39 Питання.

Модельні властивості числення висловлювань (повнота, несуперечливість, розв’язуваність, незалежність аксіом, з доведенням)

(повнота теорії L). Формула A виводиться у теорії L тоді і тільки тоді, коли A – тавтологія.

Доведення. В один бік доведення випливає з того факту, що аксіоми А1 – А3 є тавтологіями, в чому неважко пересвідчитись, побудувавши для них таблиці істинності. А застосування правила МР до тавтологій зберігає логічне слідування, тобто отримані формули також будуть тавтологіями (див. теорему 14.3). Отже, всяка теорема теорії L – тавтологія.

Теорія L несуперечлива.

Доведення. Кожна теорема теорії L є тавтологією логіки висловлювань. Заперечення формули, яка є тавтологією, відповідно, не є тавтологією. Отже, для жодної формули A неможливо, щоби A та ¬ A були теоремами теорії L.

Теорія L роз’вязувана.

Доведення. Це справедливо за тим міркуванням, що для кожної теореми теорії існує відповідна тавтологія, а для довільної тавтології можна побудувати таблицю істинності.

Схеми аксіом А1, А2, А3 у теорії L незалежні.

40 Питання.

Логіка першого порядку. Предикати (одномісні, багатомісні, предметні змінні та константи). Квантори. Терми та формули (означення). Зв’язанні та вільні змінні, замкнені формули, вільні терми для підстановки замість змінних.

Одномісним предикатом P(x), визначеним на множині M, називається вираз, який після підстановки в нього замість x об’єкта з області визначення M, перетворюється у висловлювання. Область визначення предиката називається предметною областю. Елементи з області визначення називаються предметними константами. Змінна, від якої залежить предикат, називається предметною змінною.

N-місним предикатом, визначеним на множинах M 1 ,…,M n , називається вираз, який перетворюється у висловлювання після заміни кожної предметної змінної на елемент з її області визначення.

Над предикатами визначено всі булеві операції, а також дві нові операції – квантори: ∀ – квантор загальності та ∃ – квантор існування.

Кожна предметна змінна є термом. (2) Кожна предметна константа є термом.

P(t 1 ,…,t n ), де P – предикатний символи, t 1 ,…,t n – терми, є атомарною формулою.

Якщо A та B – формули та x – предметна змінна, то формулами є: ¬ A, A ∧ B, A ∨ B, A → B, A~B, ∀ xA, ∃ xA. (3) Інших формул немає.

Змінна, за якою “навішується” квантор та яка попадає в його область дії, називається зв’язаною змінною. Змінна, яка лежить за межами області дії квантора, називається вільною змінною. Формула, що не містить вільних змінних, називається замкненою.

Кажуть, що терм y є вільним для змінної x в формулі A(x), якщо жодне вільне входження x в A(x) не знаходиться в області дії жодного квантора по z, де z – змінна, яка входить в терм y. Будь-який терм, який не містить змінних, є вільним для довільної змінної у будь-який формулі. Будь-який терм є вільним для x в формулі A(x), якщо A(x) не містить вільних входжень x. Терм y є вільним для довільної змінної в формулі A, якщо жодна змінна терму y не є зв’язаною змінною в формулі A.