36 Питання.

Принцип аксіоматичного підходу. Формальні системи (з чого складаються). Виведення формул у формульних системах (означення виводу, означення теореми). Виведення з гіпотез (властивості).

Аксіоматичний підхід – підхід, при якому використовуються формальні(аксіоматичні) теорії – конкретні випадки формальних систем.

Формальна теорія S – це:

1. множина A символів, які утворюють алфавіт;

2. множина Φ слів алфавіту A, які називаються формулами;

3. підмножина B формул, B ⊂Ф, які називаються аксіомами;

4. множина P відношень R на множині формул, R ∈ P, R ⊂Φ n+1, які називаються правилами виведення.

Нехай F 1 ,…,F n , G – формули теорії S, тобто F 1 ,…,F n , G ∈ Ф. Якщо існує таке правило виведення R, R ∈ P, що (F 1 ,…,F n , G) ∈ R, то говорять, що формула безпосередньо виводиться з формул F 1 ,…,F n за правилом виведення R.

Виведенням формули G в формальній теорії S називається така послідовність формул E 1 ,…,E k , що E k = G, а будь-яка формула E i (i<k) є або аксіомою (E i ∈ B), або безпосередньо виводиться з раніше отриманих формул. В цьому випадку формула G називається теоремою теорії S і позначається це ├ S G.

Властивості виведення гіпотез

1. Якщо Г├A та Г⊂Δ, то Δ├A.

2. Г├A тоді й тільки тоді, коли існує Δ⊆Г, таке що Δ├A.

3. Якщо Δ├A і для кожного B i ∈Δ, Г├B i , то Г├A.

37 Питання.

Інтерпретація, модель (означення). Модельні властивості формальних систем (розв’язуваність, повнота, несуперечливість, незалежність системи аксіом).

Інтерпретація формальної теорії S в області інтерпретації M називається функція I: S → M, яка кожній формулі формальної системи S однозначно зіставляє деяке змістовне висловлювання відносно об’єктів множини M.

Інтерпретація I називається моделлю множини формул N, якщо всі формули цієї множини виконуються в інтерпретації I.

Формальна теорія S називається розв’язуваною, якщо існує алгоритм, який для будь-якої формули теорії визначає, чи є ця формула теоремою теорії.

Система аксіом формально несуперечливої теорії S називається незалежною, якщо жодна з аксіом не виводиться з решти за правилами виведення теорії S.

Формальна теорія S називається семантично несуперечливою, якщо жодна її теорема не є суперечністю.

Формальна теорія S називається формально несуперечливою, якщо в ній не виводяться одночасно формули A та ¬ A. Теорія S формально несуперечлива тоді й тільки тоді, коли вона семантично несуперечлива.

Нехай множина M є моделлю формальної теорії S. Формальна теорія S називається повною (або адекватною), якщо кожному істинному висловлюванню M відповідає теорема теорії S.

38 Питання.

Числення висловлювань (означення). Теорема дедукції Ербрана (з доведенням, зворотна теорема, наслідки). Метод редукції та метод Квайна перевірки загальнозначущості формул логіки висловлювань.

Числення висловлювань – це формальна теорія L, в якій:

1) Aлфавіт включає пропозиційні літери: A, B, C,...; пропозиційні зв’язки: ¬ та → ; допоміжні символи: ( );

2) Визначення формули числення L:

• Довільна пропозиційна літера є формулою.

• Якщо A та B формули, то формулами також є ( ¬ A) та (A → B).

• Інших формул в численні L не існує.

3) У численні L визначена нескінченна множина аксіом, які будуються за допомогою трьох схем аксіом:

А1. A → (B → A);

А2. (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C));

А3. ( ¬ B →¬ A) → (( ¬ B → A) → B).

4) У численні L визначено єдине правило виведення MP: A, A → B ├ B.

(теорема дедукції Ербрана). Нехай Г – множина формул, A і B – формули й Г, A ├ B. Тоді Г├ A → B.

(зворотна теорема дедукції). Якщо існує вивід Г├ A → B, то формула B виводиться з Г та A, тобто якщо Г├ A → B, то Г, A├ B.

Наслідок 1 (правило силогізму). A → B, B → C├ A → C.

Наслідок 2 (правило видалення середньої посилки). A → (B → C), B ├ A → C.

Метод Квайна полягає в наступному. Нехай {A 1 , A 2 ,…, A n } – упорядкована множина пропозиційних літер, що зустрічаються у формулі P(A 1 , A 2 ,…, A n ). Візьмемо першу з літер – A 1 і припишемо їй, наприклад, значення Т (F). Підставимо це значення у формулу P і виконаємо обчислення, які можуть виникнути в результаті такої підстановки. Після виконання обчислень одержимо деяку формулу P´(A 2 ,…, A n ), до якої знову застосовується описана процедура, тобто вибираємо літера A 2 , приписується їй значення T (F), виконується обчислення і т.д. Може трапитися так, що на деякому кроці буде отримана формула P´´, яка є тавтологією або суперечністю незалежно від значень висловлювань, які входять до складу формули P´´. Отже, на цьому кроці роботу алгоритму можна зупинити.

Метод редукції дає можливість виконувати перевірку формул логіки висловлювань шляхом зведення до абсурду. Він особливо зручний, коли в записі формули зустрічається багато імплікацій. Нехай формула P має вигляд імплікації, наприклад, P = A → B. Припустимо, що в деякій інтерпретації I формула P приймає значення F. Тоді у відповідності з таблицею істинності для імплікації маємо A = T та B = F. Таким чином, перевірка формули P зводиться до перевірки формул A та B. Після цього даний процес застосовується до формул A та B і т.д. Наприклад, маємо формулу P = ((A ∧ B) → C) → (A → (B → C)). Нехай для деякої

інтерпретації I маємо P = F. Тоді (A ∧ B) → C = T, а A → (B → C) = F. Застосуємо цю процедуру до другої з формул. Отримуємо A = T та B → C = F. Звідси знаходимо, що A = T, B = Т, C = F. Але при отриманих значеннях (A ∧ B) → C = F, що суперечить припущенню. Отже, формула P тотожньо істинна.