Ф(n, k).

51 Питання.

Алгоритми генерування перестановок, сполучень та розміщень (обґрунтування коректності алгоритмів).Генерування розбиттів множин.

Алгоритм побудови лексикографічно наступної перестановки

1. Знайти такі числа a j і a j+1 , що (a j <a j+1 ) та (a j+1 >a j+2 >…>a n ). Для цього потрібно знайти в перестановці першу справа пару сусідніх чисел, у якій число, що ліворуч, менше від числа, що праворуч.

2. Записати в j-ту позицію таке найменше з чисел a j+1 , a j+2 , …, a n , яке водночас більше, ніж a j .

3. Записати у висхідному порядку число a j і решту чисел a j+1 , a j+2 ,…, a n у позиції j+1,…,n.

Обґрунтування алгоритму. Доведемо, що не існує перестановки, яка водночас більша від a 1 a 2 …a n , але менша від побудованої за цим алгоритмом. Це означає, що побудована перестановка дійсно лексикографічно наступна за даною перестановкою a 1 a 2 …a n . Справді, за наведеним алгоритмом нова перестановка збігається зі старою в позиціях 1, …, j–1. У j-й позиції нова перестановка містить a k , а стара – a j , причому a k >a j . Отже, нова перестановка лексикографічно більша від старої. Окрім того, вона перша в лексикографічному порядку з a 1 , a 2 , …, a j-1 , a k у позиціях з 1 до j. Стара перестановка остання з a 1 , a 2 , …, a j-1 у цих самих позиціях. Згідно з алгоритмом a k вибирають найменшим з a j+1 , a j+2 , …, a n , але більшим, ніж a j . Отже, не існує жодної перестановки між старою та новою. ►

Алгоритм побудови лексикографічно наступного сполучення

1. Знайти в рядку перший справа елемент a i такий, що a i ≠ n – r + i.

2. Збільшити знайдений елемент a i на 1.

3. Встановити значення елементів в позиціях j = i+1, i+2, …, r на a j-1 + 1.

Обґрунтування алгоритму. Доведемо, що наведений алгоритм дійсно будує наступне в лексикографічному порядку сполучення. Рядок чисел, яким подано лексикографічно наступне сполучення, відрізняється від рядка, що зображує дане сполучення, з позиції i, бо в даному сполученні в позиціях i+1, i+2, …, r є максимально можливі числа. Отже, a i +1 – найменше можливе число, яке можна записати в позицію i, якщо хочемо отримати сполучення, більше від даного. Тоді a 2 + 2, …, a i + r – i + 1 – найменші можливі числа, які можна записати в позиціях від i+1 до r. ►

Коротко зупинимось на питанні генерування всіх розміщень з n елементів по r. Знову розглядатимемо цю задачу лише для множини A´ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Один із можливих способів її розв’язання такий. Використаємо алгоритм генерування лексикографічно наступного сполучення для побудови r-елементних сполучень n-елементної множини A´. Після кожної стадії, коли побудовано чергове r-сполучення, застосуємо r!–1 разів алгоритм побудови перестановки за умови n=r для побудови всіх перестановок елементів цього сполучення як r елементної множини.

Якщо дано список L n-1 усіх розбиттів множини {1, 2, …, n-1}, то список L n усіх розбиттів множини {1, 2, …, n-1, n} утворюють заміною кожного розбиття σ в списку L n-1 на відповідну йому послідовність з наведених нижче.